Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán lớp 11 – năm học 2026–2027

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (3,0 điểm)

Chọn một phương án đúng trong mỗi câu sau.

Câu 1 (0,25 điểm). Góc có số đo $150^\circ$ đổi sang rađian bằng

Câu 2 (0,25 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thoả mãn $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Giá trị của $\cos\alpha$ bằng

Câu 3 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì

Câu 5 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\cos x = 0$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và công sai $d = 2$. Số hạng $u_{10}$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = 3n - 2$. Số hạng $u_5$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Số hạng $u_4$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 1$ và $q = -2$. Tổng $5$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\tan x = -1$ là

Câu 12 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2 = 6$ và $u_5 = 48$. Công bội $q$ của cấp số nhân bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (2,0 điểm)

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thoả mãn $\cos\alpha = -\dfrac{5}{13}$ và $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

a) $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$.
b) $\tan\alpha = -\dfrac{12}{5}$.
c) $\sin 2\alpha = \dfrac{120}{169}$.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x$ bằng $5$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hai phương trình: $(1)$ $2\sin x - 1 = 0$ và $(2)$ $\cos 2x = -\dfrac{1}{2}$.

a) Phương trình $(1)$ có các nghiệm $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ và $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.
b) Phương trình $(2)$ có các nghiệm $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ và $x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.
c) Trên khoảng $(0;\,2\pi)$, phương trình $(1)$ có đúng $3$ nghiệm.
d) Tổng các nghiệm của phương trình $(2)$ trên đoạn $[0;\,\pi]$ bằng $\pi$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Câu 1 (0,5 điểm). Cho $\tan\alpha = 2$. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{3\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 5$ và $u_4 = 14$. Tính tổng của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Câu 3 (0,5 điểm). Tính số nghiệm của phương trình $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ trên đoạn $[0;\,2\pi]$.

Câu 4 (0,5 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3$, $u_3 = 12$ và công bội dương. Tính tổng $6$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm).

a) Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính $\sin\alpha$ và $\sin 2\alpha$.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2\sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 3$.

Câu 2 (1,0 điểm). Anh Bình gửi $200$ triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $6\%$/năm, tiền lãi sau mỗi năm được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo.

a) Tính số tiền anh Bình nhận được sau $3$ năm (làm tròn đến hàng phần trăm của triệu đồng).

b) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền cả gốc lẫn lãi của anh Bình vượt quá $300$ triệu đồng?

Câu 3 (1,0 điểm). Thời gian chạy $100$ m (đơn vị: giây) của $40$ học sinh lớp 11A được ghi lại trong bảng số liệu ghép nhóm sau:

a) Tính thời gian chạy trung bình của $40$ học sinh (làm tròn đến hàng phần trăm).

b) Tìm nhóm chứa mốt, tính mốt và tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN NHANH

I. Trắc nghiệm nhiều phương án (câu 1 – 10)

II. Trắc nghiệm đúng – sai

III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN

Câu 1. Chọn A.

Đổi số đo: $150^\circ = 150 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$.

Câu 2. Chọn B.

Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos\alpha < 0$. Ta có

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} \Rightarrow \cos\alpha = -\dfrac{4}{5}.$$

Câu 3. Chọn C.

Hàm số $y = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

Vậy $D = \mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$.

Câu 4. Chọn D.

Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.

Câu 5. Chọn A.

$\sin x = \dfrac{1}{2} = \sin\dfrac{\pi}{6} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \end{array}\right.$

Câu 6. Chọn C.

$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

Câu 7. Chọn B.

$u_{10} = u_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 2 = 21$.

Câu 8. Chọn D.

$u_5 = 3 \cdot 5 - 2 = 13$.

Câu 9. Chọn A.

$u_4 = u_1 q^3 = 2 \cdot 3^3 = 54$.

Câu 10. Chọn B.

$S_5 = u_1\dfrac{1 - q^5}{1 - q} = 1 \cdot \dfrac{1 - (-2)^5}{1 - (-2)} = \dfrac{1 + 32}{3} = 11$.

Câu 11. Chọn C.

$\tan x = -1 \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$. Với $k = 0$ được $-\dfrac{\pi}{4} < 0$; với $k = 1$ được $x = \dfrac{3\pi}{4} > 0$ là nghiệm dương nhỏ nhất.

Câu 12. Chọn D.

$u_5 = u_2 q^3 \Rightarrow q^3 = \dfrac{48}{6} = 8 \Rightarrow q = 2$.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu 1.

Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\sin\alpha > 0$, $\tan\alpha < 0$. Từ $\cos\alpha = -\dfrac{5}{13}$ suy ra

$$\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169} \Rightarrow \sin\alpha = \dfrac{12}{13}.$$

a) Đúng, vì $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$.

b) Đúng, vì $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{12/13}{-5/13} = -\dfrac{12}{5}$.

c) Sai, vì $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \dfrac{12}{13} \cdot \left(-\dfrac{5}{13}\right) = -\dfrac{120}{169}$ (đề cho $\dfrac{120}{169}$ là thiếu dấu âm).

d) Đúng. Với mọi $x$, $3\sin x + 4\cos x \le \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$; dấu bằng xảy ra khi $\sin x = \dfrac{3}{5}$, $\cos x = \dfrac{4}{5}$. Vậy giá trị lớn nhất bằng $5$.

Câu 2.

a) Đúng. $2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \end{array}\right.$

b) Đúng. $\cos 2x = -\dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{2\pi}{3} \Leftrightarrow 2x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k\pi$.

c) Sai. Trên $(0;2\pi)$, phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ chỉ có hai nghiệm $x = \dfrac{\pi}{6}$ và $x = \dfrac{5\pi}{6}$ (các nghiệm $\dfrac{13\pi}{6}, \dfrac{17\pi}{6}$ đều lớn hơn $2\pi$).

d) Đúng. Trên $[0;\pi]$: từ họ $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ được $x = \dfrac{\pi}{3}$; từ họ $x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi$ được $x = \dfrac{2\pi}{3}$. Tổng bằng $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. $P = 7$.

Vì $\cos\alpha \ne 0$, chia cả tử và mẫu cho $\cos\alpha$:

$$P = \dfrac{3\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1} = \dfrac{3 \cdot 2 + 1}{2 - 1} = 7.$$

Câu 2. $S_{10} = 185$.

$u_4 = u_1 + 3d \Rightarrow 14 = 5 + 3d \Rightarrow d = 3$.

$S_{10} = \dfrac{10}{2}\left[2u_1 + 9d\right] = 5(10 + 27) = 185$.

Câu 3. Có $3$ nghiệm.

Đặt $t = \cos x$, $|t| \le 1$: $2t^2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}$ hoặc $t = -1$.

- $\cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$; trên $[0;2\pi]$ được $x = \dfrac{\pi}{3}$, $x = \dfrac{5\pi}{3}$.
- $\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi$; trên $[0;2\pi]$ được $x = \pi$.

Vậy phương trình có $3$ nghiệm trên $[0;2\pi]$.

Câu 4. $S_6 = 189$.

$u_3 = u_1 q^2 \Rightarrow 12 = 3q^2 \Rightarrow q^2 = 4$; vì $q > 0$ nên $q = 2$.

$S_6 = u_1\dfrac{1 - q^6}{1 - q} = 3 \cdot \dfrac{1 - 64}{1 - 2} = 3 \cdot 63 = 189$.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 1.

a) Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\sin\alpha > 0$. Ta có

$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} \Rightarrow \sin\alpha = \dfrac{4}{5}.$$

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}.$$

b) Với mọi $x$: $-1 \le \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) \le 1$ nên

$$-2 + 3 \le y \le 2 + 3 \Leftrightarrow 1 \le y \le 5.$$

Giá trị nhỏ nhất $y = 1$ khi $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$.
Giá trị lớn nhất $y = 5$ khi $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{5\pi}{6}$… cụ thể $x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$; và $x - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ cho giá trị nhỏ nhất.

Vậy $\max y = 5$ tại $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$; $\min y = 1$ tại $x = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi$.

Câu 2.

Số tiền sau $n$ năm là $T_n = 200 \cdot (1 + 6\%)^n = 200 \cdot 1,06^n$ (triệu đồng).

a) Sau $3$ năm:

$$T_3 = 200 \cdot 1,06^3 = 200 \cdot 1,191016 = 238,2032 \approx 238,20 \text{ (triệu đồng)}.$$

b) Cần $200 \cdot 1,06^n > 300 \Leftrightarrow 1,06^n > 1,5$. Lấy lôgarit:

$$n > \dfrac{\ln 1,5}{\ln 1,06} \approx \dfrac{0,405465}{0,058269} \approx 6,96.$$

Vì $n$ nguyên nên $n \ge 7$. Thử lại: $200 \cdot 1,06^6 \approx 283,70 < 300$; $200 \cdot 1,06^7 \approx 300,73 > 300$.

Vậy sau ít nhất $7$ năm thì số tiền vượt quá $300$ triệu đồng.

Câu 3.

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là $12,5$; $13,5$; $14,5$; $15,5$ với tần số $5$; $12$; $15$; $8$ (tổng $N = 40$).

a) Thời gian chạy trung bình:

$$\overline{x} = \dfrac{5 \cdot 12,5 + 12 \cdot 13,5 + 15 \cdot 14,5 + 8 \cdot 15,5}{40} = \dfrac{62,5 + 162 + 217,5 + 124}{40} = \dfrac{566}{40} = 14,15 \text{ (giây)}.$$

b) Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất: $[14;\,15)$ với $n_i = 15$, $n_{i-1} = 12$, $n_{i+1} = 8$, $h = 1$, $a = 14$:

$$M_o = 14 + \dfrac{(15 - 12)}{(15 - 12) + (15 - 8)} \cdot 1 = 14 + \dfrac{3}{10} = 14,3.$$

Tần số tích luỹ: $5$; $17$; $32$; $40$. Vì $\dfrac{N}{2} = 20$ và $17 < 20 \le 32$ nên nhóm chứa trung vị là $[14;\,15)$:

$$M_e = 14 + \dfrac{20 - 17}{15} \cdot 1 = 14 + 0,2 = 14,2.$$

Vậy $\overline{x} = 14,15$ giây; $M_o = 14,3$; $M_e = 14,2$.