Đề kiểm tra giữa học kì I Toán 11 năm học 2026–2027

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Số đo rađian của góc $150^\circ$ là

Câu 2. Giá trị của $\sin \dfrac{\pi}{6}$ bằng

Câu 3. Cho $\cos \alpha=-\dfrac{3}{5}$ và $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$. Giá trị của $\sin \alpha$ bằng

Câu 4. Với mọi góc $\alpha$, công thức nào sau đây đúng?

Câu 5. Tập xác định của hàm số $y=\tan x$ là

Câu 6. Nghiệm của phương trình $\cos x=0$ là

Câu 7. Trên khoảng $(0;\pi)$, nghiệm của phương trình $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ là

Câu 8. Một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=3$ và công sai $d=2$. Giá trị của $u_5$ bằng

Câu 9. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n=n^2-2n$ với $n\geq 1$. Giá trị của $u_4$ bằng

Câu 10. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=3$ và $u_3=12$. Biết công bội $q>0$, giá trị của $u_4$ bằng

Câu 11. Giới hạn $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n+1}{n+2}$ bằng

Câu 12. Giới hạn $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (2,0 điểm)

Trong mỗi ý a), b), c), d) của từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Xét hàm số lượng giác và các phương trình lượng giác sau:
a) Hàm số $y=\sin x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) Nếu $\sin \alpha=\dfrac{1}{2}$ thì $\cos 2\alpha=\dfrac{1}{2}$.
c) Phương trình $\cos x=\dfrac{1}{2}$ có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
d) Phương trình $\sin x=\dfrac{1}{2}$ có đúng $10$ nghiệm thuộc đoạn $[0;10\pi]$.

Câu 2. Xét các dãy số và giới hạn sau:
a) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=2n+1$ có $u_3=7$.
b) Cấp số nhân có số hạng đầu $1$ và công bội $2$ có ba số hạng đầu lập thành một cấp số cộng.
c) $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2n^2+1}{n^2-1}=2$.
d) $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=1$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (1,0 điểm)

Thí sinh trả lời Câu 1 và Câu 2.

Câu 1. Trong khoảng thời gian từ $0$ đến $24$ giờ, chiều cao của mực nước tại một điểm được mô hình hóa bởi $h(t)=2+\sin\dfrac{\pi t}{6}$, trong đó $h(t)$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giờ. Có bao nhiêu thời điểm $t\in[0;24]$ mà mực nước cao $2{,}5$ m?

Câu 2. Một quả bóng được thả từ độ cao $10$ m xuống nền phẳng. Sau mỗi lần chạm nền, bóng nảy lên đến độ cao bằng một nửa độ cao trước lần chạm nền đó. Bỏ qua sức cản không khí. Tính tổng quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến khi bóng không còn nảy, theo đơn vị mét.

PHẦN IV. TỰ LUẬN (4,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 2 (1,5 điểm). Tính giới hạn

$$\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}.$$

Câu 3 (1,5 điểm). Một người gửi $100$ triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất cố định $6\%$/năm. Giả sử người đó không gửi thêm hoặc rút tiền và tiền lãi mỗi năm được nhập vào vốn.
a) Gọi $u_n$ là số tiền, tính bằng triệu đồng, có trong tài khoản sau $n$ năm. Viết công thức của $u_n$.
b) Tính số tiền trong tài khoản sau $5$ năm, làm tròn đến hàng phần trăm của triệu đồng.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Hướng dẫn giải

Câu 1. Ta có $150^\circ=150\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$. Chọn A.

Câu 2. Theo giá trị lượng giác của góc đặc biệt, $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$. Chọn B.

Câu 3. Từ $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ suy ra $\sin^2\alpha=\dfrac{16}{25}$. Vì $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba nên $\sin\alpha<0$, do đó $\sin\alpha=-\dfrac{4}{5}$. Chọn C.

Câu 4. Công thức góc đôi là $\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$. Chọn D.

Câu 5. Hàm số $\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức là $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ với $k\in\mathbb{Z}$. Chọn A.

Câu 6. Phương trình $\cos x=0$ có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Chọn B.

Câu 7. Nghiệm tổng quát là $x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ hoặc $x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Trong khoảng $(0;\pi)$ có hai nghiệm $\dfrac{\pi}{3}$ và $\dfrac{2\pi}{3}$. Chọn C.

Câu 8. $u_5=u_1+4d=3+4\cdot 2=11$. Chọn D.

Câu 9. $u_4=4^2-2\cdot 4=8$. Chọn A.

Câu 10. Ta có $u_3=u_1q^2$, suy ra $q^2=4$. Vì $q>0$ nên $q=2$, do đó $u_4=u_3q=24$. Chọn B.

Câu 11. Chia tử và mẫu cho $n$:

$$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{3n+1}{n+2}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{3+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{2}{n}}=3.$$

Chọn C.

Câu 12. Với $x\ne 2$, ta có $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$. Vậy giới hạn bằng $4$. Chọn D.

II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Với mỗi câu: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm; không có ý nào đúng được 0 điểm.

Hướng dẫn giải

Câu 1.
a) Hàm số $y=\sin x$ xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$. Khẳng định đúng.

b) $\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$. Khẳng định đúng.

c) Nghiệm đúng là $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Chẳng hạn, $x=\dfrac{4\pi}{3}$ thuộc họ nghiệm đã nêu trong khẳng định nhưng $\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$. Khẳng định sai.

d) Nghiệm của phương trình là $x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Trên đoạn $[0;10\pi]$, mỗi họ cho $5$ nghiệm ứng với $k=0,1,2,3,4$; tổng cộng $10$ nghiệm. Khẳng định đúng.

Câu 2.
a) $u_3=2\cdot 3+1=7$. Khẳng định đúng.

b) Ba số hạng đầu là $1$, $2$, $4$. Vì $2-1\ne 4-2$ nên chúng không lập thành cấp số cộng. Khẳng định sai.

c) Chia tử và mẫu cho $n^2$, ta được giới hạn bằng $\dfrac{2+0}{1-0}=2$. Khẳng định đúng.

d) Với $x\ne 1$, $\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1$ nên giới hạn bằng $2$. Khẳng định sai.

III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Hướng dẫn giải

Câu 1. Mực nước cao $2{,}5$ m khi

$$\sin\dfrac{\pi t}{6}=\dfrac{1}{2}.$$

Suy ra $t=1+12k$ hoặc $t=5+12k$, với $k\in\mathbb{Z}$. Trong đoạn $[0;24]$, các thời điểm là $1$, $5$, $13$, $17$ giờ. Vậy có 4 thời điểm.

Câu 2. Độ cao các lần nảy lên lần lượt là $5$, $\dfrac{5}{2}$, $\dfrac{5}{4}$, …, lập thành cấp số nhân có công bội $\dfrac{1}{2}$. Tổng các độ cao này là

$$\dfrac{5}{1-\dfrac{1}{2}}=10\text{ m}.$$

Sau lần rơi đầu tiên, mỗi độ cao nảy lên được đi hai lần: một lần lên và một lần xuống. Tổng quãng đường là $10+2\cdot 10=30$ m.

IV. TỰ LUẬN

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.