Đề kiểm tra Giữa học kỳ I môn Toán 10 (2 mã đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề toán học?

Câu 2 (0,25 điểm). Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P: "\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 - x + 1 > 0"$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$. Số phần tử của tập hợp $A$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = [-2; 3]$ và $B = (1; 5]$. Tập hợp $A \cap B$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - 3y + 6 > 0$?

Câu 6 (0,25 điểm). Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 7 (0,25 điểm). Cho góc $\alpha$ tù ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 8 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $P = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC = 8$ và góc $\widehat{A} = 30^\circ$. Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Diện tích tam giác có ba cạnh $a = 6$, $b = 8$, $c = 10$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Bất phương trình nào sau đây có miền nghiệm được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả bờ $d$) trong hình vẽ bên dưới?

[Đồ thị]

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 4\}$ và $B = (0; +\infty)$.
a) Tập hợp $A$ viết dưới dạng khoảng, đoạn là đoạn $[-2; 4]$.
b) Giao của hai tập hợp là $A \cap B = [0; 4]$.
c) Hợp của hai tập hợp là $A \cup B = [-2; +\infty)$.
d) Phần bù của $B$ trong $\mathbb{R}$ là $C_{\mathbb{R}}B = (-\infty; 0)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a = 7$, $b = 8$, $c = 5$.
a) Nửa chu vi của tam giác $ABC$ bằng $p = 10$.
b) Cosin của góc $\widehat{A}$ bằng $\cos A = \dfrac{1}{2}$.
c) Diện tích của tam giác $ABC$ bằng $S = 10\sqrt{3}$.
d) Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ bằng $r = \sqrt{3}$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Lớp 10A có $42$ học sinh, trong đó có $25$ bạn thích môn Toán, $20$ bạn thích môn Tiếng Anh và $12$ bạn thích cả hai môn. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn không thích môn nào trong hai môn Toán và Tiếng Anh?

Câu 2 (0,5 điểm). Cho góc nhọn $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$. Tính giá trị của biểu thức $T = 5\cos \alpha + 4\tan \alpha$.

Câu 3 (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$ với $(x; y)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}$$

Câu 4 (0,5 điểm). Một chiếc tàu thủy neo tại vị trí $A$ quan sát thấy ngọn hải đăng ở vị trí $C$ theo phương hợp với hướng đông một góc $35^\circ$. Sau khi di chuyển $10$ hải lý thẳng về hướng đông đến vị trí $B$, tàu quan sát thấy hải đăng ở vị trí $C$ theo phương hợp với hướng bắc một góc $25^\circ$ (tức góc $\widehat{ABC} = 115^\circ$). Khoảng cách từ vị trí $B$ đến hải đăng $C$ bằng bao nhiêu hải lý (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh làm bài trình bày chi tiết từ Bài 1 đến Bài 3.

Bài 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = [m - 1; m + 3]$ và $B = (1; 6)$ với $m$ là tham số thực.
a) Khi $m = 2$, hãy xác định các tập hợp $A \cup B$ và $A \cap B$.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \subset B$.

Bài 2 (1,0 điểm). Một hộ nông dân dự định trồng hai loại cây là ngô và đậu nành trên diện tích đất $8$ ha. Để trồng ngô, mỗi hecta cần $20$ ngày công và mang lại lợi nhuận $40$ triệu đồng. Để trồng đậu nành, mỗi hecta cần $30$ ngày công và mang lại lợi nhuận $50$ triệu đồng. Tổng số ngày công hộ nông dân có thể huy động cho vụ mùa này tối đa là $180$ ngày công.
a) Gọi $x, y$ lần lượt là số hecta đất dùng để trồng ngô và đậu nành. Hãy thiết lập hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc của bài toán.
b) Hãy xác định diện tích cần trồng mỗi loại cây để hộ nông dân đạt được lợi nhuận cao nhất. Tính số lợi nhuận cao nhất đó.

Bài 3 (1,0 điểm). Để đo chiều cao của một tòa tháp $CD$ đặt trên đỉnh một ngọn đồi (với $C$ là chân tháp, $D$ là đỉnh tháp, hai điểm $C, D$ thẳng đứng), một nhóm kĩ sư chọn hai điểm quan sát $A$ và $B$ trên mặt đất bằng phẳng sao cho ba điểm $A, B, C$ tạo thành một tam giác nằm trên cùng một mặt phẳng thẳng đứng. Biết rằng khoảng cách $AB = 40$ m, từ $A$ đo được góc nâng đến đỉnh tháp là $\widehat{CAD} = 45^\circ$, từ $B$ đo được các góc $\widehat{CBD} = 30^\circ$ và $\widehat{ABC} = 60^\circ$.
a) Tính khoảng cách từ điểm quan sát $A$ đến đỉnh tháp $D$.
b) Giả sử chân tháp $C$ nằm ở độ cao $15$ m so với mặt phẳng ngang chứa $A$ và $B$. Tính chiều cao $CD$ của tòa tháp (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của mét).

--------- HẾT ĐỀ 101 ---------

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?

Câu 2 (0,25 điểm). Mệnh đề phủ định của mệnh đề $Q: "\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 + 2x - 3 = 0"$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho tập hợp $M = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x < 3\}$. Số phần tử của tập hợp $M$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = (-\infty; 2]$ và $B = [-1; 4)$. Tập hợp $A \cup B$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $3x - 2y + 6 < 0$?

Câu 6 (0,25 điểm). Cặp số $(x; y) = (1; 1)$ là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

Câu 7 (0,25 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 8 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $Q = \cos 45^\circ \cdot \sin 45^\circ + \cos 60^\circ$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $R$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $b = 6$, $c = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Độ dài cạnh $a$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $b = 4$, $c = 5$ và góc $\widehat{A} = 30^\circ$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Bất phương trình nào sau đây có miền nghiệm được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả bờ $d$) trong hình vẽ bên dưới?

[Đồ thị]

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 < x \le 2\}$ và $B = [-1; 5]$.
a) Tập hợp $A$ viết dưới dạng khoảng, nửa khoảng là nửa khoảng $(-3; 2]$.
b) Giao của hai tập hợp là $A \cap B = [-1; 2]$.
c) Hiệu của hai tập hợp là $A \setminus B = (-3; -1)$.
d) Phần bù của $A$ trong $\mathbb{R}$ là $C_{\mathbb{R}}A = (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a = 6$, $b = 7$, $c = 5$.
a) Nửa chu vi của tam giác $ABC$ bằng $p = 9$.
b) Diện tích tam giác $ABC$ tính theo công thức Heron bằng $S = 6\sqrt{6}$.
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ bằng $R = \dfrac{35\sqrt{6}}{24}$.
d) Chiều cao $h_a$ kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ bằng $h_a = 2\sqrt{6}$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Lớp 10B có $40$ học sinh, trong đó có $22$ bạn tham gia câu lạc bộ Bóng đá, $18$ bạn tham gia câu lạc bộ Bóng rổ và $8$ bạn tham gia cả hai câu lạc bộ. Hỏi lớp 10B có bao nhiêu bạn không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên?

Câu 2 (0,5 điểm). Cho góc tù $\alpha$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) thỏa mãn $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$. Tính giá trị của biểu thức $M = 10\sin \alpha - 12\tan \alpha$.

Câu 3 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $G(x; y) = 2x + 3y$ với $(x; y)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \ge 3 \\ 2x + y \ge 4 \end{cases}$$

Câu 4 (0,5 điểm). Để đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bị ngăn cách bởi một hồ nước, người ta chọn một điểm quan sát $C$ trên bờ sao cho có thể đo trực tiếp từ $C$ đến $A$ và từ $C$ đến $B$. Kết quả đo được $CA = 60$ m, $CB = 80$ m và góc $\widehat{ACB} = 60^\circ$. Khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh làm bài trình bày chi tiết từ Bài 1 đến Bài 3.

Bài 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = [m; m + 4]$ và $B = (-2; 5)$ với $m$ là tham số thực.
a) Khi $m = 0$, hãy xác định các tập hợp $A \cap B$ và $B \setminus A$.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \subset B$.

Bài 2 (1,0 điểm). Một xưởng sản xuất bàn ghế gỗ cần làm hai loại sản phẩm là bàn và ghế. Để sản xuất một chiếc bàn cần $3$ giờ tiện gỗ và $2$ giờ sơn hoàn thiện, lợi nhuận mang lại là $300\,000$ đồng. Để sản xuất một chiếc ghế cần $1$ giờ tiện gỗ và $2$ giờ sơn hoàn thiện, lợi nhuận mang lại là $150\,000$ đồng. Trong một tuần, xưởng chỉ có thể huy động tối đa $180$ giờ tiện và $160$ giờ sơn.
a) Gọi $x, y$ lần lượt là số chiếc bàn và số chiếc ghế mà xưởng sản xuất trong một tuần ($x, y \ge 0$). Hãy viết hệ bất phương trình ràng buộc đối với $x$ và $y$.
b) Xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn và bao nhiêu chiếc ghế trong một tuần để tổng số tiền lợi nhuận thu được là lớn nhất? Tính lợi nhuận tối đa đó.

Bài 3 (1,0 điểm). Một chiếc tàu cứu hộ xuất phát từ trạm quan sát bờ biển tại điểm $O$ chạy với vận tốc không đổi $30$ km/h theo hướng Đông chếch Bắc một góc $30^\circ$. Cùng lúc đó, một chiếc ca nô tuần tra xuất phát từ vị trí $A$ (nằm cách $O$ một khoảng $20$ km về hướng chính Đông) chạy với vận tốc không đổi $v$ (km/h) theo hướng thẳng về phía con tàu cứu hộ để giao nhận tài liệu. Biết rằng sau $1$ giờ di chuyển, hai phương tiện gặp nhau tại điểm $M$.
a) Tính khoảng cách từ điểm xuất phát $A$ của ca nô đến vị trí gặp nhau $M$.
b) Tính vận tốc $v$ của chiếc ca nô tuần tra (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của km/h) và góc lệch của đường đi của ca nô so với hướng chính Tây.

--------- HẾT ĐỀ 102 ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Học sinh làm theo cách khác đúng, lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng.
- Điểm toàn bài thi tính theo thang điểm 10,0 và giữ nguyên số lẻ đến 0,25 điểm.
- Với các bài toán tự luận hình học và tối ưu, kết quả tính toán có thể làm tròn theo đúng yêu cầu bài toán.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. ĐÁP ÁN MÃ ĐỀ 101

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều lựa chọn (3,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng/sai (2,0 điểm)
Quy tắc tính điểm từng câu: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Giải thích ngắn gọn:
- Câu 1: Số học sinh thích ít nhất một môn là $25 + 20 - 12 = 33$. Số bạn không thích môn nào là $42 - 33 = 9$.
- Câu 2: $\alpha$ nhọn $\Rightarrow \cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$, $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Do đó $T = 5 \cdot \frac{4}{5} + 4 \cdot \frac{3}{4} = 4 + 3 = 7$.
- Câu 3: Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với $O(0; 0)$, $A(3; 0)$, $B(2; 2)$, $C(0; 4)$. Thay vào $F$: $F(0; 0)=0, F(3; 0)=9, F(2; 2)=10, F(0; 4)=8$. Vậy $F_{\max} = 10$.
- Câu 4: Tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 35^\circ, \widehat{B} = 115^\circ \Rightarrow \widehat{C} = 180^\circ - (35^\circ + 115^\circ) = 30^\circ$. Theo định lí sin: $BC = \dfrac{AB \cdot \sin 35^\circ}{\sin 30^\circ} = \dfrac{10 \cdot \sin 35^\circ}{0,5} \approx 11,47 \approx 11,5$ hải lý.

Phần IV. Tự luận (3,0 điểm)

2. ĐÁP ÁN MÃ ĐỀ 102

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều lựa chọn (3,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng/sai (2,0 điểm)
Quy tắc tính điểm từng câu: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Giải thích ngắn gọn:
- Câu 1: Số bạn tham gia ít nhất 1 CLB là $22 + 18 - 8 = 32$. Số bạn không tham gia là $40 - 32 = 8$.
- Câu 2: Do $\alpha$ tù nên $\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}$, $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{3}{4}$. Do đó $M = 10 \cdot \frac{3}{5} - 12 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = 6 + 9 = 15$.
- Câu 3: Miền nghiệm không bị chặn gồm các đỉnh $A(0; 4)$, $B(1; 2)$, $C(3; 0)$. Thay vào $G(x; y) = 2x + 3y$: $G(0; 4) = 12$; $G(1; 2) = 2(1) + 3(2) = 8$; $G(3; 0) = 6+0=6$. (Lưu ý: tại $C(3; 0)$ thỏa $2(3)+0=6 \ge 4$ và $3+0 \ge 3$, suy ra $G(3; 0)=6$). Vậy $G_{\min} = 6$. (Nếu tính điểm giao $B(1; 2)$ thì $G=8$).
- Câu 4: Theo định lí côsin: $AB^2 = 60^2 + 80^2 - 2 \cdot 60 \cdot 80 \cdot \cos 60^\circ = 3600 + 6400 - 4800 = 5200 \Rightarrow AB = \sqrt{5200} \approx 72,1 \approx 72$ m.

Phần IV. Tự luận (3,0 điểm)