Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán lớp 11 - Năm học 2026 - 2027

Đáp án

A

B

A

B

C

C

A

C

B

B

B

A

Câu 1

a)

Tập xác định là $D = \mathbb{R}$

Đ

Hàm $\cos u$ xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$.

b)

Hàm số là hàm số chẵn

S

$f(-x) = \cos(-2x - \pi/3) = \cos(2x + \pi/3) \ne \pm f(x)$.

c)

$\max = 1$ tại $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$

Đ

$\cos(2x - \pi/3) = 1 \Leftrightarrow 2x - \pi/3 = k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$.

d)

Trên $[0; \pi]$ có 2 nghiệm phân biệt

Đ

$\cos(2x - \pi/3) = -\dfrac{1}{2} = \cos(2\pi/3)$.
TH1: $2x - \pi/3 = 2\pi/3 + k2\pi \Leftrightarrow x = \pi/2 + k\pi$. Trên $[0; \pi]$ có $x = \pi/2$.
TH2: $2x - \pi/3 = -2\pi/3 + k2\pi \Leftrightarrow x = -\pi/6 + k\pi$. Trên $[0; \pi]$ có $x = 5\pi/6$. Có đúng 2 nghiệm.

Câu 2

a)

Dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng

Đ

Giải hệ được $u_1 = 3$, $d = 2 > 0$ nên $(u_n)$ là dãy số tăng.

b)

Công sai $d = 3$

S

$\begin{cases} u_1 + u_5 = 2u_1 + 4d = 14 \\ u_3 + u_7 = 2u_1 + 8d = 22 \end{cases} \Rightarrow 4d = 8 \Rightarrow d = 2$.

c)

Số hạng đầu $u_1 = 1$

S

Thay $d = 2$ vào $2u_1 + 4d = 14$ được $2u_1 + 8 = 14 \Rightarrow u_1 = 3$.

d)

$2027$ là số hạng thứ $1014$

S

$u_n = 3 + (n - 1) \cdot 2 = 2n + 1$; cho $2n + 1 = 2027 \Rightarrow n = 1013$. Vậy $2027$ là số hạng thứ $1013$.

Câu 1

1

$\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{\pi}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ x + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{array}\right.$
Với $x \in (0; 2\pi)$: họ thứ nhất không cho nghiệm nào ($k = 1$ được $x = 2\pi \notin (0; 2\pi)$); họ thứ hai cho $x = \dfrac{3\pi}{2}$ ứng với $k = 1$.
Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm trên khoảng $(0; 2\pi)$.

Câu 2

910

Áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng:
$S_{20} = \dfrac{20}{2}[2u_1 + 19d] = 10 \cdot [2(-2) + 19 \cdot 5] = 10 \cdot (-4 + 95) = 10 \cdot 91 = 910$.

Câu 3

1275

Số tiền thưởng mỗi bậc lập thành cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 5$ triệu đồng, công bội $q = 2$.
Tổng tiền thưởng cho 8 bậc là:
$S_8 = \dfrac{u_1(1 - q^8)}{1 - q} = \dfrac{5(1 - 2^8)}{1 - 2} = 5 \cdot (256 - 1) = 5 \cdot 255 = 1275$ (triệu đồng).

Câu 4

$\dfrac{2}{3}$

Trong tam giác $ABC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN \parallel AC$.
Mặt phẳng $(MNP)$ chứa $MN \parallel AC$ nên giao tuyến của $(MNP)$ với $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$; đường thẳng này cắt $AD$ tại $Q$.
Trong tam giác $ACD$ có $PQ \parallel AC$, theo định lí Thales: $\dfrac{DQ}{DA} = \dfrac{DP}{DC}$.
Mà $CP = 2PD \Rightarrow CD = 3PD \Rightarrow \dfrac{DP}{DC} = \dfrac{1}{3}$, suy ra $\dfrac{DQ}{AD} = \dfrac{1}{3}$, do đó $\dfrac{AQ}{AD} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

Câu 1
(1,0 điểm)

a

Giải phương trình: $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ (0,5 điểm)

0,50

Ta có: $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}$

0,25

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = \pi + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ và $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

0,25

b

Giải phương trình: $2\cos^2 x - \sin 2x = 0$ (0,5 điểm)

0,50

$2\cos^2 x - 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow 2\cos x\left(\cos x - \sin x\right) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \sin x = \cos x \end{array}\right.$

0,25

+ $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
+ $\sin x = \cos x \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ và $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

0,25

Câu 2
(1,0 điểm)

a

Tính số ghế ở hàng ghế thứ 15 (0,5 điểm)

0,50

Số lượng ghế của các hàng lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1 = 20$ và công sai $d = 4$.

0,25

Số ghế ở hàng thứ 15 là:
$u_{15} = u_1 + (15 - 1)d = 20 + 14 \cdot 4 = 20 + 56 = 76$ (ghế).

0,25

b

Tính tổng số ghế ngồi của khán đài (0,5 điểm)

0,50

Khán đài có tất cả $n = 25$ hàng ghế. Tổng số ghế ngồi của khán đài là $S_{25}$.
Công thức tính: $S_{25} = \dfrac{25}{2}[2u_1 + (25 - 1)d]$.

0,25

Thay số: $S_{25} = \dfrac{25}{2}[2 \cdot 20 + 24 \cdot 4] = \dfrac{25}{2}[40 + 96] = \dfrac{25}{2} \cdot 136 = 25 \cdot 68 = 1700$ (ghế).
Vậy nhà thi đấu có tất cả 1700 ghế ngồi.

0,25

Câu 3
(1,0 điểm)

[Hình vẽ]

a

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ (0,5 điểm)

0,50

- Ta có $S$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.
- Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, vì $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD, AB = 2CD$) nên hai đường thẳng $AD$ và $BC$ không song song.
Gọi $E = AD \cap BC$.

0,25

Vì $E \in AD \subset (SAD)$ và $E \in BC \subset (SBC)$ nên $E$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.
Vậy giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $SE$.

0,25

b

Chứng minh tứ giác $MNCD$ là hình bình hành (0,5 điểm)

0,50

- Trong tam giác $SAB$, vì $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$.
Suy ra $MN \parallel AB$ và $MN = \dfrac{1}{2}AB$.

0,25

- Theo giả thiết, hình thang $ABCD$ có đáy nhỏ $CD \parallel AB$ và $CD = \dfrac{1}{2}AB$.
Từ đó suy ra $\begin{cases} MN \parallel CD \\ MN = CD \end{cases}$.
Tứ giác $MNCD$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên $MNCD$ là hình bình hành (đpcm).

0,25