Đề kiểm tra Giữa học kì I môn Toán 8 năm học 2026 – 2027

Đáp án

B

B

B

A

B

A

A

B

A

A

B

C

Bài 1
(1,5 điểm)

a

Thu gọn và tìm bậc của đa thức $A$ (1,0 điểm)

1,0

$A = (5x^2y - 4x^2y) + (-3xy^2 + 3xy^2) + x^3 - 2$

0,5

$A = x^2y + x^3 - 2$

0,25

Đa thức $A$ có bậc là $3$ (vì các hạng tử $x^2y$ và $x^3$ đều có bậc cao nhất là $3$).

0,25

b

Tính giá trị của đa thức $A$ tại $x = -2$ và $y = 3$ (0,5 điểm)

0,5

Thay $x = -2$ và $y = 3$ vào đa thức thu gọn $A = x^2y + x^3 - 2$:
$A = (-2)^2 \cdot 3 + (-2)^3 - 2$

0,25

$A = 4 \cdot 3 + (-8) - 2 = 12 - 8 - 2 = 2$.
Vậy tại $x = -2, y = 3$ giá trị của $A$ là $2$.

0,25

Bài 2
(1,5 điểm)

a

Rút gọn biểu thức $2x(3x^2 - 5x + 1) - 6x^3 + 10x^2$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có: $2x(3x^2 - 5x + 1) - 6x^3 + 10x^2 = 6x^3 - 10x^2 + 2x - 6x^3 + 10x^2$

0,25

$= (6x^3 - 6x^3) + (-10x^2 + 10x^2) + 2x = 2x$.

0,25

b

Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức (0,5 điểm)

0,5

$(15x^4y^3 - 20x^3y^4 + 25x^2y^2) : (5x^2y^2)$
$= (15x^4y^3 : 5x^2y^2) - (20x^3y^4 : 5x^2y^2) + (25x^2y^2 : 5x^2y^2)$

0,25

$= 3x^2y - 4xy^2 + 5$.

0,25

c

Rút gọn $(x + 2)^2 - (x - 3)(x + 3)$ (0,5 điểm)

0,5

Áp dụng hằng đẳng thức:
$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$

0,25

Biểu thức trở thành: $x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 9) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9 = 4x + 13$.

0,25

Bài 3
(1,5 điểm)

a

Tìm $x$: $(x - 4)^2 - x(x + 2) = 1$ (0,75 điểm)

0,75

Khai triển: $x^2 - 8x + 16 - (x^2 + 2x) = 1$

0,25

$\Leftrightarrow x^2 - 8x + 16 - x^2 - 2x = 1 \Leftrightarrow -10x + 16 = 1$

0,25

$\Leftrightarrow -10x = -15 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$. Vậy $x = \dfrac{3}{2}$.

0,25

b

Tìm $x$: $(2x - 1)^2 - (2x + 3)(2x - 3) = 14$ (0,75 điểm)

0,75

Khai triển: $(4x^2 - 4x + 1) - (4x^2 - 9) = 14$

0,25

$\Leftrightarrow 4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 + 9 = 14 \Leftrightarrow -4x + 10 = 14$

0,25

$\Leftrightarrow -4x = 4 \Leftrightarrow x = -1$. Vậy $x = -1$.

0,25

Bài 4
(1,5 điểm)

a

Biểu diễn diện tích phần sân lát gạch theo $x$ (1,0 điểm)

1,0

Diện tích toàn bộ mảnh sân hình chữ nhật là:
$S_{\text{sân}} = (2x + 5)(x + 3) = 2x^2 + 6x + 5x + 15 = 2x^2 + 11x + 15\text{ (m}^2\text{)}$

0,5

Diện tích khu đất trồng hoa hình vuông là:
$S_{\text{hoa}} = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\text{ (m}^2\text{)}$

0,25

Diện tích phần sân lát gạch là:
$S = S_{\text{sân}} - S_{\text{hoa}} = (2x^2 + 11x + 15) - (x^2 - 2x + 1) = x^2 + 13x + 14\text{ (m}^2\text{)}$

0,25

b

Tính chi phí lát gạch khi $x = 5$ mét (0,5 điểm)

0,5

Khi $x = 5$, diện tích lát gạch là:
$S = 5^2 + 13 \cdot 5 + 14 = 25 + 65 + 14 = 104\text{ (m}^2\text{)}$

0,25

Chi phí mua gạch lát sân là:
$104 \cdot 150\,000 = 15\,600\,000$ (đồng).

0,25

Bài 5
(1,0 điểm)

a

Chứng minh biểu thức $M$ luôn dương với mọi $x$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có: $M = x^2 - 6x + 15 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 9) + 6 = (x - 3)^2 + 6$

0,25

Vì $(x - 3)^2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $(x - 3)^2 + 6 \ge 6 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Vậy biểu thức $M$ luôn nhận giá trị dương với mọi $x$.

0,25

b

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 2026$ (0,5 điểm)

0,5

Ta biến đổi biểu thức $P$:
$P = (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 4y + 4) + 2022$
$P = (x - y)^2 + (y + 2)^2 + 2022$

0,25

Vì $(x - y)^2 \ge 0$ và $(y + 2)^2 \ge 0$ với mọi $x, y$
Nên $P \ge 2022$ với mọi $x, y$.
Dấu "$=$" xảy ra khi $\begin{cases} y + 2 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = -2$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2022$ khi $x = y = -2$.

0,25

Đáp án

B

B

C

A

A

C

Đáp án

B

B

A

D

B

B

Bài 1
(1,5 điểm)

a

Thu gọn đa thức $A$ (0,75 điểm)

0,75

$A = (3x^2y - 2x^2y) + (-4xy^2 + 4xy^2) + (5 - 9)$

0,25

$A = x^2y + 0 - 4$

0,25

Vậy $A = x^2y - 4$.

0,25

b

Tính giá trị biểu thức $B$ (0,75 điểm)

0,75

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $B = (x - 2y)[x^2 + x \cdot (2y) + (2y)^2] = x^3 - (2y)^3 = x^3 - 8y^3$

0,25

Thay $x = 3$ và $y = -\dfrac{1}{2}$ vào biểu thức ta có:
$B = 3^3 - 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 = 27 - 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{8}\right)$

0,25

$B = 27 - (-1) = 27 + 1 = 28$. Vậy $B = 28$.

0,25

Bài 2
(1,5 điểm)

a

Giải phương trình $3x(x - 2) - (x - 2) = 0$ (0,75 điểm)

0,75

$(x - 2)(3x - 1) = 0$

0,25

$\Rightarrow x - 2 = 0$ hoặc $3x - 1 = 0$

0,25

$\Rightarrow x = 2$ hoặc $x = \dfrac{1}{3}$. Vậy $x \in \left\{2; \dfrac{1}{3}\right\}$.

0,25

b

Giải phương trình $(x + 3)^2 - (x - 1)(x + 1) = 16$ (0,75 điểm)

0,75

$(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 1) = 16$

0,25

$x^2 + 6x + 9 - x^2 + 1 = 16 \iff 6x + 10 = 16$

0,25

$6x = 6 \iff x = 1$. Vậy $x = 1$.

0,25

Bài 3
(1,0 điểm)

a

Viết biểu thức diện tích tăng thêm (0,5 điểm)

0,5

Diện tích ban đầu của mảnh vườn là: $S_1 = 2x \cdot y = 2xy$ ($\text{m}^2$).
Chiều dài mới là $2x + 3$ (m); chiều rộng mới là $y + 2$ (m).
Diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là: $S_2 = (2x + 3)(y + 2) = 2xy + 4x + 3y + 6$ ($\text{m}^2$).

0,25

Diện tích phần đất tăng thêm là:
$\Delta S = S_2 - S_1 = (2xy + 4x + 3y + 6) - 2xy = 4x + 3y + 6$ ($\text{m}^2$).

0,25

b

Tính diện tích tăng thêm khi $x = 10, y = 8$ (0,5 điểm)

0,5

Thay $x = 10$ và $y = 8$ vào biểu thức $\Delta S = 4x + 3y + 6$, ta được:

0,25

$\Delta S = 4 \cdot 10 + 3 \cdot 8 + 6 = 40 + 24 + 6 = 70$ ($\text{m}^2$).
Vậy diện tích tăng thêm là $70\text{ m}^2$.

0,25

Bài 4
(2,5 điểm)

[Hình vẽ]

a

Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (1,0 điểm)

1,0

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (hay $\widehat{DAE} = 90^\circ$).

0,25

Do $MD \perp AB$ tại $D$ nên $\widehat{MDA} = 90^\circ$.

0,25

Do $ME \perp AC$ tại $E$ nên $\widehat{MEA} = 90^\circ$.

0,25

Tứ giác $ADME$ có ba góc vuông: $\widehat{DAE} = \widehat{MDA} = \widehat{MEA} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

0,25

b

Chứng minh tứ giác $BDEC$ là hình thang (0,75 điểm)

0,75

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ và $ME \perp AC$, $AB \perp AC$ nên $ME \parallel AB$. Suy ra $E$ là trung điểm của $AC$.

0,25

Tương tự, $MD \perp AB$, $AC \perp AB$ nên $MD \parallel AC \Rightarrow D$ là trung điểm của $AB$.

0,25

Do đó, $DE$ là đường trung bình của $\triangle ABC \Rightarrow DE \parallel BC$.
Tứ giác $BDEC$ có $DE \parallel BC$ nên là hình thang.

0,25

c

Chứng minh tứ giác $AMCP$ là hình thoi (0,75 điểm)

0,75

Theo giả thiết, $P$ đối xứng với $M$ qua $E$ nên $E$ là trung điểm của $MP$.
Mặt khác, theo câu b, $E$ là trung điểm của $AC$.
Do đó, tứ giác $AMCP$ có hai đường chéo $AC$ và $MP$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường nên $AMCP$ là hình bình hành.

0,25

Mặt khác, $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM = MC = \dfrac{1}{2}BC$.

0,25

Hình bình hành $AMCP$ có hai cạnh kề bằng nhau ($AM = MC$) nên là hình thoi.

0,25

Bài 5
(0,5 điểm)

Tính giá trị biểu thức $Q$ (0,5 điểm)

0,5

Biến đổi giả thiết:
$x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4 = 0 \iff (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 4y + 4) = 0$
$\iff (x - y)^2 + (y + 2)^2 = 0$

0,25

Vì $(x - y)^2 \ge 0$ và $(y + 2)^2 \ge 0$ với mọi $x, y$, do đó:
$\begin{cases} x - y = 0 \\ y + 2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = y = -2 \\ y = -2 \end{cases}$
Thay vào biểu thức $Q$:
$Q = (x - y)^{2026} + (y + 1)^{2027} = 0^{2026} + (-2 + 1)^{2027} = 0 + (-1)^{2027} = -1$.

0,25