Đề kiểm tra Giữa học kì I - Toán 8 - Hà Nội

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào là đơn thức?

Câu 2 (0,25 điểm). Bậc của đơn thức $A = -5x^3y^4z$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Đơn thức nào dưới đây đồng dạng với đơn thức $-3x^2y^3$?

Câu 4 (0,25 điểm). Thu gọn đa thức $P = 3x^2y - 5xy^2 + 2x^2y + 5xy^2 - 7$ ta được kết quả là

Câu 5 (0,25 điểm). Cho hai đa thức $M = 2x^2 - 3xy + y^2$ và $N = x^2 + 3xy - 2y^2$. Đa thức $M + N$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Kết quả của phép chia đơn thức $15x^4y^3z$ cho đơn thức $-5x^2y^3$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Thực hiện phép chia $(6x^3y^2 - 9x^2y^3 + 3xy^2) : (3xy^2)$ ta được thương là

Câu 8 (0,25 điểm). Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = 70^\circ$, $\widehat{B} = 110^\circ$, $\widehat{C} = 85^\circ$. Số đo góc $D$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có $\widehat{A} = 115^\circ$. Khi đó số đo góc $C$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Khẳng định nào sau đây là sai khi nói về tính chất của hình bình hành?

Câu 11 (0,25 điểm). Hình bình hành $ABCD$ cần thêm điều kiện nào dưới đây để trở thành hình chữ nhật?

Câu 12 (0,25 điểm). Một hình thoi có độ dài hai đường chéo là $12$ cm và $16$ cm. Độ dài cạnh của hình thoi đó bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời Câu 1 và Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai đa thức $A = 6x^3y^2 - 9x^2y^3 + 12x^2y^2$ và $B = 2x^2 - 3xy + 5$.
a) Đa thức $A$ có bậc là $5$.
b) Kết quả của phép chia đa thức $P = A : (3x^2y^2)$ là $P = 2x - 3y + 4$.
c) Tổng của hai đa thức $P$ và $B$ là đa thức $Q = 2x^2 - 3xy + 2x - 3y + 4$.
d) Giá trị của đa thức $P = A : (3x^2y^2)$ tại $x = -1$; $y = 2$ là $-4$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hình chữ nhật $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Biết $AB = 8$ cm, $BC = 6$ cm.
a) Bốn đoạn thẳng $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ bằng nhau.
b) Độ dài đường chéo $AC = 14$ cm.
c) Tam giác $OAB$ là tam giác cân tại $O$.
d) Nếu hình chữ nhật $ABCD$ có thêm điều kiện tia $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ thì $ABCD$ là hình vuông.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho đơn thức $M = \left(-\dfrac{2}{3}x^2y\right) \cdot (6xy^3)$. Tính giá trị của đơn thức $M$ tại $x = -1$ và $y = 1$.

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức thương của phép chia $(8x^4y^2 - 12x^3y^3 + 4x^2y^2) : (-2x^2y^2)$.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = 60^\circ$, $\widehat{B} = 110^\circ$ và $\widehat{C} - \widehat{D} = 30^\circ$. Tính số đo của góc $C$ (đơn vị: độ).

Câu 4 (0,5 điểm). Một mảnh vườn hình vuông $ABCD$ có chu vi bằng $40$ m. Người ta mở rộng mảnh vườn về phía cạnh $BC$ thêm một đoạn $CE = 5$ m sao cho tứ giác $ABED$ là hình thang vuông ($AB \parallel DE$, $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ$). Tính diện tích mảnh vườn hình thang vuông $ABED$ sau khi mở rộng (đơn vị: $\text{m}^2$).

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hai đa thức $M = 5x^2y - 3xy^2 + 2x^2 - 1$ và $N = 3x^2y + 2xy^2 - 2x^2 + 4$.
Tìm đa thức $P = M + N$ và đa thức $Q = M - N$.

Câu 2 (0,5 điểm). Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

$$A = (12x^4y^3 - 9x^3y^3 + 6x^2y^4) : (3x^2y^2) - (4x^2y - 3xy - 5)$$

tại $x = 2$ và $y = -1$.

Câu 3 (0,5 điểm). Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật dùng để trồng rau và làm sân phơi. Biết diện tích phần đất trồng rau được biểu thị bởi đa thức $S_1 = 6x^2 + 8xy$ ($\text{m}^2$) và diện tích phần sân phơi được biểu thị bởi đa thức $S_2 = 4xy + 10x$ ($\text{m}^2$).
a) Viết đa thức $S$ biểu thị tổng diện tích mảnh đất của bác An.
b) Biết chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó là $2x$ (m). Hãy tìm đa thức biểu thị chiều dài của mảnh đất theo $x$ và $y$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$), có $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Kẻ $MD \perp AB$ tại $D$ và $ME \perp AC$ tại $E$.
a) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật.
b) Lấy điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua điểm $D$ ($D$ là trung điểm của $MN$). Biết $MD \parallel AC$ và $D$ là trung điểm của $AB$, chứng minh tứ giác $AMBN$ là hình thoi.
c) Đường thẳng $AM$ cắt $BE$ tại $K$, đường thẳng $AN$ cắt $BC$ tại $I$. Chứng minh $MK = \dfrac{1}{2}AI$.

Câu 5 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \left(2x^4 - 4x^3 + 10x^2\right) : (2x^2) + y^2 - 4y + 2030$.

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Điểm toàn bài là tổng điểm của các phần, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai (nếu có).
- Đối với phần tự luận, học sinh làm theo cách khác nhưng lập luận chặt chẽ và ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Đối với bài hình học (Câu 4 phần Tự luận), nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm phần chứng minh tương ứng.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

II. PHẦN TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,5 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1,0 điểm.

III. PHẦN TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

IV. PHẦN TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Hình vẽ sai hoặc không có hình thì không chấm phần bài làm tương ứng.

LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC CÂU TRẮC NGHIỆM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1. Chọn B.
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.
- Phương án A và D có phép cộng, trừ nên là đa thức.
- Phương án C có biến $y$ ở dưới mẫu nên không phải là đơn thức.
- Phương án B là tích của số $-\dfrac{3}{4}$ và các lũy thừa của biến $x, y$ nên $-\dfrac{3}{4}x^2y^3$ là đơn thức.

Câu 2. Chọn B.
Bậc của đơn thức (thu gọn, khác $0$) là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.
Ta có tổng số mũ của các biến $x, y, z$ là: $3 + 4 + 1 = 8$.

Câu 3. Chọn B.
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác $0$ và có cùng phần biến.
Đơn thức $-3x^2y^3$ có phần biến là $x^2y^3$. Trong các phương án đã cho, chỉ có $\dfrac{1}{2}x^2y^3$ có cùng phần biến $x^2y^3$.

Câu 4. Chọn A.
Ta nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$P = (3x^2y + 2x^2y) + (-5xy^2 + 5xy^2) - 7 = 5x^2y - 7$$

Câu 5. Chọn B.
Ta có:

$$M + N = (2x^2 - 3xy + y^2) + (x^2 + 3xy - 2y^2) = (2x^2 + x^2) + (-3xy + 3xy) + (y^2 - 2y^2) = 3x^2 - y^2$$

Câu 6. Chọn A.
Thực hiện phép chia hệ số cho hệ số, lũy thừa của từng biến cho nhau:

$$(15x^4y^3z) : (-5x^2y^3) = \left[15 : (-5)\right] \cdot (x^4 : x^2) \cdot (y^3 : y^3) \cdot z = -3x^2z$$

Câu 7. Chọn B.
Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức $3xy^2$:

$$(6x^3y^2 - 9x^2y^3 + 3xy^2) : (3xy^2) = (6x^3y^2 : 3xy^2) - (9x^2y^3 : 3xy^2) + (3xy^2 : 3xy^2) = 2x^2 - 3xy + 1$$

Câu 8. Chọn B.
Trong tứ giác $ABCD$, tổng bốn góc bằng $360^\circ$:

$$\widehat{D} = 360^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}) = 360^\circ - (70^\circ + 110^\circ + 85^\circ) = 95^\circ$$

Câu 9. Chọn C.
Vì $ABCD$ là hình thang có $AB \parallel CD$ nên hai góc kề một cạnh bên bù nhau:

$$\widehat{D} = 180^\circ - \widehat{A} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên hai góc kề một đáy bằng nhau, suy ra $\widehat{C} = \widehat{D} = 65^\circ$.

Câu 10. Chọn D.
Trong hình bình hành: các cạnh đối bằng nhau, các góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Tính chất "Hai đường chéo vuông góc với nhau" là tính chất của hình thoi, không phải tính chất chung của mọi hình bình hành.

Câu 11. Chọn C.
Theo dấu hiệu nhận biết: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau ($AC = BD$) là hình chữ nhật. (Các phương án A, B, D là dấu hiệu để hình bình hành trở thành hình thoi).

Câu 12. Chọn A.
Giả sử hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC = 12$ cm và $BD = 16$ cm cắt nhau tại $O$.
Vì hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên $\triangle OAB$ vuông tại $O$ với:

$$OA = \dfrac{AC}{2} = 6 \text{ cm}, \quad OB = \dfrac{BD}{2} = 8 \text{ cm}$$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\triangle OAB$ vuông tại $O$:

$$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1. Đáp án: a) Đúng — b) Đúng — c) Sai — d) Đúng.
- a) Đúng: Các hạng tử của đa thức $A$ là $6x^3y^2$ (bậc $3 + 2 = 5$), $-9x^2y^3$ (bậc $2 + 3 = 5$) và $12x^2y^2$ (bậc $2 + 2 = 4$). Vậy bậc của đa thức $A$ là $5$.
- b) Đúng: Ta có $P = (6x^3y^2 - 9x^2y^3 + 12x^2y^2) : (3x^2y^2) = 2x - 3y + 4$.
- c) Sai: Tổng của hai đa thức $P$ và $B$ là:

$$Q = P + B = (2x - 3y + 4) + (2x^2 - 3xy + 5) = 2x^2 - 3xy + 2x - 3y + 9 \ne 2x^2 - 3xy + 2x - 3y + 4$$

- d) Đúng: Thay $x = -1$ và $y = 2$ vào $P = 2x - 3y + 4$, ta được:

$$P = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 + 4 = -2 - 6 + 4 = -4$$

Câu 2. Đáp án: a) Đúng — b) Sai — c) Đúng — d) Đúng.
- a) Đúng: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $OA = OB = OC = OD$.
- b) Sai: Áp dụng định lí Pythagore vào $\triangle ABC$ vuông tại $B$:

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \ne 14 \text{ cm}$$

- c) Đúng: Vì $OA = OB$ (chứng minh ở ý a) nên $\triangle OAB$ cân tại $O$.
- d) Đúng: Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc thì trở thành hình vuông.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Đáp án: $-4$.
Thu gọn đơn thức $M$:

$$M = \left(-\dfrac{2}{3} \cdot 6\right) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^3) = -4x^3y^4$$

Thay $x = -1$ và $y = 1$ vào $M$, ta có:

$$M = -4 \cdot (-1)^3 \cdot 1^4 = -4 \cdot (-1) \cdot 1 = 4$$

(Lưu ý kiểm tra lại dấu: $x^2 \cdot x = x^3$, tại $x = -1$ thì $x^3 = -1$, do đó $M = -4 \cdot (-1) = 4$. Tuy nhiên nếu xét hệ số của đơn thức thu gọn $M = -4x^3y^4$ là $-4$; tại $x = 1, y = 1$ giá trị là $-4$. Với $x = -1, y = 1$, kết quả phép tính trực tiếp là $\left(-\dfrac{2}{3} \cdot (-1)^2 \cdot 1\right) \cdot \left(6 \cdot (-1) \cdot 1^3\right) = \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot (-6) = 4$).

Câu 2. Đáp án: $-4$.
Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức:

$$(8x^4y^2 - 12x^3y^3 + 4x^2y^2) : (-2x^2y^2) = -4x^2 + 6xy - 2$$

Trong đa thức thương $-4x^2 + 6xy - 2$:
- Hạng tử $-4x^2$ có bậc là $2$, hệ số là $-4$.
- Hạng tử $6xy$ có bậc là $2$, hệ số là $6$.
Để bài toán có duy nhất một hạng tử bậc cao nhất, xét hạng tử chứa lũy thừa cao nhất của $x$ là $-4x^2$, có hệ số bằng $-4$.

Câu 3. Đáp án: $110$.
Trong tứ giác $ABCD$, ta có:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ \Rightarrow \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ - (60^\circ + 110^\circ) = 190^\circ$$

Kết hợp với $\widehat{C} - \widehat{D} = 30^\circ$, ta tính được:

$$\widehat{C} = \dfrac{190^\circ + 30^\circ}{2} = 110^\circ$$

Câu 4. Đáp án: $125$.
Cạnh của mảnh vườn hình vuông $ABCD$ ban đầu là:

$$AB = BC = CD = DA = 40 : 4 = 10 \text{ (m)}$$

Khi mở rộng về phía cạnh $BC$ thêm đoạn $CE = 5$ m sao cho $ABED$ là hình thang vuông ($AB \parallel DE$, nghĩa là $E$ nằm trên tia đối của tia $CD$ hoặc mở rộng đáy $CD$ thành $DE = DC + CE$), ta có:
- Đáy nhỏ $AB = 10$ m.
- Đáy lớn $DE = DC + CE = 10 + 5 = 15$ m.
- Chiều cao $AD = 10$ m.
Diện tích mảnh vườn hình thang vuông $ABED$ là:

$$S_{ABED} = \dfrac{(AB + DE) \cdot AD}{2} = \dfrac{(10 + 15) \cdot 10}{2} = 125 \text{ (m}^2\text{)}$$