Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn: Toán – Lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Mệnh đề phủ định của mệnh đề " $P\colon \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 > 0$ " là

A. $\overline{P}\colon \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \le 0$ .

B. $\overline{P}\colon \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 < 0$ .

C. $\overline{P}\colon \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \le 0$ .

D. $\overline{P}\colon \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 > 0$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid (2x - 1)(x^2 - 4) = 0\}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $A = \left\{\dfrac{1}{2}; -2; 2\right\}$ .

B. $A = \{2\}$ .

C. $A = \{-2; 2\}$ .

D. $A = \left\{\dfrac{1}{2}; 2\right\}$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = (-3; 2]$ và $B = [0; 5)$ . Tập hợp $A \cap B$ là

A. $(-3; 5)$ .

B. $[0; 2]$ .

C. $(-3; 0]$ .

D. $(2; 5)$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2x^2 + 3y > 5$ .

B. $2x - 3y + z \le 0$ .

C. $x - 3y + 7 \ge 0$ .

D. $xy - 2x + 1 < 0$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - y + 3 > 0$ ?

A. $M(1; 6)$ .

B. $N(-2; 1)$ .

C. $P(0; 2)$ .

D. $Q(-1; 2)$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Cặp số $(x; y)$ nào sau đây là một nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y - 2 \le 0 \\ 2x - 3y + 2 > 0 \end{cases}$ ?

A. $(1; 2)$ .

B. $(0; 1)$ .

C. $(2; 1)$ .

D. $(-1; 3)$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $P = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ$ bằng

A. $1$ .

B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

C. $\sqrt{3}$ .

D. $\dfrac{1}{2}$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\cos \alpha = -\dfrac{3}{5}$ . Giá trị của $\sin \alpha$ bằng

A. $\dfrac{4}{5}$ .

B. $-\dfrac{4}{5}$ .

C. $\dfrac{16}{25}$ .

D. $-\dfrac{16}{25}$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $b = 7$ , $c = 5$ và $\widehat{A} = 60^\circ$ . Độ dài cạnh $a$ bằng

A. $\sqrt{39}$ .

B. $39$ .

C. $\sqrt{109}$ .

D. $109$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $a = 6$ và $\widehat{A} = 30^\circ$ . Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ bằng

A. $3$ .

B. $12$ .

C. $6$ .

D. $6\sqrt{3}$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a = 13$ , $b = 14$ , $c = 15$ . Diện tích của tam giác $ABC$ bằng

A. $84$ .

B. $168$ .

C. $42$ .

D. $21$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có nửa chu vi $p = 16$ và diện tích $S = 48$ . Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác $ABC$ bằng

A. $6$ .

B. $3$ .

C. $4$ .

D. $8$ .

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x < 4\}$ và $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\}$ .
a) Tập hợp $A$ được viết dưới dạng kí hiệu khoảng, đoạn là $[-2; 4)$ .
b) Giao của hai tập hợp là $A \cap B = (1; 4)$ .
c) Hợp của hai tập hợp là $A \cup B = [-2; +\infty)$ .
d) Hiệu của hai tập hợp $A \setminus B = [-2; 1]$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh lần lượt là $a = 8$ , $b = 10$ , $c = 6$ .
a) Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ .
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $5$ .
c) Góc $\widehat{A}$ của tam giác $ABC$ xấp xỉ bằng $53^\circ 8'$ .
d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng $3$ .

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (1,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2.

Câu 1 (0,5 điểm). Lớp 10A có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh thích môn Toán, 20 học sinh thích môn Văn và 12 học sinh thích cả hai môn Toán và Văn. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh không thích môn nào trong hai môn Toán và Văn?

Câu 2 (0,5 điểm). Để đo chiều cao của một cột cờ trên đỉnh tòa nhà, một người đứng tại điểm $A$ trên mặt đất nhìn thấy đỉnh cột cờ với góc nâng $45^\circ$ . Người đó tiến lại gần tòa nhà một khoảng $20$ m đến điểm $B$ thì nhìn thấy đỉnh cột cờ với góc nâng $60^\circ$ . Biết rằng mặt đất bằng phẳng, mắt người quan sát cách mặt đất $1{,}6$ m. Tính chiều cao của cột cờ so với mặt đất theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

PHẦN IV. TỰ LUẬN (4,0 điểm)

Thí sinh trình bày bài làm vào giấy kiểm tra.

Câu 1 (1,5 điểm).
Cho hai tập hợp $A = [-4; 3)$ và $B = (m - 1; m + 5)$ với $m$ là tham số.
a) Khi $m = 1$ , hãy xác định các tập hợp $A \cup B$ và $C_{\mathbb{R}}A$ .
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \cap B = \emptyset$ .

Câu 2 (1,5 điểm).
Một xưởng sản xuất bàn ghế dự định sản xuất hai loại sản phẩm: Bàn và Ghế. Mỗi chiếc bàn cần $2$ giờ cưa gỗ và $1$ giờ ráp hoàn thiện. Mỗi chiếc ghế cần $1$ giờ cưa gỗ và $1$ giờ ráp hoàn thiện. Mỗi ngày, xưởng có tối đa $12$ giờ cưa gỗ và tối đa $8$ giờ ráp hoàn thiện. Biết rằng tiền lãi mỗi chiếc bàn là $400$ nghìn đồng và mỗi chiếc ghế là $300$ nghìn đồng. Gọi $x, y$ lần lượt là số lượng bàn và ghế mà xưởng sản xuất trong một ngày ( $x, y \in \mathbb{N}$ ).
a) Hãy lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả các điều kiện ràng buộc của bài toán.
b) Tìm số lượng bàn và ghế xưởng cần sản xuất trong một ngày để tổng số tiền lãi thu được lớn nhất.

Câu 3 (1,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $BC = a, CA = b, AB = c$ . Gọi $R, r, p$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và nửa chu vi của tam giác $ABC$ .
a) Cho $a = 7, b = 8, c = 9$ . Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ .
b) Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức $a + b + c = 2(a\cos A + b\cos B + c\cos C)$ thì tam giác $ABC$ là tam giác đều.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

HƯỚNG DẪN CHẤM

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BAREM ĐIỂM

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

Môn: Toán – Lớp 10

A. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (12 câu $\times$ 0,25 điểm = 3,0 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	B	B	C	C	B	A	A	A	C	A	B

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2 câu $\times$ 1,0 điểm = 2,0 điểm)

Quy tắc tính điểm: Đúng 1 ý: 0,1 điểm; Đúng 2 ý: 0,25 điểm; Đúng 3 ý: 0,5 điểm; Đúng 4 ý: 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)
Câu 1	a)	Đ
	b)	Đ
	c)	Đ
	d)	Đ
Câu 2	a)	Đ
	b)	Đ
	c)	Đ
	d)	S

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2 câu $\times$ 0,5 điểm = 1,0 điểm)

Câu	Đáp án
Câu 1	12
Câu 2	49,0

B. HƯỚNG DẪN CHẤM TỰ LUẬN (4,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
1	a	Khi $m = 1$ , hãy xác định các tập hợp $A \cup B$ và $C_{\mathbb{R}}A$ (1,0 điểm)	1,0
		Khi $m = 1$ , tập hợp $B = (0; 6)$ .	0,25
		Ta có $A = [-4; 3)$ và $B = (0; 6)$ . Suy ra $A \cup B = [-4; 6)$ .	0,50
		$C_{\mathbb{R}}A = \mathbb{R} \setminus [-4; 3) = (-\infty; -4) \cup [3; +\infty)$ .	0,25
	b	Tìm $m$ để $A \cap B = \emptyset$ (0,5 điểm)	0,5
		Ta có $A = [-4; 3)$ và $B = (m - 1; m + 5)$ . Khoảng $B$ luôn hợp lệ vì $m - 1 < m + 5$ với mọi $m$ .	0,25
		$A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m + 5 \le -4 \\ m - 1 \ge 3 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m \le -9 \\ m \ge 4 \end{array}\right.$ . Vậy các giá trị cần tìm là $m \le -9$ hoặc $m \ge 4$ .	0,25
2	a	Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (0,75 điểm)	0,75
		Gọi $x, y$ lần lượt là số lượng bàn và ghế sản xuất trong một ngày ( $x, y \in \mathbb{N}$ ).	0,25
		Số giờ cưa gỗ mỗi ngày là: $2x + y \le 12$ . Số giờ ráp hoàn thiện mỗi ngày là: $x + y \le 8$ .	0,25
		Hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc là: $\begin{cases} 2x + y \le 12 \\ x + y \le 8 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$	0,25
	b	Tìm phương án sản xuất để tiền lãi lớn nhất (0,75 điểm)	0,75
		Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác $OABC$ (kể cả biên) với toạ độ các đỉnh: $O(0; 0)$ , $A(0; 8)$ , $B(4; 4)$ , $C(6; 0)$ (trong đó $B$ là giao điểm của hai đường thẳng $2x + y = 12$ và $x + y = 8$ ).	0,25
		Tổng số tiền lãi thu được trong một ngày là $F(x; y) = 400x + 300y$ (nghìn đồng). Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh của miền nghiệm: $F(0; 0) = 0$ ; $F(0; 8) = 2400$ ; $F(4; 4) = 400 \cdot 4 + 300 \cdot 4 = 2800$ ; $F(6; 0) = 400 \cdot 6 = 2400$ .	0,25
		Giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ bằng $2800$ nghìn đồng khi $x = 4, y = 4$ . Vậy xưởng cần sản xuất $4$ chiếc bàn và $4$ chiếc ghế mỗi ngày để tiền lãi đạt lớn nhất.	0,25
3	a	Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ (0,5 điểm)	0,5
		Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p = \dfrac{7 + 8 + 9}{2} = 12$ . Diện tích tam giác theo công thức Heron: $S = \sqrt{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = 12\sqrt{5}$ .	0,25
		Ta có $S = \dfrac{1}{2} a h_a \Rightarrow h_a = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 12\sqrt{5}}{7} = \dfrac{24\sqrt{5}}{7}$ .	0,25
	b	Chứng minh tam giác $ABC$ đều (0,5 điểm)	0,5
		Áp dụng định lí sin $a = 2R\sin A, b = 2R\sin B, c = 2R\sin C$ , hệ thức đã cho tương đương: $2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 4R(\sin A \cos A + \sin B \cos B + \sin C \cos C)$ $\Leftrightarrow \sin A + \sin B + \sin C = 2(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$ .	0,25
		Trong tam giác $ABC$ , ta luôn có biến đổi tích quen thuộc: $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$ ; $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C = 32\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2}$ . Do $\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2} > 0$ , ta rút gọn được: $1 = 16\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$ . Mặt khác, với mọi tam giác ta luôn có bất đẳng thức $\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2} \le \dfrac{1}{8}$ , do đó $16\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2} \le 2$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. (Học sinh lập luận biến đổi đại số tương đương hoặc dùng đẳng thức trong tam giác để suy ra $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60^\circ$ ). Vậy tam giác $ABC$ đều.	0,25

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (1,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (4,0 điểm)

A. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (12 câu ×\times 0,25 điểm = 3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2 câu ×\times 1,0 điểm = 2,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2 câu ×\times 0,5 điểm = 1,0 điểm)

B. HƯỚNG DẪN CHẤM TỰ LUẬN (4,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 10

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (12 câu $\times$ 0,25 điểm = 3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2 câu $\times$ 1,0 điểm = 2,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2 câu $\times$ 0,5 điểm = 1,0 điểm)