Đề kiểm tra giữ học kỳ I môn Toán 10

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: .........................................................................

TOÁN 10 - GIỮA HỌC KÌ I - ĐỀ THI MINH HỌA SỐ 01

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Với mọi góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ , khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ .

B. $\cos(180^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ .

C. $\tan(180^\circ - \alpha) = \tan \alpha$ ( $\alpha \ne 90^\circ$ ).

D. $\cot(180^\circ - \alpha) = \cot \alpha$ ( $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ ).

Câu 2. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y - 2 \le 0 \\ 2x - 3y + 2 > 0 \end{cases}$ ?

A. $M(2; 1)$ .

B. $N(0; 0)$ .

C. $P(1; 2)$ .

D. $Q(-1; 1)$ .

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4$ , $AC = 6$ và $\widehat{A} = 60^\circ$ . Diện tích của tam giác $ABC$ bằng

A. $12\sqrt{3}$ .

B. $6$ .

C. $6\sqrt{3}$ .

D. $12$ .

Câu 4. Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P: "\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 + 1 > 0"$ là

A. $\overline{P}: "\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 + 1 \le 0"$ .

B. $\overline{P}: "\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 + 1 \le 0"$ .

C. $\overline{P}: "\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 + 1 < 0"$ .

D. $\overline{P}: "\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 + 1 < 0"$ .

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by \le c$ (với $a, b$ không đồng thời bằng 0) là

A. một đường thẳng.

B. nửa mặt phẳng kể cả bờ.

C. một góc của mặt phẳng.

D. một đoạn thẳng.

Câu 6. Số tập hợp con của tập hợp $X = \{1; 2\}$ là

A. $2$ .

B. $3$ .

C. $4$ .

D. $1$ .

Câu 7. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề toán học?

A. Thời tiết hôm nay đẹp quá!

B. Bạn làm xong bài tập chưa?

C. Số $x$ có phải là số nguyên tố không?

D. Số $13$ là số nguyên tố.

Câu 8. Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\dfrac{a}{\sin A} = R$ .

B. $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ .

C. $\dfrac{a}{\sin A} = 4R$ .

D. $a \cdot \sin A = 2R$ .

Câu 9. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\begin{cases} 2x - y \ge 3 \\ x + 3y \le 5 \end{cases}$

B. $\begin{cases} x^2 - y \le 1 \\ x + y > 0 \end{cases}$

C. $\begin{cases} xy \le 2 \\ x - y > 1 \end{cases}$

D. $\begin{cases} x - 2y^2 \le 0 \\ 3x + y < 4 \end{cases}$

Câu 10. Tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 5\}$ được viết dưới dạng khoảng, đoạn là

A. $[-2; 5]$ .

B. $(-2; 5)$ .

C. $(-2; 5]$ .

D. $[-2; 5)$ .

Câu 11. Cho góc $\alpha$ là góc tù ( $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \alpha < 0$ .

B. $\cos \alpha > 0$ .

C. $\tan \alpha > 0$ .

D. $\cot \alpha < 0$ .

Câu 12. Cho miền nghiệm (phần bị gạch, kể cả đường thẳng bờ $d$ ) được biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên dưới:

Bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bị gạch ở hình trên là

A. $x + y \ge 2$ .

B. $x + y \le 2$ .

C. $x - y \le 2$ .

D. $x - y \ge 2$ .

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hai tập hợp số $A = [-2; 3)$ và $B = (0; 5]$ .
a) Số $-2 \in A$ và số $3 \in A$ .
b) Tập hợp $C = \{1; 2\}$ là một tập con của tập hợp $A$ .
c) Tập hợp $A \cap B = (0; 3)$ .
d) Tập hợp $A \setminus B = [-2; 0)$ .

Câu 2. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha = -\dfrac{3}{5}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ .
a) $\sin \alpha > 0$ .
b) $\sin \alpha = \dfrac{4}{5}$ .
c) $\tan \alpha = \dfrac{4}{3}$ .
d) Giá trị của biểu thức $P = \dfrac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$ bằng $17$ .

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1. Cho các mệnh đề sau:
(1) $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 \ge 0$ .
(2) $\exists x \in \mathbb{Q},\, x^2 = 2$ .
(3) Nếu tam giác $ABC$ đều thì tam giác $ABC$ là tam giác cân.
(4) $\forall n \in \mathbb{N},\, 2n + 1$ là số nguyên tố.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Câu 2. Một xưởng mộc sản xuất hai loại ghế: ghế gấp và ghế tựa. Để sản xuất 1 chiếc ghế gấp cần 2 giờ gia công; để sản xuất 1 chiếc ghế tựa cần 3 giờ gia công. Tổng thời gian gia công trong một tuần tối đa là 120 giờ. Nếu trong tuần đó xưởng sản xuất 16 chiếc ghế tựa, hỏi xưởng có thể sản xuất tối đa bao nhiêu chiếc ghế gấp để không vượt quá thời gian gia công cho phép?

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = 2x + 3y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$\begin{cases} x + y \ge 2 \\ x - y \le 2 \\ y \le 3 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Câu 4. Cho tam giác $ABC$ có cạnh $AB = 5$ , cạnh $AC = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$ . Tính độ dài cạnh $BC$ .

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = [-4; 2)$ và $B = (-1; 5]$ .
a) Xác định các tập hợp $A \cup B$ và $A \cap B$ .
b) Xác định tập hợp $A \setminus B$ và phần bù $C_{\mathbb{R}}A$ .

Bài 2 (1,5 điểm). Một cơ sở sản xuất nước uống đóng choi dự định pha chế hai loại nước ngọt mới: loại I và loại II từ nguyên liệu đường và siro.

- Để pha chế 1 lít nước ngọt loại I cần $10\text{ g}$ đường và $2\text{ g}$ siro.

- Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần $20\text{ g}$ đường và $1\text{ g}$ siro.
Cơ sở hiện có trữ lượng dự trữ gồm $800\text{ g}$ đường và $100\text{ g}$ siro. Biết rằng giá bán mỗi lít nước ngọt loại I là $40\,000$ đồng, mỗi lít nước ngọt loại II là $50\,000$ đồng. Hỏi cơ sở cần pha chế bao nhiêu lít nước ngọt mỗi loại để tổng số tiền thu được từ bán nước ngọt là lớn nhất (giả định toàn bộ sản phẩm làm ra đều bán hết)? Tính số tiền lớn nhất đó.

Bài 3 (0,5 điểm). Để đo khoảng cách từ một điểm quan sát $A$ trên bờ sông đến chân một tháp hải đăng $C$ ngoài đảo (không thể trực tiếp đến được), một nhóm khảo sát đo đạc chọn thêm một điểm $B$ cùng nằm trên bờ sông sao cho khoảng cách $AB = 120\text{ m}$ . Từ $A$ và $B$ , họ ngắm đến tháp hải đăng $C$ và đo được các góc $\widehat{CAB} = 75^\circ$ và $\widehat{CBA} = 60^\circ$ . Hãy tính khoảng cách $AC$ từ vị trí $A$ đến chân tháp hải đăng $C$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị mét).

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Học sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm nhưng lập luận chặt chẽ, chính xác vẫn được hưởng điểm tối đa của ý/câu đó.
- Điểm toàn bài thi là tổng điểm các phần, không làm tròn số thập phân.
- Đối với bài hình học, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không có hình vẽ thì không chấm điểm phần bài làm tương ứng.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	A	B	C	A	B	C	D	B	A	C

Câu	11	12
Đáp án	D	B

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (2,0 điểm)

Quy tắc tính điểm bậc thang của Bộ GD&ĐT:
- Thí sinh chọn đúng 1 ý được 0,1 điểm.
- Thí sinh chọn đúng 2 ý được 0,25 điểm.
- Thí sinh chọn đúng 3 ý được 0,5 điểm.
- Thí sinh chọn đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn giải chi tiết
Câu 1	a)	S	$A = [-2; 3)$ chứa $-2$ nhưng không chứa $3$ (vì dấu ngoặc tròn tại $3$ ).
	b)	Đ	Các phần tử $1, 2 \in [-2; 3)$ nên $\{1; 2\} \subset A$ .
	c)	Đ	$A \cap B = [-2; 3) \cap (0; 5] = (0; 3)$ .
	d)	S	$A \setminus B = [-2; 3) \setminus (0; 5] = [-2; 0]$ . Điểm $0 \in A$ và $0 \notin B$ nên $0 \in A \setminus B$ .
Câu 2	a)	Đ	Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên điểm ngọn cung thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha > 0$ .
	b)	Đ	$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{4}{5}$ .
	c)	S	$\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{4/5}{-3/5} = -\dfrac{4}{3}$ .
	d)	Đ	$P = \dfrac{2\left(\frac{4}{5}\right) - 3\left(-\frac{3}{5}\right)}{\frac{4}{5} + \left(-\frac{3}{5}\right)} = \dfrac{\frac{8}{5} + \frac{9}{5}}{\frac{1}{5}} = \dfrac{\frac{17}{5}}{\frac{1}{5}} = 17$ .

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	Đáp án	Tóm tắt cách giải
Câu 1	2	- Mệnh đề (1) đúng vì bình phương mọi số thực đều không âm. - Mệnh đề (2) sai vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ ( $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ ). - Mệnh đề (3) đúng vì tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau nên hiển nhiên là tam giác cân. - Mệnh đề (4) sai vì với $n = 4 \in \mathbb{N}$ thì $2(4) + 1 = 9$ là hợp số. Vậy có đúng 2 mệnh đề đúng.
Câu 2	36	Bất phương trình thời gian gia công: $2x + 3y \le 120$ ( $x, y \in \mathbb{N}$ ). Với $y = 16$ , ta có $2x + 3(16) \le 120 \Leftrightarrow 2x + 48 \le 120 \Leftrightarrow 2x \le 72 \Leftrightarrow x \le 36$ . Vậy xưởng sản xuất tối đa 36 chiếc ghế gấp.
Câu 3	4	Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $ABCD$ với các đỉnh: $A(0; 2)$ , $B(0; 3)$ , $C(5; 3)$ , $D(2; 0)$ . Tính giá trị $F(x; y) = 2x + 3y$ tại các đỉnh: $F(0; 2) = 6$ ; $F(0; 3) = 9$ ; $F(5; 3) = 19$ ; $F(2; 0) = 4$ . Do đó giá trị nhỏ nhất của $F(x; y)$ bằng $4$ (đạt tại điểm $(2; 0)$ ).
Câu 4	7	Áp dụng định lý côsin trong $\triangle ABC$ : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cdot \cos A$ $BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 64 - 40 = 49$ . Suy ra $BC = \sqrt{49} = 7$ .

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
Bài 1 (1,0 điểm)	a	Xác định các tập hợp $A \cup B$ và $A \cap B$ (0,5 điểm)	0,5
		Ta có $A = [-4; 2)$ và $B = (-1; 5]$ . Biểu diễn trên trục số, ta tìm được tập hợp hợp: $A \cup B = [-4; 5]$ .	0,25
		Tập hợp giao gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp: $A \cap B = (-1; 2)$ .	0,25
	b	Xác định các tập hợp $A \setminus B$ và $C_{\mathbb{R}}A$ (0,5 điểm)	0,5
		Tập hợp hiệu $A \setminus B$ gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ : $A \setminus B = [-4; -1]$ .	0,25
		Phần bù của tập hợp $A$ trong $\mathbb{R}$ là: $C_{\mathbb{R}}A = \mathbb{R} \setminus [-4; 2) = (-\infty; -4) \cup [2; +\infty)$ .	0,25
Bài 2 (1,5 điểm)		Bài toán tối ưu sản xuất nước ngọt (1,5 điểm)	1,5
		Gọi $x, y$ lần lượt là số lít nước ngọt loại I và loại II cần pha chế ( $x \ge 0, y \ge 0$ ). Tổng lượng đường cần dùng là: $10x + 20y$ (g). Tổng lượng siro cần dùng là: $2x + y$ (g).	0,25
		Do lượng nguyên liệu có hạn nên ta có hệ bất phương trình ràng buộc: $\begin{cases} 10x + 20y \le 800 \\ 2x + y \le 100 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + 2y \le 80 \\ 2x + y \le 100 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$	0,25
		Số tiền thu được từ việc bán nước ngọt là: $T(x; y) = 40\,000x + 50\,000y$ (đồng). Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , ta được miền tứ giác $OABC$ (kể cả biên) với toạ độ các đỉnh: $O(0; 0)$ $A(50; 0)$ (giao điểm của đường thẳng $2x + y = 100$ và trục hoành) $B(40; 20)$ (nghiệm của hệ $\begin{cases} x + 2y = 80 \\ 2x + y = 100 \end{cases}$ ) $C(0; 40)$ (giao điểm của đường thẳng $x + 2y = 80$ và trục tung).	0,5
		Giá trị của hàm mục tiêu $T(x; y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm: - $T(0; 0) = 0$ đồng. - $T(50; 0) = 40\,000 \cdot 50 + 50\,000 \cdot 0 = 2\,000\,000$ đồng. - $T(40; 20) = 40\,000 \cdot 40 + 50\,000 \cdot 20 = 2\,600\,000$ đồng. - $T(0; 40) = 40\,000 \cdot 0 + 50\,000 \cdot 40 = 2\,000\,000$ đồng.	0,25
		So sánh các giá trị trên, ta thấy $T(x; y)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $2\,600\,000$ đồng tại $(x; y) = (40; 20)$ . Vậy cơ sở cần pha chế $40$ lít nước ngọt loại I và $20$ lít nước ngọt loại II để số tiền thu được lớn nhất là $2\,600\,000$ đồng.	0,25
Bài 3 (0,5 điểm)		[Hình vẽ]
		Trong tam giác $ABC$ , ta có: $\widehat{ACB} = 180^\circ - (\widehat{CAB} + \widehat{CBA}) = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 45^\circ$ .	0,25
		Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$ : $\dfrac{AC}{\sin \widehat{CBA}} = \dfrac{AB}{\sin \widehat{ACB}} \Rightarrow AC = \dfrac{AB \cdot \sin \widehat{CBA}}{\sin \widehat{ACB}}$ Thay số: $AC = \dfrac{120 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \dfrac{120 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 60\sqrt{6} \approx 146,97\text{ m}$ . Làm tròn đến hàng đơn vị mét, khoảng cách $AC \approx 147\text{ m}$ .	0,25

Lưu ý khi chấm:
- Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Hình vẽ sai hoặc không có hình thì không chấm phần bài làm tương ứng.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 10