Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán lớp 10

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề toán học?

Câu 2 (0,25 điểm). Mệnh đề phủ định của mệnh đề "$P: \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0$" là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 4\}$. Viết tập hợp $A$ bằng cách liệt kê các phần tử.

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{1; 2; 3; 5; 7\}$ và $B = \{2; 4; 6; 7\}$. Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = (-3; 4]$ và $B = [0; +\infty)$. Tập hợp $A \cup B$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 7 (0,25 điểm). Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình $3x - 2y \ge 1$?

Câu 8 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y - 2 \le 0 \\ 2x - 3y + 2 > 0 \end{cases}$?

Câu 9 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 11 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 30^\circ$ và cạnh $BC = 6$. Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $b = 4$, $c = 5$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x < 5\}$ và $B = (1; 8]$.
a) Tập hợp $A$ là nửa khoảng $[-2; 5)$.
b) Giao của hai tập hợp là $A \cap B = (1; 5)$.
c) Hiệu của hai tập hợp là $A \setminus B = [-2; 1)$.
d) Có đúng 3 số nguyên thuộc tập hợp $B \setminus A$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \\ 2x + y \le 6 \end{cases} \quad (I)$.
a) Cặp số $(1; 2)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình $(I)$.
b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(I)$ là một miền tứ giác (kể cả biên).
c) Điểm $M(2; 2)$ là một đỉnh của miền nghiệm của hệ bất phương trình $(I)$.
d) Biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ $(I)$ bằng $10$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Lớp 10A có 40 học sinh, trong đó có 25 bạn tham gia câu lạc bộ Bóng đá, 18 bạn tham gia câu lạc bộ Bóng rổ và 8 bạn không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp 10A tham gia cả hai câu lạc bộ Bóng đá và Bóng rổ?

Câu 2 (0,5 điểm). Một hộ nông dân dự định trồng hai loại cây là ngô và đậu tương trên diện tích tối đa $8$ ha. Lợi nhuận thu được khi trồng ngô là $30$ triệu đồng/ha, trồng đậu tương là $40$ triệu đồng/ha. Tổng số công chăm sóc không vượt quá $180$ công, biết mỗi hecta ngô cần $20$ công chăm sóc và mỗi hecta đậu tương cần $30$ công chăm sóc. Lợi nhuận lớn nhất mà hộ nông dân có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 3 (0,5 điểm). Để đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bị ngăn cách bởi một hồ nước, người ta chọn một điểm $C$ trên bờ có thể nhìn thấy cả hai điểm $A$ và $B$. Người ta đo được khoảng cách $CA = 40$ m, $CB = 60$ m và góc $\widehat{ACB} = 120^\circ$. Tính khoảng cách $AB$ (đơn vị: mét, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 4 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh lần lượt là $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

PHẦN IV. Tự luận (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các bài toán sau.

Bài 1 (1,0 điểm).
1) Cho hai tập hợp $A = (-4; 3]$ và $B = [1; 6)$. Xác định các tập hợp $A \cup B$, $A \cap B$ và $A \setminus B$.
2) Cho tập hợp $M = [m - 1; m + 3]$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A \cap M \ne \varnothing$.

Bài 2 (1,0 điểm). Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Thời gian để làm ra một chiếc bàn là $3$ giờ lao động máy và $1$ giờ hoàn thiện thủ công. Thời gian để làm một chiếc ghế là $1$ giờ lao động máy và $2$ giờ hoàn thiện thủ công. Xưởng có tối đa $180$ giờ máy và $100$ giờ lao động thủ công mỗi tuần. Biết mỗi chiếc bàn bán ra đem lại lợi nhuận $400$ nghìn đồng, mỗi chiếc ghế đem lại lợi nhuận $300$ nghìn đồng.
1) Hãy gọi $x, y$ lần lượt là số chiếc bàn và số chiếc ghế xưởng sản xuất trong một tuần. Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả các điều kiện giới hạn về thời gian của xưởng.
2) Cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn và bao nhiêu chiếc ghế mỗi tuần để xưởng thu được lợi nhuận cao nhất? Tính lợi nhuận cao nhất đó.

Bài 3 (1,0 điểm).
1) Cho tam giác $ABC$ có cạnh $AB = 6$, $AC = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $BC$ và diện tích của tam giác $ABC$.
2) Gọi $M, N$ là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh $AB, AC$ sao cho đoạn thẳng $MN$ chia tam giác $ABC$ thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 3

Chọn đáp án A.

Lời giải chi tiết:

Tập hợp các số tự nhiên là $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; \dots\}$.

Theo đề bài, tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 4\}$, nghĩa là $x$ là số tự nhiên không vượt quá $4$.

Do đó, các giá trị của $x$ thỏa mãn là: $x \in \{0; 1; 2; 3; 4\}$.

Viết tập hợp $A$ bằng cách liệt kê các phần tử:

$$A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$$

- A. $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$ (Đúng).
- B. $A = \{1; 2; 3; 4\}$ (Sai vì thiếu phần tử $0 \in \mathbb{N}$).
- C. $A = \{0; 1; 2; 3\}$ (Sai vì thiếu phần tử $4$, do điều kiện có dấu $\le$).
- D. $A = \{1; 2; 3\}$ (Sai vì thiếu phần tử $0$ và $4$).

Vậy đáp án đúng là A.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

BẢNG ĐÁP ÁN NHANH

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪNG PHẦN

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Chọn đáp án A.

Giải thích:
- Câu A: "Số 17 là số nguyên tố" là một khẳng định đúng về một đối tượng toán học, do đó đây là một mệnh đề toán học.
- Câu B: "Bạn có thích học môn Toán không?" là câu nghi vấn (câu hỏi).
- Câu C: "Thời tiết hôm nay thật đẹp!" là câu cảm thán.
- Câu D: "Hãy giải phương trình bậc hai này!" là câu cầu khiến (mệnh lệnh).

Câu 2

Chọn đáp án A.

Giải thích:
Mệnh đề đã cho có dạng: $P: \forall x \in \mathbb{R}, A(x)$ với $A(x): "x^2 + 1 > 0"$.
Phủ định của mệnh đề này là:

$$\overline{P}: \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0$$

Câu 3

Chọn đáp án A.

Giải thích:
Tập hợp số tự nhiên là $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; \dots\}$.
Điều kiện $x \in \mathbb{N}$ và $x \le 4$ cho ta các giá trị: $x \in \{0; 1; 2; 3; 4\}$.
Vậy $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$.

Câu 4

Chọn đáp án A.

Giải thích:
Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$:

$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ và } x \in B\} = \{2; 7\}$$

Câu 5

Chọn đáp án A.

Giải thích:
Biểu diễn hai tập hợp $A = (-3; 4]$ và $B = [0; +\infty)$ trên trục số:
Hợp của hai tập hợp $A$ và $B$ gồm tất cả các điểm thuộc ít nhất một trong hai tập hợp:

$$A \cup B = (-3; +\infty)$$

Câu 6

Chọn đáp án A.

Giải thích:
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là $ax + by + c > 0$ (hoặc $\ge 0, < 0, \le 0$), trong đó $a, b$ không đồng thời bằng $0$, các biến $x, y$ đều có bậc nhất.
- Bất phương trình $2x - 3y + 5 > 0$ có $a = 2, b = -3$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Các bất phương trình ở phương án B, C, D đều chứa biến bậc hai ($x^2, y^2, xy$).

Câu 7

Chọn đáp án A.

Giải thích:
Thay từng cặp số $(x; y)$ vào bất phương trình $3x - 2y \ge 1$:
- Với $(1; 1)$: $3(1) - 2(1) = 1 \ge 1$ (thỏa mãn).
- Với $(0; 1)$: $3(0) - 2(1) = -2 < 1$ (không thỏa mãn).
- Với $(1; 2)$: $3(1) - 2(2) = -1 < 1$ (không thỏa mãn).
- Với $(-1; 0)$: $3(-1) - 2(0) = -3 < 1$ (không thỏa mãn).
Vậy $(1; 1)$ là một nghiệm của bất phương trình.

Câu 8

Chọn đáp án A.

Giải thích:
Thay tọa độ điểm $(0; 0)$ vào hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 0 + 0 - 2 = -2 \le 0 \quad (\text{đúng}) \\ 2(0) - 3(0) + 2 = 2 > 0 \quad (\text{đúng}) \end{cases}$$

Do đó điểm $(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

Câu 9

Chọn đáp án A.

Giải thích:
Ta có các giá trị lượng giác đặc biệt: $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ và $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$.
Suy ra:

$$\sin 30^\circ + \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$$

Câu 10

Chọn đáp án A.

Giải thích:
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

Câu 11

Chọn đáp án A.

Giải thích:
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có:

$$\dfrac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{6}{2\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6$$

Câu 12

Chọn đáp án A.

Giải thích:
Diện tích tam giác $ABC$ được tính theo công thức:

$$S = \dfrac{1}{2}bc \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x < 5\}$ và $B = (1; 8]$.

a) Đúng. Ta có $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x < 5\} = [-2; 5)$, đây là nửa khoảng.
b) Đúng. Giao của hai tập hợp là phần tử thuộc cả hai tập:

$$A \cap B = [-2; 5) \cap (1; 8] = (1; 5)$$

c) Sai. Hiệu của hai tập hợp $A \setminus B$ gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$:

$$A \setminus B = [-2; 5) \setminus (1; 8] = [-2; 1]$$

Vì số $1 \notin B$ nên $1 \in A \setminus B$, do đó tại đầu mút $1$ là ngoặc vuông, không phải ngoặc tròn.
d) Sai. Ta có:

$$B \setminus A = (1; 8] \setminus [-2; 5) = [5; 8]$$

Các số nguyên thuộc tập hợp $B \setminus A = [5; 8]$ là $\{5; 6; 7; 8\}$.
Vậy có $4$ số nguyên thuộc $B \setminus A$, không phải $3$.

Câu 2

Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \\ 2x + y \le 6 \end{cases} \quad (I)$$

a) Đúng. Thay cặp số $(1; 2)$ vào hệ $(I)$:

$$\begin{cases} 1 \ge 0 \\ 2 \ge 0 \\ 1 + 2 = 3 \le 4 \\ 2(1) + 2 = 4 \le 6 \end{cases}$$

Tất cả các bất đẳng thức đều đúng, do đó $(1; 2)$ là một nghiệm của hệ.
b) Đúng. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$:
- Bất phương trình $x \ge 0$ xác định nửa mặt phẳng bên phải trục tung $Oy$.
- Bất phương trình $y \ge 0$ xác định nửa mặt phẳng phía trên trục hoành $Ox$.
- Đường thẳng $d_1: x + y = 4$ cắt $Oy$ tại $C(0; 4)$ và cắt $d_2$ tại $B(2; 2)$.
- Đường thẳng $d_2: 2x + y = 6$ cắt $Ox$ tại $A(3; 0)$ và cắt $d_1$ tại $B(2; 2)$.
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ (kể cả biên) với các đỉnh:

$$O(0; 0), \quad A(3; 0), \quad B(2; 2), \quad C(0; 4)$$

c) Đúng. Tọa độ điểm $M(2; 2)$ là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases}$. Điểm $M(2; 2)$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ và là giao điểm của hai cạnh biên, do đó $M(2; 2)$ là một đỉnh của miền nghiệm.
d) Đúng. Giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$ trên miền đa giác đạt được tại một trong các đỉnh $O, A, B, C$:
- Tại $O(0; 0)$: $F(0; 0) = 3(0) + 2(0) = 0$.
- Tại $A(3; 0)$: $F(3; 0) = 3(3) + 2(0) = 9$.
- Tại $B(2; 2)$: $F(2; 2) = 3(2) + 2(2) = 10$.
- Tại $C(0; 4)$: $F(0; 4) = 3(0) + 2(4) = 8$.
So sánh các giá trị trên, ta thấy $F(x; y)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $10$ tại đỉnh $B(2; 2)$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Đáp án: 11

Lời giải chi tiết:
Gọi $U$ là tập hợp học sinh của lớp 10A $\Rightarrow n(U) = 40$.
Gọi $A$ là tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ Bóng đá $\Rightarrow n(A) = 25$.
Gọi $B$ là tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ Bóng rổ $\Rightarrow n(B) = 18$.
Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ là:

$$n(A \cup B) = 40 - 8 = 32$$

Áp dụng công thức số phần tử của hợp hai tập hợp:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

$$\Rightarrow n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 25 + 18 - 32 = 11$$

Vậy có $11$ học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ.

Câu 2

Đáp án: 260

Lời giải chi tiết:
Gọi $x, y$ (đơn vị: ha) lần lượt là diện tích trồng ngô và diện tích trồng đậu tương ($x \ge 0, y \ge 0$).
Theo giả thiết:
- Tổng diện tích không vượt quá $8$ ha: $x + y \le 8$.
- Tổng số công chăm sóc không vượt quá $180$ công:

$$20x + 30y \le 180 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 18$$

Ta có hệ bất phương trình mô tả bài toán:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 8 \\ 2x + 3y \le 18 \end{cases}$$

Lợi nhuận thu được là $T(x; y) = 30x + 40y$ (triệu đồng).
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác với các đỉnh:
- $O(0; 0)$
- $M(0; 6)$ (giao điểm của $2x + 3y = 18$ với trục $Oy$)
- $N(6; 2)$ (nghiệm của hệ $\begin{cases} x + y = 8 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases}$)
- $P(8; 0)$ (giao điểm của $x + y = 8$ với trục $Ox$)

Tính giá trị của $T(x; y)$ tại các đỉnh:
- $T(0; 0) = 0$
- $T(0; 6) = 30(0) + 40(6) = 240$ (triệu đồng)
- $T(6; 2) = 30(6) + 40(2) = 180 + 80 = 260$ (triệu đồng)
- $T(8; 0) = 30(8) + 40(0) = 240$ (triệu đồng)
Vậy lợi nhuận lớn nhất mà hộ nông dân có thể đạt được là $260$ triệu đồng (đạt được khi trồng $6$ ha ngô và $2$ ha đậu tương).

Câu 3

Đáp án: 87

Lời giải chi tiết:
Xét tam giác $ABC$ có $CA = 40$ m, $CB = 60$ m và $\widehat{ACB} = 120^\circ$.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$:

$$AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos \widehat{ACB}$$

$$AB^2 = 40^2 + 60^2 - 2 \cdot 40 \cdot 60 \cdot \cos 120^\circ$$

Vì $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$, ta có:

$$AB^2 = 1600 + 3600 - 4800 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 5200 + 2400 = 7600$$

Suy ra:

$$AB = \sqrt{7600} = 20\sqrt{19} \approx 87,18\text{ m}$$

Làm tròn đến hàng đơn vị, khoảng cách $AB$ bằng $87$ m.

Câu 4

Đáp án: 4

Lời giải chi tiết:
Nửa chu vi của tam giác $ABC$ là:

$$p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$$

Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{21 \cdot (21 - 13) \cdot (21 - 14) \cdot (21 - 15)}$$

$$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(21 \cdot 7) \cdot (8 \cdot 6)} = \sqrt{147 \cdot 48} = \sqrt{7056} = 84$$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là:

$$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$$

PHẦN IV. Tự luận

Bài 1 (1,0 điểm)

1) Cho hai tập hợp $A = (-4; 3]$ và $B = [1; 6)$. Xác định các tập hợp $A \cup B$, $A \cap B$ và $A \setminus B$.

Ta có:
- Hợp của hai tập hợp:

$$A \cup B = (-4; 3] \cup [1; 6) = (-4; 6)$$

- Giao của hai tập hợp:

$$A \cap B = (-4; 3] \cap [1; 6) = [1; 3]$$

- Hiệu của hai tập hợp:

$$A \setminus B = (-4; 3] \setminus [1; 6) = (-4; 1)$$

2) Cho tập hợp $M = [m - 1; m + 3]$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A \cap M \ne \varnothing$.

Tập hợp $A = (-4; 3]$ và $M = [m - 1; m + 3]$.
Ta xét trường hợp phủ định $A \cap M = \varnothing$.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi đoạn $M$ nằm hoàn toàn về phía bên trái hoặc hoàn toàn về phía bên phải của nửa khoảng $A$:

$$\left[\begin{array}{l} m + 3 \le -4 \\ m - 1 > 3 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m \le -7 \\ m > 4 \end{array}\right.$$

Do đó, để $A \cap M \ne \varnothing$, điều kiện là:

$$\begin{cases} m + 3 > -4 \\ m - 1 \le 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > -7 \\ m \le 4 \end{cases} \Leftrightarrow -7 < m \le 4$$

Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $m \in (-7; 4]$.

Bài 2 (1,0 điểm)

1) Hãy gọi $x, y$ lần lượt là số chiếc bàn và số chiếc ghế xưởng sản xuất trong một tuần. Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả các điều kiện giới hạn về thời gian của xưởng.

Gọi $x, y$ lần lượt là số chiếc bàn và số chiếc ghế sản xuất trong một tuần ($x \ge 0, y \ge 0$).
- Số giờ lao động máy cần dùng là: $3x + y$ (giờ). Vì quỹ thời gian máy tối đa là $180$ giờ nên ta có:

$$3x + y \le 180$$

- Số giờ hoàn thiện thủ công cần dùng là: $x + 2y$ (giờ). Vì quỹ thời gian thủ công tối đa là $100$ giờ nên ta có:

$$x + 2y \le 100$$

Vậy hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả bài toán là:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 3x + y \le 180 \\ x + 2y \le 100 \end{cases}$$

2) Cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn và bao nhiêu chiếc ghế mỗi tuần để xưởng thu được lợi nhuận cao nhất? Tính lợi nhuận cao nhất đó.

Tổng lợi nhuận thu được trong một tuần là:

$$L(x; y) = 400x + 300y \quad (\text{nghìn đồng})$$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ (kể cả biên), trong đó:
- $O(0; 0)$ là gốc tọa độ.
- Điểm $A(0; 50)$ là giao điểm của đường thẳng $x + 2y = 100$ với trục tung $Oy$.
- Điểm $C(60; 0)$ là giao điểm của đường thẳng $3x + y = 180$ với trục hoành $Ox$.
- Điểm $B$ là giao điểm của hai đường thẳng $3x + y = 180$ và $x + 2y = 100$:

$$\begin{cases} 3x + y = 180 \\ x + 2y = 100 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6x + 2y = 360 \\ x + 2y = 100 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5x = 260 \\ y = 180 - 3x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 52 \\ y = 24 \end{cases}$$

Do đó $B(52; 24)$.

Tính giá trị của biểu thức lợi nhuận $L(x; y)$ tại các đỉnh:
- $L(O) = L(0; 0) = 400(0) + 300(0) = 0$ (nghìn đồng).
- $L(A) = L(0; 50) = 400(0) + 300(50) = 15\,000$ (nghìn đồng).
- $L(C) = L(60; 0) = 400(60) + 300(0) = 24\,000$ (nghìn đồng).
- $L(B) = L(52; 24) = 400(52) + 300(24) = 20\,800 + 7\,200 = 28\,000$ (nghìn đồng).

So sánh các giá trị trên, ta thấy $L(x; y)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $28\,000$ nghìn đồng khi $x = 52$ và $y = 24$.
Vậy để thu được lợi nhuận cao nhất, xưởng cần sản xuất $52$ chiếc bàn và $24$ chiếc ghế mỗi tuần. Lợi nhuận cao nhất thu được là $28\,000\,000$ đồng.

Bài 3 (1,0 điểm)

1) Cho tam giác $ABC$ có cạnh $AB = 6$, $AC = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $BC$ và diện tích của tam giác $ABC$.

- Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$$

$$BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 36 + 64 - 96 \cdot \dfrac{1}{2} = 100 - 48 = 52$$

Suy ra:

$$BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

- Diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 24 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$$

2) Gọi $M, N$ là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh $AB, AC$ sao cho đoạn thẳng $MN$ chia tam giác $ABC$ thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$.

Đoạn thẳng $MN$ chia tam giác $ABC$ thành hai phần có diện tích bằng nhau, suy ra phần tam giác $AMN$ có diện tích bằng một nửa diện tích tam giác $ABC$:

$$S_{AMN} = \dfrac{1}{2} S_{ABC}$$

Mặt khác, tỉ số diện tích giữa tam giác $AMN$ và tam giác $ABC$ là:

$$\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \dfrac{\frac{1}{2} AM \cdot AN \cdot \sin A}{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A} = \dfrac{AM}{AB} \cdot \dfrac{AN}{AC}$$

Suy ra:

$$\dfrac{AM}{AB} \cdot \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{AM}{6} \cdot \dfrac{AN}{8} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow AM \cdot AN = 24$$

Đặt $AM = x$ ($0 < x \le 6$) và $AN = y$ ($0 < y \le 8$). Khi đó $x \cdot y = 24$.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $AMN$:

$$MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos A$$

$$MN^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cdot \cos 60^\circ = x^2 + y^2 - xy$$

Thay $xy = 24$ vào biểu thức, ta được:

$$MN^2 = x^2 + y^2 - 24$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x^2$ và $y^2$:

$$x^2 + y^2 \ge 2\sqrt{x^2 y^2} = 2xy = 2 \cdot 24 = 48$$

Do đó:

$$MN^2 \ge 48 - 24 = 24 \Rightarrow MN \ge \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$$\begin{cases} x = y \\ xy = 24 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$

Vì $2\sqrt{6} \approx 4,90$ thỏa mãn điều kiện $0 < x \le 6$ và $0 < y \le 8$ nên dấu đẳng thức hoàn toàn có thể xảy ra.
Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ là $2\sqrt{6}$.

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

MÔN: TOÁN 10 – NĂM HỌC 2024 – 2025
(Theo định dạng cấu trúc đề thi và khung ma trận chuẩn Công văn 7991/BGDĐT-GDTrH)

I. KHUNG MA TRẬN TỔNG QUÁT

Quy ước các dạng thức câu hỏi:
- TN: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Phần I: 12 câu $\times$ 0,25 điểm = 3,0 điểm).
- Đ-S: Câu trắc nghiệm Đúng/Sai (Phần II: 2 câu $\times$ 4 ý = 8 lệnh hỏi; mỗi ý chấm theo quy cách thang điểm Đúng/Sai, quy đổi 1,0 điểm/câu = 2,0 điểm).
- TLN: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (Phần III: 4 câu $\times$ 0,5 điểm = 2,0 điểm).
- TL: Tự luận (Phần IV: 3 bài $\times$ 2 ý = 6 ý $\times$ 0,5 điểm = 3,0 điểm).