Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán – Lớp 11

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12, mỗi câu chọn một phương án đúng.

Câu 1 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1-\cos x}{\sin x}$ là

Câu 2 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 4 - 5\cos x$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $2\cos x - \sqrt{2} = 0$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công sai $d = -3$. Số hạng thứ mười hai của cấp số cộng bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và công bội $q = 2$. Tổng năm số hạng đầu của cấp số nhân bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2 = 5$ và $u_6 = 17$. Công sai của cấp số cộng đó bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho mẫu số liệu ghép nhóm có cỡ mẫu $n = 25$ với bảng tần số:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu đã cho là

Câu 8 (0,25 điểm). Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho mẫu số liệu ghép nhóm với các nhóm $[40;50)$, $[50;60)$, $[60;70)$, $[70;80)$ có tần số lần lượt là $6$; $26$; $5$; $3$. Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là

Câu 11 (0,25 điểm). Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G_1$, $G_2$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$ và $ABD$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 12 (0,25 điểm). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = 3\sin x - 2$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$.

c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3$.

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-5$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 4$ và công sai $d = 5$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) $u_5 = 24$.

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = 4 + 5n$ với mọi $n \geq 1$.

c) Tổng mười số hạng đầu tiên $S_{10} = 265$.

d) Tổng hai mươi số hạng đầu tiên $S_{20} = 1020$.

Câu 3 (1,0 điểm). Tốc độ của $40$ ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: km/h) được ghi lại ở bảng sau:

Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 40$.

b) Giá trị đại diện của nhóm $[60;70)$ là $65$.

c) Số trung bình của mẫu số liệu bằng $72,5$.

d) Mốt của mẫu số liệu bằng $75$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, $M$ là trung điểm của $SD$.

[Hình vẽ]

Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) $OM \parallel (SBC)$.

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

c) Hai đường thẳng $SO$ và $AD$ cắt nhau.

d) Mặt phẳng $(MAB)$ song song với mặt phẳng $(SCD)$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6, kết quả là một số viết dưới dạng số nguyên, số thập phân.

Câu 1 (0,5 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 5\sin x - 12\cos x$ bằng bao nhiêu?

Câu 2 (0,5 điểm). Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố trong ngày thứ $t$ của một năm (quy ước ngày thứ nhất là ngày 1 tháng 1) được cho bởi công thức

$$h(t) = 5\sin\left(\dfrac{\pi(t-80)}{180}\right) + 11 \quad (1 \leq t \leq 365,\ t \in \mathbb{N}).$$

Hỏi ngày thứ bao nhiêu của năm thì thành phố đó có số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất?

Câu 3 (0,5 điểm). Một rạp hát có $18$ hàng ghế, hàng ghế đầu tiên có $10$ ghế và kể từ hàng thứ hai trở đi, mỗi hàng nhiều hơn hàng ngay trước nó $4$ ghế. Hỏi rạp hát đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Câu 4 (0,5 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Số hạng thứ mấy của cấp số nhân bằng $1458$?

Câu 5 (0,5 điểm). Cho mẫu số liệu ghép nhóm với bảng tần số sau:

Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 6 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Trên cạnh $SC$ lấy điểm $M$ sao cho $SM=3MC$. Mặt phẳng $(MAB)$ cắt đường thẳng $SD$ tại $N$. Tính tỉ số $\dfrac{SN}{ND}$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Bảng đáp án nhanh

Câu 1. Đáp án A.

Hàm số xác định khi $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}$.

Câu 2. Đáp án C.

Ta có $-1 \le \cos x \le 1$ nên $4 - 5 \le y \le 4 + 5$, tức $-1 \le y \le 9$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ (đạt khi $\cos x = 1$).

Câu 3. Đáp án B.

$2\cos x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{4} + k2\pi$.

Câu 4. Đáp án C.

$u_{12} = u_1 + 11d = 5 + 11 \cdot (-3) = -28$.

Câu 5. Đáp án C.

$S_5 = u_1 \cdot \dfrac{1 - q^5}{1 - q} = 3 \cdot \dfrac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot 31 = 93$.

Câu 6. Đáp án D.

$u_6 - u_2 = 4d \Leftrightarrow 17 - 5 = 4d \Leftrightarrow d = 3$.

Câu 7. Đáp án C.

Cỡ mẫu $n = 25$, trung vị là số liệu thứ $13$. Tần số tích luỹ: $4$; $10$; $20$; $25$. Vị trí $13$ nằm trong nhóm $[30;40)$.

Câu 8. Đáp án A.

$MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN \parallel BC$. Mà $BC \subset (BCD)$ và $MN \not\subset (BCD)$, suy ra $MN \parallel (BCD)$.

Câu 9. Đáp án A.

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AB \parallel CD$, nên giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$.

Câu 10. Đáp án B.

Cỡ mẫu $n = 6 + 26 + 5 + 3 = 40$. Tứ phân vị thứ ba là số liệu thứ $\dfrac{3 \cdot 40}{4} = 30$. Tần số tích luỹ: $6$; $32$; $37$; $40$, nên vị trí $30$ thuộc nhóm $[50;60)$.

Câu 11. Đáp án A.

Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Trong tam giác $ABC$, $IG_1 = \dfrac{1}{3}IC$; trong tam giác $ABD$, $IG_2 = \dfrac{1}{3}ID$. Do đó $\dfrac{IG_1}{IC} = \dfrac{IG_2}{ID} = \dfrac{1}{3}$, suy ra $G_1G_2 \parallel CD$ và $G_1G_2 = \dfrac{1}{3}CD$.

Câu 12. Đáp án C.

Khẳng định C sai: nếu $a \parallel (P)$ và $b \parallel a$ thì $b$ có thể nằm trong $(P)$ (khi đó không kết luận được $b \parallel (P)$).

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1. Đáp án: a) Đ – b) S – c) S – d) Đ.

a) Hàm số $y = 3\sin x - 2$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$: đúng.

b) Trên $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ hàm $\sin x$ đồng biến nên $y$ đồng biến (không phải nghịch biến): sai.

c) $y \le 3 \cdot 1 - 2 = 1$, giá trị lớn nhất bằng $1$ (không phải $3$): sai.

d) $y \ge 3 \cdot (-1) - 2 = -5$, giá trị nhỏ nhất bằng $-5$: đúng.

Câu 2. Đáp án: a) Đ – b) S – c) Đ – d) S.

a) $u_5 = u_1 + 4d = 4 + 20 = 24$: đúng.

b) $u_n = u_1 + (n-1)d = 4 + 5(n-1) = 5n - 1$, khác $4 + 5n$: sai.

c) $S_{10} = \dfrac{10}{2}\left[2 \cdot 4 + 9 \cdot 5\right] = 5 \cdot 53 = 265$: đúng.

d) $S_{20} = \dfrac{20}{2}\left[2 \cdot 4 + 19 \cdot 5\right] = 10 \cdot 103 = 1030 \ne 1020$: sai.

Câu 3. Đáp án: a) Đ – b) Đ – c) S – d) S.

a) $n = 5 + 12 + 15 + 6 + 2 = 40$: đúng.

b) Giá trị đại diện của $[60;70)$ là $\dfrac{60 + 70}{2} = 65$: đúng.

c) Số trung bình

$$\overline{x} = \frac{55 \cdot 5 + 65 \cdot 12 + 75 \cdot 15 + 85 \cdot 6 + 95 \cdot 2}{40} = \frac{2880}{40} = 72,$$

khác $72,5$: sai.

d) Nhóm chứa mốt là $[70;80)$ (tần số $15$ lớn nhất). Mốt

$$M_0 = 70 + \frac{15 - 12}{(15 - 12) + (15 - 6)} \cdot 10 = 70 + \frac{3}{12} \cdot 10 = 72,5,$$

khác $75$: sai.

Câu 4. Đáp án: a) Đ – b) Đ – c) S – d) S.

a) $O$ là trung điểm $BD$, $M$ là trung điểm $SD$, nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SBD$, suy ra $OM \parallel SB$. Mà $SB \subset (SBC)$ và $OM \not\subset (SBC)$, do đó $OM \parallel (SBC)$: đúng.

b) $S$ là điểm chung thứ nhất; $AC \cap BD = O$ và $O$ thuộc cả hai mặt phẳng nên giao tuyến là $SO$: đúng.

c) $SO$ cắt mặt phẳng đáy tại $O$, mà $O \notin AD$, nên $SO$ và $AD$ chéo nhau: sai.

d) $(MAB)$ chứa $AB \parallel CD \subset (SCD)$ và chứa điểm $M \in (SCD)$, nên hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng qua $M$ song song $AB$; chúng không song song: sai.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Đáp số: $13$.

Với $a = 5$, $b = -12$: $5\sin x - 12\cos x = 13\sin(x + \varphi)$ nên $-13 \le y \le 13$. Giá trị lớn nhất bằng $13$.

Câu 2. Đáp số: ngày thứ $170$.

$h(t)$ lớn nhất khi $\sin\left(\dfrac{\pi(t-80)}{180}\right) = 1$, tức

$$\frac{\pi(t-80)}{180} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t - 80 = 90 + 360k \Leftrightarrow t = 170 + 360k.$$

Với $1 \le t \le 365$ chỉ có $k = 0$ cho $t = 170$.

Câu 3. Đáp số: $792$ ghế.

Số ghế các hàng lập thành cấp số cộng với $u_1 = 10$, $d = 4$, $n = 18$. Do đó

$$S_{18} = \frac{18}{2}\left[2 \cdot 10 + 17 \cdot 4\right] = 9 \cdot 88 = 792.$$

Câu 4. Đáp số: số hạng thứ $7$.

$u_n = u_1 q^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1} = 1458 \Leftrightarrow 3^{n-1} = 729 = 3^6 \Leftrightarrow n = 7$.

Câu 5. Đáp số: $2,6$.

Cỡ mẫu $n = 4 + 12 + 9 + 5 = 30$; tứ phân vị thứ nhất ứng với vị trí $\dfrac{30}{4} = 7,5$. Tần số tích luỹ: $4$; $16$; $25$; $30$, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[2;4)$ với $m = 2$, $n_m = 12$, $M = 2$, $u = 2$:

$$Q_1 = 2 + \frac{7,5 - 4}{12} \cdot 2 = 2 + \frac{7}{12} \approx 2,6.$$

Câu 6. Đáp số: $\dfrac{SN}{ND}=3$.

[Hình vẽ]

Mặt phẳng $(MAB)$ chứa $AB$, mà $AB \parallel CD \subset (SCD)$, nên giao tuyến của $(MAB)$ với $(SCD)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $CD$; đường thẳng này cắt $SD$ tại $N$. Trong tam giác $SCD$, $MN \parallel CD$ nên

$$\frac{SN}{ND}=\frac{SM}{MC}=3.$$