Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán – Lớp 10 (năm học 2026

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

Môn: Toán – Lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Chọn chữ cái đứng trước phương án trả lời đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

A. Hôm nay trời đẹp quá!

B. Bạn có khỏe không?

C. $3$ là số nguyên tố.

D. Hãy chăm chỉ học tập.

Câu 2. Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P: \forall x \in \mathbb{R},\, x^2 \ge 0$ là

A. $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 < 0$ .

B. $\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 < 0$ .

C. $\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 \le 0$ .

D. $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 \le 0$ .

Câu 3. Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$ . Số phần tử của tập hợp $A$ là

A. $4$ .

B. $5$ .

C. $6$ .

D. $3$ .

Câu 4. Cho hai tập hợp $A = (-\infty; 3]$ và $B = (1; 5)$ . Tập hợp $A \cap B$ là

A. $(-\infty; 5)$ .

B. $(1; 3)$ .

C. $(1; 3]$ .

D. $[1; 3]$ .

Câu 5. Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình $2x + 3y < 6$ ?

A. $(0; 3)$ .

B. $(2; 1)$ .

C. $(3; 0)$ .

D. $(1; 1)$ .

Câu 6. Miền nghiệm của bất phương trình $x - y + 2 \le 0$ là nửa mặt phẳng chứa điểm nào sau đây?

A. $O(0; 0)$ .

B. $N(1; 0)$ .

C. $M(0; 3)$ .

D. $P(2; 1)$ .

Câu 7. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y \le 4 \\ x - y \ge 0 \end{cases}$ ?

A. $(1; 1)$ .

B. $(3; 2)$ .

C. $(0; 2)$ .

D. $(2; 3)$ .

Câu 8. Giá trị lớn nhất của biểu thức $F = 2x + y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}$ bằng

A. $4$ .

B. $5$ .

C. $6$ .

D. $8$ .

Câu 9. Giá trị của biểu thức $\sin 120^\circ + \cos 60^\circ$ bằng

A. $\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$ .

B. $\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$ .

C. $1$ .

D. $0$ .

Câu 10. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\cos\alpha > 0$ .

B. $\tan\alpha > 0$ .

C. $\cot\alpha > 0$ .

D. $\sin\alpha > 0$ .

Câu 11. Tam giác $ABC$ có $AB = 3$ , $AC = 4$ và $\widehat{BAC} = 60^\circ$ . Độ dài cạnh $BC$ bằng

A. $5$ .

B. $7$ .

C. $\sqrt{13}$ .

D. $\sqrt{37}$ .

Câu 12. Tam giác $ABC$ có $b = 8$ , $c = 5$ và $\widehat{A} = 30^\circ$ . Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ bằng

A. $20$ .

B. $10$ .

C. $40$ .

D. $5$ .

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (2,0 điểm)

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho bất phương trình $x - 2y \le 4$ $(1)$ và hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y \ge 2 \\ x - y \le 2 \\ x \ge 0 \end{cases}$ $(2)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Điểm $A(2; -3)$ là một nghiệm của bất phương trình $(1)$ .

b) Miền nghiệm của bất phương trình $(1)$ là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$ , kể cả bờ.

c) Điểm $B(2; 0)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình $(2)$ .

d) Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(2)$ là một tam giác.

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$ , $AC = 8$ và $\widehat{BAC} = 60^\circ$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $BC = 2\sqrt{13}$ .

b) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $24\sqrt{3}$ .

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{2\sqrt{39}}{3}$ .

d) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Độ dài $AM = \sqrt{13}$ .

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Viết kết quả của mỗi câu vào phần trả lời. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 1. Cho hai tập hợp $A = [-3; 2)$ và $B = (0; 5]$ . Số các số nguyên thuộc tập hợp $A \cap B$ là bao nhiêu?

Câu 2. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ . Giá trị của $\cos\alpha$ bằng bao nhiêu? (Viết kết quả dưới dạng số thập phân.)

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ . Giá trị của $\cos A$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)

Câu 4. Từ hai vị trí $A$ và $B$ cách nhau $100$ m trên một đường thẳng nằm ngang (điểm $B$ nằm giữa $A$ và chân tòa nhà), người ta quan sát đỉnh $C$ của một tòa nhà. Biết góc nâng từ $A$ là $32^\circ$ và góc nâng từ $B$ là $40^\circ$ . Chiều cao của tòa nhà bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = [m - 1;\, m + 3]$ và $B = (-\infty;\, 2]$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $A \subset B$ .

Bài 2 (1,0 điểm). Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm $X$ và $Y$ . Mỗi sản phẩm $X$ cần $2$ giờ gia công và $1$ giờ kiểm tra; mỗi sản phẩm $Y$ cần $1$ giờ gia công và $2$ giờ kiểm tra. Trong một tuần, xưởng có tối đa $100$ giờ gia công và $80$ giờ kiểm tra. Biết mỗi sản phẩm $X$ thu lãi $3$ triệu đồng và mỗi sản phẩm $Y$ thu lãi $2$ triệu đồng.

a) Gọi $x$ , $y$ lần lượt là số sản phẩm $X$ , $Y$ sản xuất trong một tuần. Viết hệ bất phương trình biểu diễn các điều kiện của $x$ và $y$ .

b) Tìm số sản phẩm mỗi loại cần sản xuất để lợi nhuận thu được trong tuần là lớn nhất.

Bài 3 (1,0 điểm). Để đo khoảng cách từ một điểm $A$ trên bờ đến một điểm $C$ trên một hòn đảo, người ta chọn điểm $B$ trên bờ sao cho $A$ , $B$ cùng nằm trên một đường thẳng và $AB = 120$ m. Tại $A$ đo được $\widehat{BAC} = 75^\circ$ , tại $B$ đo được $\widehat{ABC} = 60^\circ$ . Tính khoảng cách $AC$ (làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Hướng dẫn chấm

HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn: Toán – Lớp 10

Năm học 2026 – 2027

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài là tổng điểm các phần, làm tròn đến $0,25$ .
- Phần trắc nghiệm: mỗi câu trả lời đúng được $0,25$ điểm.
- Phần đúng – sai: chấm theo bậc thang của Bộ GD&ĐT — đúng $1$ ý: $0,1$ điểm; đúng $2$ ý: $0,25$ điểm; đúng $3$ ý: $0,5$ điểm; đúng cả $4$ ý: $1,0$ điểm.
- Phần trả lời ngắn: mỗi câu trả lời đúng được $0,5$ điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn (3,0 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6
Đáp án	C	B	B	C	D	C

Câu	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	C	B	D	C	B

2. Phần II. Trắc nghiệm đúng – sai (2,0 điểm)

Câu	1a	1b	1c	1d	2a	2b	2c	2d
Đáp án	S	Đ	Đ	S	Đ	S	Đ	S

Điểm từng câu theo thang bậc: đúng $1$ ý được $0,1$ ; $2$ ý được $0,25$ ; $3$ ý được $0,5$ ; cả $4$ ý được $1,0$ .

Lời giải chi tiết Phần II

Câu	Ý	Lời giải chi tiết	Kết luận
1	a)	Thay $x = 2$ , $y = -3$ vào vế trái của $(1)$ : $x - 2y = 2 - 2\cdot(-3) = 8 > 4$ , không thỏa mãn $x - 2y \le 4$ .	S
	b)	Thay $O(0;0)$ : $0 - 2\cdot 0 = 0 \le 4$ nên $O$ thuộc miền nghiệm. Bất phương trình có dấu " $\le$ " nên miền nghiệm kể cả bờ $x - 2y = 4$ .	Đ
	c)	Thay $B(2;0)$ vào hệ $(2)$ : $2 + 0 = 2 \ge 2$ (đúng); $2 - 0 = 2 \le 2$ (đúng); $2 \ge 0$ (đúng). Vậy $B$ là nghiệm của hệ.	Đ
	d)	Miền nghiệm của $(2)$ là giao ba nửa mặt phẳng: $y \ge 2 - x$ , $y \ge x - 2$ , $x \ge 0$ . Miền này không bị chặn (chẳng hạn điểm $(10;10)$ thuộc miền và kéo dài ra vô hạn), không phải một tam giác.	S
2	a)	Định lí côsin: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A = 36 + 64 - 2\cdot 6\cdot 8\cdot\dfrac{1}{2} = 52$ . Suy ra $BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ .	Đ
	b)	$S = \dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A = \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ , khác $24\sqrt{3}$ .	S
	c)	$R = \dfrac{BC}{2\sin A} = \dfrac{2\sqrt{13}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{39}}{3}$ .	Đ
	d)	Trung tuyến: $AM^2 = \dfrac{AB^2 + AC^2}{2} - \dfrac{BC^2}{4} = \dfrac{36 + 64}{2} - \dfrac{52}{4} = 50 - 13 = 37$ . Suy ra $AM = \sqrt{37}$ , khác $\sqrt{13}$ .	S

3. Phần III. Trả lời ngắn (2,0 điểm)

Câu	1	2	3	4
Đáp án	1	$\mathbf{-0{,}8}$	$\mathbf{0{,}71}$	245

Mỗi câu trả lời đúng được $0,5$ điểm. Câu 2 chấp nhận kết quả $-0{,}8$ (hoặc $-\dfrac{4}{5}$ ). Câu 3 chấp nhận kết quả $0{,}71$ (hoặc $\dfrac{5}{7}$ ). Câu 4 chấp nhận kết quả $244$ hoặc $245$ do làm tròn.

Lời giải chi tiết Phần III

Câu	Lời giải chi tiết	Đáp án
1	$A = [-3;2)$ , $B = (0;5]$ nên $A \cap B = (0;2)$ . Các số nguyên thuộc $(0;2)$ chỉ có $1$ .	1
2	Ta có $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ nên $\cos^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}$ . Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos\alpha < 0$ , do đó $\cos\alpha = -\dfrac{4}{5} = -0{,}8$ .	$\mathbf{-0{,}8}$
3	Định lí côsin: $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{36 + 49 - 25}{2\cdot 6\cdot 7} = \dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}71$ .	$\mathbf{0{,}71}$
4	Gọi $H$ là chân tòa nhà, $CH = h$ ; đặt $BH = x$ (m), khi đó $AH = x + 100$ . Từ hai tam giác vuông: $h = x\tan 40^\circ$ và $h = (x + 100)\tan 32^\circ$ . Suy ra $x\tan 40^\circ = (x + 100)\tan 32^\circ$ , tức $x = \dfrac{100\tan 32^\circ}{\tan 40^\circ - \tan 32^\circ} \approx 291,7$ m. Khi đó $h = x\tan 40^\circ \approx 244,7$ m. Làm tròn đến hàng đơn vị: $h \approx 245$ m.	245

4. Phần IV. Tự luận (3,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
Bài 1 (1,0 điểm)		Tìm $m$ để $A \subset B$ với $A = [m-1;\, m+3]$ , $B = (-\infty;\, 2]$	1,0
		Tập $A$ là đoạn có độ dài $4$ nên $A \ne \varnothing$ với mọi $m$ .	0,25
		$A \subset B \iff m + 3 \le 2$ .	0,5
		$\iff m \le -1$ . Kết luận: $m \le -1$ .	0,25
Bài 2 (1,0 điểm)	a)	Viết hệ bất phương trình biểu diễn điều kiện của $x$ , $y$	0,5
		Điều kiện: $x \ge 0$ , $y \ge 0$ .	0,25
		Ràng buộc thời gian: $2x + y \le 100$ và $x + 2y \le 80$ .	0,25
	b)	Tìm $x$ , $y$ để lợi nhuận lớn nhất	0,5
		Lợi nhuận $F = 3x + 2y$ . Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$ , $A(50;0)$ , $B(40;20)$ , $C(0;40)$ (hình dưới).	0,25
		[Đồ thị]
		Tính $F$ tại các đỉnh: $F(O)=0$ ; $F(A)=150$ ; $F(B)=160$ ; $F(C)=80$ .	0,25
		Vậy lợi nhuận lớn nhất là $160$ triệu đồng khi sản xuất $40$ sản phẩm $X$ và $20$ sản phẩm $Y$ .	0,25
Bài 3 (1,0 điểm)		Tính khoảng cách $AC$ (làm tròn đến hàng đơn vị của mét)	1,0
		[Hình vẽ]
		$\widehat{ACB} = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$ .	0,25
		Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ : $\dfrac{AC}{\sin 60^\circ} = \dfrac{AB}{\sin 45^\circ}$ .	0,25
		Suy ra $AC = \dfrac{120 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = 60\sqrt{6} \approx 146{,}97$ m.	0,25
		Vậy $AC \approx 147$ m.	0,25

Hình vẽ sai hoặc không có hình thì không chấm phần bài làm tương ứng (đối với Bài 3).