Đề kiểm tra Giữa học kì I môn Toán 11 (Kèm Ma trận, Bản đặc tả và Hướng dẫn chấm)

1

Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

1. Góc lượng giác và giá trị lượng giác

2 TN

1 TN

0,75

2. Công thức lượng giác

2 TN

1 TN

0,75

3. Hàm số lượng giác

1 TN

1 Đ-S (2 ý)

1 TLN

1,25

4. Phương trình lượng giác cơ bản

1 TN

1 Đ-S (2 ý)

1 TL

1,75

2

Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

1. Dãy số

2 TN

1 TN

0,75

2. Cấp số cộng

2 TN

1 Đ-S (2 ý)
1 TLN

1 TL

2,25

3. Cấp số nhân

2 TN

1 Đ-S (2 ý)
1 TLN

1 TL
1 TLN

2,50

TỔNG

12 TN (3,0 đ)

**4 TN (1,0 đ)
4 ý Đ-S (1,0 đ)
2 TLN (1,0 đ)**

**4 ý Đ-S (1,0 đ)
2 TLN (1,0 đ)
3 TL (3,0 đ)**

10,0

1

Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Góc và giá trị lượng giác

- Nhận biết khái niệm góc lượng giác, đơn vị radian, mối quan hệ giữa độ và radian.
- Nhận biết dấu của các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác.

Nhận biết

Câu 1, Câu 2 (Phần I)

Công thức lượng giác

- Nhận biết các công thức lượng giác cơ bản, công thức cộng, công thức nhân đôi.
- Vận dụng tính giá trị biểu thức lượng giác cơ bản khi biết một giá trị lượng giác.

Nhận biết
Thông hiểu

Câu 3, Câu 4 (Phần I)
Câu 1a, 1b (Phần II)

Hàm số lượng giác

- Nhận biết tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của các hàm số lượng giác cơ bản.
- Giải quyết bài toán thực tế liên quan đến dao động hoặc mô hình hàm số tuần hoàn.

Nhận biết
Vận dụng

Câu 5 (Phần I)
Câu 1c, 1d (Phần II)
Câu 1 (Phần III)

Phương trình lượng giác

- Nhận biết công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $\sin x = m$, $\cos x = m$, $\tan x = m$.
- Giải phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản, tìm số nghiệm thuộc khoảng/đoạn cho trước.

Nhận biết
Vận dụng

Câu 6 (Phần I)
Bài 1 (Phần IV)

2

Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Dãy số

- Nhận biết dãy số hữu hạn, vô hạn, số hạng đầu, cách cho dãy số (bằng công thức số hạng tổng quát, truy hồi).
- Xác định tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số đơn giản.

Nhận biết

Câu 7, Câu 8 (Phần I)

Cấp số cộng

- Nhận biết định nghĩa cấp số cộng, công sai $d$, số hạng tổng quát $u_n$.
- Tính tổng $n$ số hạng đầu tiên $S_n$ của một cấp số cộng.
- Vận dụng cấp số cộng vào giải quyết bài toán thực tế (tăng trưởng đều, bài toán sắp xếp, kinh tế).

Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng

Câu 9, Câu 10 (Phần I)
Câu 2a, 2b (Phần II)
Câu 2 (Phần III)
Bài 2 (Phần IV)

Cấp số nhân

- Nhận biết định nghĩa cấp số nhân, công bội $q$, số hạng tổng quát $u_n$.
- Tính tổng $n$ số hạng đầu tiên $S_n$ của một cấp số nhân.
- Vận dụng kiến thức cấp số nhân để giải bài toán tăng trưởng theo cấp số, lãi kép, chuỗi dữ liệu thực tế.

Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng

Câu 11, Câu 12 (Phần I)
Câu 2c, 2d (Phần II)
Câu 3, 4 (Phần III)
Bài 3 (Phần IV)

Đáp án

B

A

B

B

B

C

Đáp án

C

C

A

C

A

B

Câu 1

a)

Đ

Vì $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ nên điểm biểu diễn của $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ III.

b)

S

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}$. Vì góc phần tư III nên $\sin \alpha < 0 \implies \sin \alpha = -\dfrac{4}{5}$.

c)

Đ

$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \cdot \dfrac{9}{25} - 1 = -\dfrac{7}{25}$.

d)

Đ

Do $-1 \le \sin x \le 1 \implies -2 \le 2\sin x \le 2 \implies -1 \le 2\sin x + 1 \le 3$. Vậy GTLN bằng 3, GTNN bằng $-1$.

Câu 2

a)

S

Ta có $\begin{cases} 2u_1 + 4d = 18 \\ 2u_1 + 8d = 26 \end{cases} \iff \begin{cases} 4d = 8 \\ 2u_1 + 4d = 18 \end{cases} \iff \begin{cases} d = 2 \\ u_1 = 5 \end{cases}$. Do đó $u_1 = 5$, mệnh đề sai.

b)

Đ

$u_{10} = u_1 + 9d = 5 + 9 \cdot 2 = 23$.

c)

Đ

$S_{10} = \dfrac{10}{2}(2u_1 + 9d) = 5(2 \cdot 5 + 18) = 5 \cdot 28 = 140$.

d)

S

Ta có $v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$. Ta có $2^n = 512 = 2^9 \iff n = 9$. Vậy $512$ là số hạng thứ $9$.

Câu 1

120

Vì $-1 \le \cos\left(\dfrac{8\pi}{3}t\right) \le 1$ nên giá trị lớn nhất của $p(t)$ là $100 + 20 \cdot 1 = 120$ mmHg.

Câu 2

700

Số ghế mỗi hàng lập thành cấp số cộng với $u_1 = 16$, $d = 2$, $n = 20$. Tổng số ghế là $S_{20} = \dfrac{20}{2}[2 \cdot 16 + (20 - 1) \cdot 2] = 10 \cdot (32 + 38) = 700$.

Câu 3

192

Cấp số nhân có $u_4 = u_1 \cdot q^3 \iff 24 = 3 \cdot q^3 \iff q^3 = 8 \iff q = 2$. Do đó số hạng thứ bảy là $u_7 = u_1 \cdot q^6 = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192$.

Câu 4

119,10

Số tiền sau 3 năm là $A = 100 \cdot (1 + 0,06)^3 = 100 \cdot (1,06)^3 = 100 \cdot 1,191016 \approx 119,10$ triệu đồng.

Bài 1
(1,0 điểm)

Giải phương trình lượng giác $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (1,0 điểm)

1,0

Phương trình tương đương với: $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{6}$

0,25

$\iff \left[\begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

0,25

$\iff \left[\begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ 2x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

0,25

$\iff \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ và $x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

0,25

Bài 2
(1,0 điểm)

a)

Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng (0,5 điểm)

0,5

Áp dụng công thức số hạng tổng quát $u_n = u_1 + (n - 1)d$, hệ phương trình trở thành:
$\begin{cases} (u_1 + d) + (u_1 + 3d) = 14 \\ u_1 + (u_1 + 5d) = 17 \end{cases}$

0,25

$\iff \begin{cases} 2u_1 + 4d = 14 \\ 2u_1 + 5d = 17 \end{cases} \iff \begin{cases} d = 3 \\ 2u_1 + 4 \cdot 3 = 14 \end{cases} \iff \begin{cases} u_1 = 1 \\ d = 3 \end{cases}$.
Vậy cấp số cộng có $u_1 = 1$ và $d = 3$.

0,25

b)

Tính tổng $S = u_1 + u_2 + \dots + u_{20}$ (0,5 điểm)

0,5

Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: $S_n = \dfrac{n}{2}[2u_1 + (n - 1)d]$

0,25

Thay $n = 20, u_1 = 1, d = 3$ ta được:
$S_{20} = \dfrac{20}{2}[2 \cdot 1 + (20 - 1) \cdot 3] = 10 \cdot [2 + 57] = 10 \cdot 59 = 590$.

0,25

Bài 3
(1,0 điểm)

Tính tổng quãng đường quả bóng di chuyển đến khi chạm sàn lần thứ tư (1,0 điểm)

1,0

Quả bóng được thả từ độ cao $h_0 = 10$ m, chạm sàn lần thứ nhất đi được quãng đường: $s_1 = 10$ m.

0,25

Sau lần chạm sàn thứ nhất, bóng nảy lên rồi rơi xuống đến khi chạm sàn lần 2.
Độ cao nảy lên lần 1 là $h_1 = 10 \cdot \dfrac{3}{4} = 7,5$ m.
Quãng đường bóng đi giữa lần chạm sàn 1 và lần chạm sàn 2 là $2 \cdot h_1 = 2 \cdot 7,5 = 15$ m.

0,25

Tương tự, độ cao nảy lên sau lần chạm 2 là $h_2 = 7,5 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{45}{8} = 5,625$ m.
Quãng đường giữa lần chạm 2 và lần chạm 3 là $2 \cdot h_2 = 2 \cdot \dfrac{45}{8} = 11,25$ m.
Độ cao nảy lên sau lần chạm 3 là $h_3 = \dfrac{45}{8} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{135}{32} = 4,21875$ m.
Quãng đường giữa lần chạm 3 và lần chạm 4 là $2 \cdot h_3 = 2 \cdot \dfrac{135}{32} = 8,4375$ m.

0,25

Tổng quãng đường bóng di chuyển từ lúc thả đến khi chạm sàn lần thứ tư là:
$S = s_1 + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 = 10 + 15 + 11,25 + 8,4375 = 44,6875$ mét.
(Hoặc viết dạng phân số: $S = 10 + 15 + \dfrac{45}{4} + \dfrac{135}{16} = \dfrac{715}{16}$ mét).

0,25