Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán lớp 10

UBND XÃ …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I

Môn: Toán – Lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3,5 điểm)

Chọn chữ cái đứng trước phương án trả lời đúng.

Câu 1 (0,25 điểm). Phủ định của mệnh đề $P$ : “ $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 > 0$ ” là

A. $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 \le 0$

B. $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 \le 0$

C. $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 < 0$

D. $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 < 0$

Câu 2 (0,25 điểm). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. $\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 + 1$ chia hết cho $3$

B. $\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 = n$

C. $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > x$

D. $\exists x \in \mathbb{Q},\ x^2 = 2$

Câu 3 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 3\}$ . Số tập con của $A$ là

A. $8$

B. $16$

C. $4$

D. $6$

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = (-\infty;\, 2]$ và $B = (0;\, +\infty)$ . Tập hợp $A \cap B$ là

A. $(0;\, 2]$

B. $(0;\, 2)$

C. $[0;\, 2]$

D. $(-\infty;\, +\infty)$

Câu 5 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - y \ge 3$ ?

A. $(0;\, 1)$

B. $(2;\, 1)$

C. $(1;\, 0)$

D. $(1;\, 2)$

Câu 6 (0,25 điểm). Cặp số $(-1;\, 2)$ là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. $x + 2y > 3$

B. $2x + y \ge 0$

C. $x - y < -3$

D. $3x - y > 1$

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y \le 5 \\ x - y \ge -1 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ . Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ?

A. $(1;\, 1)$

B. $(4;\, 2)$

C. $(0;\, 3)$

D. $(3;\, 3)$

Câu 8 (0,25 điểm). Cho góc $\alpha$ thoả mãn $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ . Giá trị của $\cos\alpha$ bằng

A. $\dfrac{4}{5}$

B. $-\dfrac{4}{5}$

C. $-\dfrac{16}{25}$

D. $\dfrac{16}{25}$

Câu 9 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $T = \sin 30^\circ + \cos 120^\circ + \tan 135^\circ$ bằng

A. $-1$

B. $0$

C. $1$

D. $-2$

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4$ , $AC = 6$ , $\widehat{BAC} = 60^\circ$ . Độ dài cạnh $BC$ bằng

A. $2\sqrt{7}$

B. $2\sqrt{19}$

C. $\sqrt{37}$

D. $28$

Câu 11 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $a = 5$ , $b = 7$ , $c = 8$ . Giá trị của $\cos A$ bằng

A. $\dfrac{1}{2}$

B. $\dfrac{11}{14}$

C. $\dfrac{5}{7}$

D. $\dfrac{13}{14}$

Câu 12 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 60^\circ$ và $BC = 6$ . Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng

A. $3\sqrt{3}$

B. $6\sqrt{3}$

C. $2\sqrt{3}$

D. $4\sqrt{3}$

Câu 13 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3$ , $AC = 4$ , $\widehat{BAC} = 30^\circ$ . Diện tích tam giác $ABC$ bằng

A. $6$

B. $3\sqrt{3}$

C. $12$

D. $3$

Câu 14 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC = 8$ , $AC = 6$ , $AB = 4$ . Độ dài đường trung tuyến $AM$ ( $M$ là trung điểm của $BC$ ) bằng

A. $\sqrt{10}$

B. $\sqrt{5}$

C. $5$

D. $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$

PHẦN II. ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4$ , $AC = 6$ , $\widehat{BAC} = 60^\circ$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) $BC = 2\sqrt{7}$ .
b) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $12\sqrt{3}$ .
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$ .
d) $\cos\widehat{ABC} = \dfrac{\sqrt{7}}{7}$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y \le 6 \\ 2x + y \le 8 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) $M(2;\, 3)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.
b) $N(3;\, 3)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.
c) Miền nghiệm của hệ là một tứ giác có diện tích bằng $12$ .
d) $P(1;\, 5)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

PHẦN III. TỰ LUẬN (4,5 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết.

Bài 1 (2,0 điểm). Cho hệ bất phương trình

$\begin{cases} x + y \le 5 \\ x + 2y \le 8 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$

a) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ .
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3x + 2y$ trên miền nghiệm tìm được.

Bài 2 (2,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3$ , $AC = 8$ và $\widehat{BAC} = 60^\circ$ .

a) Tính độ dài cạnh $BC$ , diện tích $S$ của tam giác $ABC$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .
b) Tính $\cos\widehat{ABC}$ , $\cos\widehat{ACB}$ và độ dài đường trung tuyến $AM$ ( $M$ là trung điểm của $BC$ ).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

UBND XÃ …

TRƯỜNG THPT …

Hướng dẫn chấm

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I

Môn: Toán – Lớp 10

Năm học 2026 – 2027

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Thí sinh làm bài theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm quy định.
- Điểm toàn bài là tổng điểm các phần, cho lẻ đến $0,25$ điểm.
- Phần trắc nghiệm: mỗi câu trả lời đúng được $0,25$ điểm.
- Phần đúng/sai: đúng $1$ ý được $0,1$ điểm; đúng $2$ ý được $0,25$ điểm; đúng $3$ ý được $0,5$ điểm; đúng cả $4$ ý được $1,0$ điểm.
- Hình vẽ sai hoặc không có hình thì không chấm phần bài làm tương ứng.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. Phần trắc nghiệm (3,5 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	A	B	B	A	B	B	A	B	A	A

Câu	11	12	13	14
Đáp án	B	C	D	A

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

2. Phần đúng/sai (2,0 điểm)

Câu	1a	1b	1c	1d	2a	2b	2c	2d
Đáp án	Đ	S	Đ	S	Đ	S	S	Đ

Đúng 1 ý: 0,1 điểm — 2 ý: 0,25 điểm — 3 ý: 0,5 điểm — cả 4 ý: 1,0 điểm.

3. Phần tự luận (4,5 điểm)

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
Bài 1 (2,0 điểm)	a)	Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng toạ độ	1,0
		[Đồ thị]
		Vẽ đúng bốn đường thẳng $d_1: x+y=5$ , $d_2: x+2y=8$ , $x=0$ , $y=0$ và xác định đúng miền nghiệm (phần tô đậm, kể cả bờ).	0,5
		Xác định đúng bốn đỉnh của miền nghiệm: $O(0;0)$ , $A(5;0)$ , $B(2;3)$ , $C(0;4)$ .	0,5
	b)	Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $F = 3x + 2y$ trên miền nghiệm	1,0
		Tính $F$ tại bốn đỉnh: $F(0;0)=0$ , $F(5;0)=15$ , $F(2;3)=12$ , $F(0;4)=8$ .	0,5
		Vậy $\max F = 15$ tại $A(5;0)$ ; $\min F = 0$ tại $O(0;0)$ .	0,5
Bài 2 (2,5 điểm)	a)	Tính $BC$ , diện tích $S$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$	1,5
		[Hình vẽ]
		$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A = 9 + 64 - 24 = 49$ , suy ra $BC = 7$ .	0,5
		$S = \dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ .	0,5
		$R = \dfrac{BC}{2\sin A} = \dfrac{7}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ .	0,5
	b)	Tính $\cos\widehat{ABC}$ , $\cos\widehat{ACB}$ và độ dài $AM$	1,0
		[Hình vẽ]
		$\cos B = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} = \dfrac{9+49-64}{42} = -\dfrac{1}{7}$ ; $\cos C = \dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC} = \dfrac{64+49-9}{112} = \dfrac{13}{14}$ .	0,5
		$AM^2 = \dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4} = \dfrac{18+128-49}{4} = \dfrac{97}{4}$ , suy ra $AM = \dfrac{\sqrt{97}}{2}$ .	0,5

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Hình vẽ sai hoặc không có hình thì không chấm phần bài làm tương ứng.