Đề kiểm tra Giữa học kỳ I môn Toán 11 - Năm học 2026 - 2027

Số học sinh

$8$

$15$

$20$

$12$

$5$

Số nhân viên

$6$

$14$

$12$

$5$

$3$

Số lượng khách

$18$

$32$

$26$

$14$

$10$

Đáp án

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

Câu 1

a)

Đ

$\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Khẳng định đúng.

b)

S

$\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3}$. Khẳng định sai.

c)

Đ

Ta có: $2x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ hoặc $2x - \dfrac{\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi$.
Trong khoảng $(0; \pi)$, có hai nghiệm tương ứng với $k = 0$ là $x = \dfrac{\pi}{4}$ và $x = \dfrac{5\pi}{12}$. Khẳng định đúng.

d)

S

Các nghiệm trong $[0; 2\pi]$ là: $\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}$ (từ họ 1) và $\dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{17\pi}{12}$ (từ họ 2).
Tổng nghiệm: $\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{5\pi}{4}\right) + \left(\dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{17\pi}{12}\right) = \dfrac{3\pi}{2} + \dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{10\pi}{3} \ne \dfrac{17\pi}{6}$. Khẳng định sai.

Câu 2

a)

Đ

Dãy số có tập chỉ số $n \in \mathbb{N}^*$ nên là dãy vô hạn. Khẳng định đúng.

b)

Đ

$u_1 = \dfrac{1+1}{2(1)+1} = \dfrac{2}{3}$; $u_2 = \dfrac{2+1}{2(2)+1} = \dfrac{3}{5}$; $u_3 = \dfrac{3+1}{2(3)+1} = \dfrac{4}{7}$. Khẳng định đúng.

c)

Đ

$v_n = v_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)(-3) = 7 - 3n$. Khẳng định đúng.

d)

S

Xét $v_n = -86 \Leftrightarrow 7 - 3n = -86 \Leftrightarrow 3n = 93 \Leftrightarrow n = 31$. Vậy $-86$ là số hạng thứ 31, không phải thứ 30. Khẳng định sai.

Câu 1

860

Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu: $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2}$.
Với $n = 20, u_1 = 5, d = 4$ ta có:
$S_{20} = \dfrac{20[2 \cdot 5 + 19 \cdot 4]}{2} = 10 \cdot [10 + 76] = 10 \cdot 86 = 860$.

Câu 2

25,5

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $c_1 = 17,5$; $c_2 = 22,5$; $c_3 = 27,5$; $c_4 = 32,5$; $c_5 = 37,5$.
Tổng số quan sát $n = 6 + 14 + 12 + 5 + 3 = 40$.
Số trung bình:
$\bar{x} = \dfrac{6 \cdot 17,5 + 14 \cdot 22,5 + 12 \cdot 27,5 + 5 \cdot 32,5 + 3 \cdot 37,5}{40} = \dfrac{105 + 315 + 330 + 162,5 + 112,5}{40} = \dfrac{1025}{40} = 25,625 \approx 25,63$ (hoặc chấp nhận giá trị chính xác $25,625$ hoặc $25,63$).

Câu 1
(1,0 điểm)

Giải phương trình $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$

1,00

Sử dụng công thức nhân đôi: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Phương trình trở thành: $2\cos^2 x - 1 - 3\cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$.

0,25

Đặt $t = \cos x$ ($-1 \le t \le 1$), phương trình trở thành $2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Giải phương trình bậc hai ta được: $\left[\begin{array}{l} t = 1 \text{ (nhận)} \\ t = \dfrac{1}{2} \text{ (nhận)} \end{array}\right.$

0,25

• Với $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

0,25

• Với $\cos x = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{k2\pi; \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$.

0,25

Câu 2
(1,0 điểm)

a)

Viết công thức tính số lượng vi khuẩn sau $n$ giờ nuôi cấy (0,5 điểm)

0,50

Ban đầu lúc $0$ giờ có $u_0 = 500$ cá thể.
Sau 1 giờ: $u_1 = 500 \cdot 3$.
Sau 2 giờ: $u_2 = 500 \cdot 3^2$.

0,25

Số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1 = 1500$ và công bội $q = 3$.
Do đó sau $n$ giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn là: $u_n = 500 \cdot 3^n$ (cá thể).

0,25

b)

Tìm thời gian ít nhất để số lượng vi khuẩn vượt quá $1\,000\,000$ cá thể (0,5 điểm)

0,50

Để số lượng vi khuẩn vượt quá $1\,000\,000$, ta cần giải bất phương trình:
$500 \cdot 3^n > 1\,000\,000 \Leftrightarrow 3^n > 2\,000$.

0,25

Ta có: $3^6 = 729 < 2\,000$ và $3^7 = 2\,187 > 2\,000$.
Vì $n$ là số nguyên dương nên giá trị nhỏ nhất của $n$ là $n = 7$.
Vậy sau ít nhất $7$ giờ thì số lượng vi khuẩn vượt quá $1\,000\,000$ cá thể.

0,25

Câu 3
(1,0 điểm)

Tìm các tứ phân vị $Q_1, Q_3$ và nêu ý nghĩa khoảng tứ phân vị (1,0 điểm)

1,00

Cỡ mẫu $n = 18 + 32 + 26 + 14 + 10 = 100$.
Tần số tích luỹ các nhóm lần lượt là: $cf_1 = 18; cf_2 = 50; cf_3 = 76; cf_4 = 90; cf_5 = 100$.

0,25

• Tìm $Q_1$: Giá trị $\dfrac{n}{4} = 25$. Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm $[20; 30)$.
Áp dụng công thức: $Q_1 = 20 + \dfrac{25 - 18}{32} \cdot (30 - 20) = 20 + \dfrac{70}{32} \approx 22,19$.

0,25

• Tìm $Q_3$: Giá trị $\dfrac{3n}{4} = 75$. Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm $[30; 40)$.
Áp dụng công thức: $Q_3 = 30 + \dfrac{75 - 50}{26} \cdot (40 - 30) = 30 + \dfrac{250}{26} \approx 39,62$.

0,25

• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 \approx 39,62 - 22,19 = 17,43$.
Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của $50\%$ số khách hàng có độ tuổi ở chính giữa mẫu số liệu, cho thấy độ chênh lệch tuổi tác của nhóm khách hàng trung tâm này là khoảng $17,43$ tuổi.

0,25