Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 10 (Form 3-4-3)

SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn: Toán – Lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề toán học?

A. Số $15$ là số nguyên tố.

B. Hôm nay trời đẹp quá!

C. Bạn có thích học môn Toán không?

D. $x + 2 > 5$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P: "\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0"$ là

A. $\overline{P}: "\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0"$ .

B. $\overline{P}: "\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 0"$ .

C. $\overline{P}: "\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0"$ .

D. $\overline{P}: "\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0"$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 4\}$ . Viết tập hợp $A$ dưới dạng liệt kê các phần tử.

A. $A = \{1; 2; 3; 4\}$ .

B. $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$ .

C. $A = \{0; 1; 2; 3\}$ .

D. $A = \{1; 2; 3\}$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = [-2; 3]$ và $B = (1; 5]$ . Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là

A. $A \cap B = (1; 3]$ .

B. $A \cap B = [-2; 5]$ .

C. $A \cap B = [-2; 1)$ .

D. $A \cap B = [3; 5]$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = (-\infty; 4)$ và $B = [1; +\infty)$ . Tập hợp $A \setminus B$ bằng

A. $(-\infty; 1)$ .

B. $(-\infty; 1]$ .

C. $[1; 4)$ .

D. $(4; +\infty)$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2x - 3y + 1 > 0$ .

B. $x^2 + 3y \le 2$ .

C. $2x - yz \ge 1$ .

D. $\dfrac{1}{x} + 2y < 3$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Cặp số $(x; y)$ nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình $2x + y - 4 \le 0$ ?

A. $(1; 1)$ .

B. $(2; 2)$ .

C. $(3; 0)$ .

D. $(1; 3)$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 2 \end{cases}$ là một miền đa giác có hình dạng gì?

A. Tam giác.

B. Tứ giác.

C. Ngũ giác.

D. Nửa mặt phẳng.

Câu 9 (0,25 điểm). Giá trị của $\sin 150^\circ$ bằng

A. $\dfrac{1}{2}$ .

B. $-\dfrac{1}{2}$ .

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC = a$ , $AC = b$ , $AB = c$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ .

B. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$ .

C. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \sin A$ .

D. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \sin A$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R$ . Hệ thức nào sau đây đúng?

A. $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ .

B. $\dfrac{a}{\sin A} = R$ .

C. $\dfrac{a}{\sin A} = 4R$ .

D. $\dfrac{a}{\cos A} = 2R$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c$ và nửa chu vi $p$ được tính theo công thức Heron là

A. $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ .

B. $S = \sqrt{p(p + a)(p + b)(p + c)}$ .

C. $S = p(p - a)(p - b)(p - c)$ .

D. $S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)}$ .

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 \le x < 2\}$ và $B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| \le 3\}$ .
a) Tập hợp $A$ được viết lại dưới dạng nửa khoảng là $[-3; 2)$ .
b) Tập hợp $B$ được biểu diễn là đoạn $[-3; 3]$ .
c) Giao của hai tập hợp là $A \cap B = [-3; 2]$ .
d) Hợp của hai tập hợp là $A \cup B = [-3; 3]$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$ , $AC = 8$ và $\widehat{BAC} = 60^\circ$ .
a) Độ dài cạnh $BC = 2\sqrt{13}$ .
b) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $12\sqrt{3}$ .
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{2\sqrt{39}}{3}$ .
d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{3}$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất mỗi kilôgam sản phẩm I cần $2$ kg nguyên liệu $A$ và $30$ giờ làm việc; mỗi kilôgam sản phẩm II cần $4$ kg nguyên liệu $A$ và $15$ giờ làm việc. Xưởng có $200$ kg nguyên liệu $A$ và $1200$ giờ làm việc. Gọi $x, y$ (đơn vị: kg) lần lượt là số kilôgam sản phẩm I và II mà xưởng sản xuất ( $x \ge 0, y \ge 0$ ).
a) Bất phương trình biểu thị giới hạn về lượng nguyên liệu $A$ là $2x + 4y \le 200$ .
b) Bất phương trình biểu thị giới hạn về thời gian làm việc là $2x + y \le 80$ .
c) Cặp số $(x; y) = (20; 30)$ thoả mãn các điều kiện về nguyên liệu và thời gian của xưởng.
d) Nếu xưởng sản xuất $30$ kg sản phẩm I thì có thể sản xuất tối đa $40$ kg sản phẩm II.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho góc $\alpha$ thoả mãn $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ .
a) Giá trị của $\cos \alpha < 0$ .
b) Giá trị của $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$ .
c) Giá trị của $\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$ .
d) Giá trị của biểu thức $P = \dfrac{2\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + 3\cos \alpha}$ bằng $-\dfrac{2}{9}$ .

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Lớp 10A có $42$ học sinh, trong đó có $25$ học sinh thích môn Toán, $18$ học sinh thích môn Văn và $8$ học sinh không thích cả hai môn này. Hỏi có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn Toán và Văn?

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases} x + y \le 4 \\ x - y \le 2 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $a = 7$ , $b = 8$ , $c = 5$ . Tính số đo của góc $\widehat{BAC}$ (đơn vị: độ).

Câu 4 (0,5 điểm). Để đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bị ngăn cách bởi một hồ nước mà không thể đo trực tiếp, người ta chọn một điểm $C$ trên bờ hồ sao cho từ $C$ có thể nhìn thấy cả $A$ và $B$ . Người ta đo được khoảng cách $CA = 120$ m, $CB = 150$ m và góc $\widehat{ACB} = 60^\circ$ . Tính khoảng cách $AB$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo mét).

Câu 5 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 5$ , $AC = 7$ và $BC = 8$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Tính giá trị của $AM^2$ .

Câu 6 (0,5 điểm). Cho hai tập hợp $A = [m - 1; m + 2]$ và $B = (1; 5)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $A \cap B \ne \emptyset$ ?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG

Hướng dẫn chấm chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BAREM ĐIỂM

BÀI KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

Môn: Toán – Lớp 10

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Điểm toàn bài được tính theo thang điểm 10,0; làm tròn theo quy định hiện hành.
- Thí sinh làm bài theo các cách khác nhau nếu đúng kết quả vẫn được công nhận điểm tối đa.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	A	B	A	A	A	A	A	A	A	A	A

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu:
- Đúng 1 ý: 0,1 điểm.
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
- Đúng 3 ý: 0,5 điểm.
- Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn giải chi tiết
Câu 1	a)	Đ	$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 \le x < 2\} = [-3; 2)$ .
	b)	Đ	$\|x\| \le 3 \Leftrightarrow -3 \le x \le 3 \Rightarrow B = [-3; 3]$ .
	c)	S	$A \cap B = [-3; 2) \cap [-3; 3] = [-3; 2)$ (ngoặc tròn tại 2).
	d)	Đ	$A \cup B = [-3; 2) \cup [-3; 3] = [-3; 3]$ .
Câu 2	a)	Đ	$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 52 \Rightarrow BC = 2\sqrt{13}$ .
	b)	Đ	$S = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ .
	c)	Đ	$R = \dfrac{BC}{2\sin A} = \dfrac{2\sqrt{13}}{2 \sin 60^\circ} = \dfrac{2\sqrt{39}}{3}$ .
	d)	S	Nửa chu vi $p = 7 + \sqrt{13}$ . Bán kính $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{12\sqrt{3}}{7 + \sqrt{13}} \ne \sqrt{3}$ .
Câu 3	a)	Đ	Lượng nguyên liệu $A$ sử dụng: $2x + 4y \le 200$ .
	b)	Đ	Thời gian làm việc: $30x + 15y \le 1200 \Leftrightarrow 2x + y \le 80$ .
	c)	Đ	Thay $(20; 30)$ : $2(20) + 4(30) = 160 \le 200$ và $2(20) + 30 = 70 \le 80$ (thỏa mãn).
	d)	S	Khi $x = 30$ , ta có $\begin{cases} 2(30) + 4y \le 200 \\ 2(30) + y \le 80 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y \le 35 \\ y \le 20 \end{cases} \Rightarrow y \le 20$ . Vậy tối đa sản xuất được $20$ kg sản phẩm II.
Câu 4	a)	Đ	Do $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$ .
	b)	Đ	$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = -\dfrac{4}{5}$ .
	c)	S	$\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4} \ne \dfrac{3}{4}$ .
	d)	S	$P = \dfrac{2 \cdot \dfrac{3}{5} - \left(-\dfrac{4}{5}\right)}{\dfrac{3}{5} + 3\left(-\dfrac{4}{5}\right)} = \dfrac{\dfrac{10}{5}}{-\dfrac{9}{5}} = -\dfrac{10}{9} \ne -\dfrac{2}{9}$ .

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải ngắn gọn
Câu 1	9	Số học sinh thích ít nhất một môn: $42 - 8 = 34$ . Áp dụng công thức số phần tử: $\|A \cap B\| = \|A\| + \|B\| - \|A \cup B\| = 25 + 18 - 34 = 9$ .
Câu 2	11	Miền nghiệm là tứ giác có các đỉnh $O(0; 0)$ , $A(2; 0)$ , $B(3; 1)$ , $C(0; 4)$ . Tính giá trị: $F(O) = 0$ , $F(A) = 6$ , $F(B) = 3(3) + 2(1) = 11$ , $F(C) = 8$ . Vậy $F_{\max} = 11$ .
Câu 3	60	Áp dụng hệ quả định lí cosin: $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{A} = 60^\circ$ .
Câu 4	137	Định lí cosin: $AB^2 = 120^2 + 150^2 - 2 \cdot 120 \cdot 150 \cdot \cos 60^\circ = 18900 \Rightarrow AB = \sqrt{18900} \approx 137{,}48 \approx 137$ m.
Câu 5	21	Áp dụng công thức đường trung tuyến: $AM^2 = \dfrac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4} = \dfrac{2(5^2 + 7^2) - 8^2}{4} = \dfrac{2 \cdot 74 - 64}{4} = \dfrac{84}{4} = 21$ .
Câu 6	6	Để $A \cap B = \emptyset$ thì $\left[\begin{array}{l} m + 2 \le 1 \\ m - 1 \ge 5 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m \le -1 \\ m \ge 6 \end{array}\right.$ . Do đó $A \cap B \ne \emptyset \Leftrightarrow -1 < m < 6$ . Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ (có $6$ giá trị).

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 10