Đề kiểm tra Giữa học kì I môn Toán lớp 8

Đáp án

A

B

C

D

A

B

D

C

B

C

11

a)

Khi khai triển, biểu thức $(2x + 1)^2$ có kết quả là $4x^2 + 4x + 1$.

Đ

Áp dụng $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$: $(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$.

b)

Rút gọn biểu thức $A$ ta được kết quả $A = 4x$.

S

$A = (4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - 4x + 1) = 8x \ne 4x$.

c)

Rút gọn biểu thức $B$ ta được kết quả $B = 3x - 8$.

Đ

$B = (x^3 - 8) - (x^3 - 3x) = 3x - 8$.

d)

Với mọi giá trị nguyên của $x$, hiệu $A - B$ luôn chia hết cho 5.

S

$A - B = 8x - (3x - 8) = 5x + 8$. Với $x=0$, $5x+8=8$ không chia hết cho 5.

12

5

Diện tích ban đầu là $x^2$. Diện tích mới là $(x+3)(x+2) = x^2 + 5x + 6$.
Ta có phương trình: $(x^2 + 5x + 6) - x^2 = 31 \Leftrightarrow 5x + 6 = 31 \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5\text{ (m)}$.

0,5

1

a

Rút gọn biểu thức $P = 2x(x^2 - 3y) + 3y(2x - 1) - 2x^3$ (0,75 điểm)

Thực hiện nhân đơn thức với đa thức:
$P = 2x^3 - 6xy + 6xy - 3y - 2x^3$

0,5

Nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn:
$P = (2x^3 - 2x^3) + (-6xy + 6xy) - 3y = -3y$

0,25

b

Rút gọn biểu thức $Q = (x + 3)^2 - (x - 2)(x + 2) - 6x$ (0,75 điểm)

Khai triển các hằng đẳng thức:
$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$

0,25

Thay vào biểu thức và phá ngoặc:
$Q = x^2 + 6x + 9 - (x^2 - 4) - 6x = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 4 - 6x$

0,25

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:
$Q = (x^2 - x^2) + (6x - 6x) + (9 + 4) = 13$

0,25

2

a

Tìm $x$: $(2x - 3)^2 - 4x(x - 2) = 1$ (0,75 điểm)

Khai triển hằng đẳng thức và nhân đơn thức:
$4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 + 8x = 1$

0,25

Thu gọn vế trái:
$(4x^2 - 4x^2) + (-12x + 8x) + 9 = 1 \Leftrightarrow -4x + 9 = 1$

0,25

Giải phương trình bậc nhất:
$-4x = 1 - 9 \Leftrightarrow -4x = -8 \Leftrightarrow x = 2$.
Vậy $x = 2$.

0,25

b

Tìm $x$: $x^2 - 25 - (x - 5)(2x + 3) = 0$ (0,75 điểm)

Vận dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
$(x - 5)(x + 5) - (x - 5)(2x + 3) = 0$

0,25

Đặt nhân tử chung $(x - 5)$:
$(x - 5)[(x + 5) - (2x + 3)] = 0$
$\Leftrightarrow (x - 5)(x + 5 - 2x - 3) = 0 \Leftrightarrow (x - 5)(-x + 2) = 0$

0,25

Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: $x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$
Trường hợp 2: $-x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Vậy $x \in \{2; 5\}$.

0,25

3

a

Viết đa thức biểu thị diện tích đáy (0,5 điểm)

Vì tấm bìa ban đầu có cạnh $40\text{ cm}$, sau khi cắt bốn góc mỗi góc một hình vuông cạnh $x\text{ cm}$ thì đáy hộp là hình vuông có độ dài cạnh là: $40 - 2x\text{ (cm)}$.

0,25

Diện tích đáy của chiếc hộp là:
$S = (40 - 2x)^2 = 1600 - 160x + 4x^2\text{ (cm}^2\text{)}$.

0,25

b

Viết đa thức biểu thị thể tích và tính giá trị khi $x = 5\text{ cm}$ (0,5 điểm)

Chiều cao của chiếc hộp khi gấp mép lên là $x\text{ (cm)}$.
Thể tích chiếc hộp được biểu thị bởi đa thức:
$V = x \cdot S = x(40 - 2x)^2 = 4x^3 - 160x^2 + 1600x\text{ (cm}^3\text{)}$.

0,25

Khi $x = 5\text{ cm}$, cạnh đáy là: $40 - 2 \cdot 5 = 30\text{ (cm)}$.
Thể tích của chiếc hộp là:
$V = 5 \cdot 30^2 = 5 \cdot 900 = 4500\text{ (cm}^3\text{)}$.

0,25

4

[Hình vẽ]

a

Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (1,0 điểm)

Ta có: $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{DAE} = 90^\circ$.

0,25

$MD \perp AB$ tại $D$ nên $\widehat{ADM} = 90^\circ$.
$ME \perp AC$ tại $E$ nên $\widehat{AEM} = 90^\circ$.

0,25

Xét tứ giác $ADME$ có 3 góc vuông: $\widehat{DAE} = \widehat{ADM} = \widehat{AEM} = 90^\circ$.

0,25

Suy ra tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

0,25

b

Chứng minh tứ giác $AMCP$ là hình thoi (1,0 điểm)

Ta có $ME \perp AC$ và $AB \perp AC$ nên $ME \parallel AB$.
Trong $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm $BC$ và $ME \parallel AB$ nên $E$ là trung điểm của $AC$.

0,25

Lại có $P$ là điểm đối xứng với $M$ qua $E$ nên $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $MP$.

0,25

Tứ giác $AMCP$ có hai đường chéo $AC$ và $MP$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường, do đó $AMCP$ là hình bình hành.

0,25

Mặt khác $MP \perp AC$ tại $E$.
Hình bình hành $AMCP$ có hai đường chéo vuông góc với nhau nên $AMCP$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).

0,25

c

Điều kiện để tứ giác $AMCP$ là hình vuông (0,5 điểm)

Hình thoi $AMCP$ là hình vuông khi và chỉ khi có một góc vuông, tức là $\widehat{AMC} = 90^\circ \Leftrightarrow AM \perp BC$.
Trong $\triangle ABC$, $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao ứng với cạnh $BC$ khi và chỉ khi $\triangle ABC$ cân tại $A$.
Kết hợp với giả thiết $\triangle ABC$ vuông tại $A$, suy ra tam giác $ABC$ phải là tam giác vuông cân tại $A$.

0,25

Khi $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$, ta có $AB = AC$.
Do $D$ là trung điểm $AB$ và $E$ là trung điểm $AC$ nên $AD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC = AE$.
Hình chữ nhật $ADME$ có hai cạnh kề bằng nhau ($AD = AE$) nên khi đó $ADME$ là hình vuông.

0,25