Đề kiểm tra Giữa học kỳ 1 Toán 11 - THPT Số 1 Ngô Gia Tự

Đáp án

C

D

A

A

A

B

C

A

A

B

A

C

Câu 1

a)

Điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ III

Do $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III.

ĐÚNG

b)

$\cos \alpha = \dfrac{4}{5}$

$\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2} \Rightarrow \cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\dfrac{4}{5}$.

SAI

c)

$\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$

$\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{-3/5}{-4/5} = \dfrac{3}{4}$.

ĐÚNG

d)

$\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{4 - 3\sqrt{3}}{10}$

$\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\frac{1}{2} = \dfrac{-3\sqrt{3} - 4}{10}$.

SAI

Câu 2

a)

Hàm số $f(x)$ có tập xác định $\mathscr{D} = \mathbb{R}$

Hàm lượng giác cơ bản có tập xác định $\mathbb{R}$.

ĐÚNG

b)

$g(x)$ tuần hoàn chu kì $\pi$

Hàm số $y = \tan(2x)$ có chu kì $T = \dfrac{\pi}{2}$.

SAI

c)

Giá trị lớn nhất của $f(x)$ bằng $4$

Do $-1 \le \sin(2x + \pi/4) \le 1 \Rightarrow 2 \le f(x) \le 4$. Max là $4$.

ĐÚNG

d)

Tập giá trị của $f(x)$ là đoạn $[2; 4]$

Từ đánh giá trên, tập giá trị $T = [2; 4]$.

ĐÚNG

Câu 3

a)

$(u_n)$ là dãy số tăng

Vì công sai $d = 3 > 0$ nên cấp số cộng tăng.

ĐÚNG

b)

$u_5 = 10$

$u_5 = u_1 + 4d = -2 + 4 \cdot 3 = 10$.

ĐÚNG

c)

$148$ là số hạng thứ $50$

$u_n = -2 + (n - 1) \cdot 3 = 148 \Leftrightarrow 3n - 5 = 148 \Leftrightarrow n = 51$.

SAI

d)

$S_{20} = 530$

$S_{20} = \dfrac{20}{2}[2(-2) + 19 \cdot 3] = 10[-4 + 57] = 530$.

ĐÚNG

Câu 4

a)

$MN \parallel AB$

$MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $MN \parallel AB$.

ĐÚNG

b)

$MN \parallel (ABCD)$

Ta có $MN \parallel AB$ mà $AB \subset (ABCD)$, $MN \not\subset (ABCD)$ nên $MN \parallel (ABCD)$.

ĐÚNG

c)

Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ song song với $AD$

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ chứa hai đường thẳng song song $AB$ và $CD$ nên giao tuyến là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ và $CD$.

SAI

d)

$SD \cap (MNP) = Q$ là trung điểm $SD$

Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $(SCD)$ theo giao tuyến qua $P$ song song với $CD$, cắt $SD$ tại trung điểm $Q$ của $SD$.

ĐÚNG

Câu 1

Chia cả tử và mẫu cho $\cos^3 a \ne 0$:
$C = \dfrac{\frac{\sin a}{\cos^3 a}}{\frac{\sin^3 a}{\cos^3 a} + 2} = \dfrac{\tan a (1 + \tan^2 a)}{\tan^3 a + 2} = \dfrac{2(1 + 2^2)}{2^3 + 2} = \dfrac{10}{10} = 1$.

1

0,5

Câu 2

Vận tốc $v = 50\text{ km/h} = \dfrac{50 \times 10^5}{3600}\text{ cm/s} = \dfrac{1250}{9}\text{ cm/s} \approx 1388,89\text{ cm/s}$.
Chu vi bánh xe: $C = \pi \cdot d = 55\pi\text{ cm}$.
Số vòng quay trong 1 giây: $N = \dfrac{v}{C} = \dfrac{1250}{9 \cdot 55\pi} = \dfrac{250}{99\pi} \approx 8,04$ vòng.

8,04

0,5

Câu 3

Ta có: $\dfrac{v_5}{v_2} = \dfrac{v_1 q^4}{v_1 q} = q^3 \Rightarrow q^3 = \dfrac{48}{6} = 8 \Rightarrow q = 2$.
Khi đó $v_1 = \dfrac{v_2}{q} = \dfrac{6}{2} = 3$.

3

0,5

Câu 4

Số ghế mỗi hàng lập thành cấp số cộng với $u_1 = 16$, $d = 2$, $n = 25$.
Tổng số ghế: $S_{25} = \dfrac{25}{2}\left[2 \cdot 16 + (25 - 1) \cdot 2\right] = \dfrac{25}{2} \cdot 80 = 1000$ ghế.

1000

0,5

Bài 1

Giải phương trình $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (0,5 điểm)

Phương trình tương đương: $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$

0,25

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi}{3} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = k2\pi \\ 2x = \dfrac{5\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$.
Vậy tập nghiệm là $S = \left\{k\pi;\, \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$.

0,25

Bài 2

Bài toán tiền gửi ngân hàng (0,75 điểm)

a)

Số tiền gửi hàng tháng lập thành cấp số cộng với $u_1 = 5$ (triệu đồng) và công sai $d = 0,5$ (triệu đồng).
Công thức số tiền gửi ở tháng thứ $n$ là:
$u_n = u_1 + (n - 1)d = 5 + 0,5(n - 1) = 0,5n + 4,5$ (triệu đồng).

0,25

b)

Sau 2 năm có $n = 24$ tháng. Tổng số tiền gốc gửi vào ngân hàng là tổng $24$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

0,25

$S_{24} = \dfrac{24}{2} \cdot \left[2u_1 + (24 - 1)d\right] = 12 \cdot [2 \cdot 5 + 23 \cdot 0,5] = 12 \cdot 21,5 = 258$ (triệu đồng).
Vậy bác An đã gửi tất cả $258$ triệu đồng.

0,25

Bài 3

Hình học không gian (0,75 điểm)

[Hình vẽ]

a)

Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$:
Ta có $S \in (SAC) \cap (SBD)$ nên $S$ là một điểm chung.
Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, gọi $O = AC \cap BD$.
Do $O \in AC \subset (SAC)$ và $O \in BD \subset (SBD)$ nên $O \in (SAC) \cap (SBD)$.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SO$.

0,25

b)

Xác định giao điểm $K$ của $SD$ với $(MAC)$:
Trong mặt phẳng $(SBD)$, xét đường thẳng $SO$ và đường thẳng $DM$:
Vì $M$ là trung điểm của $SB$ nên $DM$ là một đường thẳng nằm trong $(SBD)$, $DM$ cắt $SO$ tại $I$.
Trong mặt phẳng $(MAC)$, ta thấy $I$ nằm trên đoạn thẳng nối điểm trong $(MAC)$.
Cách khác: Chọn mặt phẳng phụ chứa $SD$ là $(SBD)$.
Ta có $(MAC) \cap (SBD)$: Do $O \in AC \subset (MAC)$ và $O \in BD \subset (SBD)$ nên $O$ là điểm chung thứ nhất; điểm $M$ chung thứ hai $\Rightarrow (MAC) \cap (SBD) = MO$.
Trong mặt phẳng $(SBD)$, đường thẳng $MO$ cắt cạnh $SD$ tại điểm $K$.
Vì $K \in MO \subset (MAC)$ nên $K$ chính là giao điểm của $SD$ với $(MAC)$.

0,5