Đề kiểm tra định kỳ Toán 10 - Chương 1, 2, 3 (KNTT)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề toán học?

Câu 2 (0,25 điểm). Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P: "\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0"$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 4\}$. Tập hợp $A$ viết dưới dạng liệt kê các phần tử là

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = [-2; 3)$ và $B = (1; 5]$. Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình $2x - 3y + 6 > 0$?

Câu 6 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y - 2 \le 0 \\ 2x - 3y + 2 > 0 \end{cases}$?

Câu 7 (0,25 điểm). Trong các hệ thức sau, hệ thức nào biểu diễn bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 8 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC = a$, $CA = b$, $AB = c$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 11 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R$. Hệ thức nào sau đây đúng?

Câu 12 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $b = 4$, $c = 6$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 \le x < 2\}$ và $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 = 0\}$.
a) Tập hợp $B$ có $2$ phần tử.
b) Biểu diễn tập hợp $A$ dưới dạng khoảng, đoạn là $A = [-3; 2)$.
c) Giao của hai tập hợp là $A \cap B = \{1; 3\}$.
d) Tập hợp $A \setminus B = [-3; 1) \cup (1; 2)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}$$

Gọi miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là đa giác $(H)$ kể cả biên.
a) Gốc tọa độ $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
b) Điểm $M(2; 1)$ không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
c) Miền nghiệm $(H)$ là một tứ giác có bốn đỉnh là $(0; 0)$, $(3; 0)$, $(2; 2)$, $(0; 4)$.
d) Giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$ trên miền nghiệm $(H)$ bằng $11$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có cạnh $a = BC = 7$, $b = CA = 8$, $c = AB = 5$.
a) Nửa chu vi $p$ của tam giác $ABC$ bằng $10$.
b) Góc $\widehat{A}$ của tam giác $ABC$ bằng $60^\circ$.
c) Diện tích của tam giác $ABC$ là $S = 10\sqrt{3}$.
d) Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ là $r = \sqrt{3}$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một người nông dân dự định dùng một tấm lưới thép dài $60$ m để rào một mảnh đất hình tam giác $ABC$ có cạnh $AB$ tựa vào một bức tường thẳng có sẵn (không cần rào cạnh $AB$). Biết rằng người đó đã rào hai cạnh $AC$ và $BC$ với góc kẹp giữa chúng là $\widehat{C} = 120^\circ$. Đặt độ dài cạnh $AC = x$ (m) và $BC = y$ (m).
a) Tổng độ dài hai cạnh được rào thỏa mãn $x + y = 60$ ($x > 0, y > 0$).
b) Bình phương độ dài cạnh tường $AB$ được tính bởi công thức $AB^2 = x^2 + y^2 - xy$.
c) Độ dài cạnh $AB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $x = y = 30$ m.
d) Khi $x = y = 30$ m thì diện tích mảnh đất rào được bằng $225\sqrt{3}\text{ m}^2$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Lớp 10A có $42$ học sinh, trong đó có $25$ học sinh tham gia câu lạc bộ Bóng đá, $18$ học sinh tham gia câu lạc bộ Bóng rổ, và có $7$ học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ Bóng đá và Bóng rổ?

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hai tập hợp $A = [m; m + 3]$ và $B = (1; 5)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $A \subset B$?

Câu 3 (0,5 điểm). Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất $1$ tấn sản phẩm loại I cần dùng $2$ tấn nguyên liệu và $30$ giờ công lao động; sản xuất $1$ tấn sản phẩm loại II cần dùng $4$ tấn nguyên liệu và $15$ giờ công lao động. Xưởng hiện có $200$ tấn nguyên liệu và $1200$ giờ công lao động. Mỗi tấn sản phẩm loại I đem lại lợi nhuận $40$ triệu đồng, mỗi tấn sản phẩm loại II đem lại lợi nhuận $30$ triệu đồng. Hỏi lợi nhuận lớn nhất mà xưởng có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 4 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $b = 8$, $c = 10$ và $\cos A = \dfrac{3}{5}$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 5 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh thỏa mãn $a = 6$, $b = 7$, $c = 9$. Tính độ dài đường trung tuyến $m_a$ kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6 (0,5 điểm). Để đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ nằm bên kia một con sông mà không thể qua sông trực tiếp, một người quan sát chọn hai điểm $C$ và $D$ cùng nằm ở bờ bên này sao cho khoảng cách $CD = 100$ m. Người đó sử dụng giác kế đo được các góc $\widehat{ACD} = 75^\circ$, $\widehat{BCD} = 30^\circ$, $\widehat{BDC} = 85^\circ$, và $\widehat{ADC} = 40^\circ$. Tính khoảng cách $AB$ theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN TỔNG HỢP

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Điểm tối đa mỗi câu là 1,0 điểm. Cách tính điểm bậc thang:
- Đúng 1 ý: 0,1 điểm.
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
- Đúng 3 ý: 0,5 điểm.
- Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1.
- Câu "15 là số nguyên tố" là một khẳng định khẳng định tính chất toán học (khẳng định sai vì $15 = 3 \times 5$), do đó nó là một mệnh đề toán học.
- Các câu còn lại là câu cảm thán, câu hỏi và câu cầu khiến nên không phải mệnh đề.
Chọn A.

Câu 2.
- Mệnh đề phủ định của "$\forall x \in X, P(x)$" là "$\exists x \in X, \overline{P(x)}$".
- Phủ định của bất đẳng thức $x^2 + 1 > 0$ là $x^2 + 1 \le 0$.
- Do đó: $\overline{P}: "\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0"$.
Chọn A.

Câu 3.
- Tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; \dots\}$.
- Các phần tử $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $x \le 4$ là $0; 1; 2; 3; 4$.
- Vậy $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$.
Chọn A.

Câu 4.
- Giao của hai tập hợp $A = [-2; 3)$ và $B = (1; 5]$ là phần tử thuộc cả hai tập:

$$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x < 3 \text{ và } 1 < x \le 5\} = (1; 3)$$

Chọn A.

Câu 5.
Thay tọa độ các điểm vào vế trái $f(x; y) = 2x - 3y + 6$:
- Với $(0; 3)$: $2(0) - 3(3) + 6 = -3 \ngtr 0$.
- Với $(1; 1)$: $2(1) - 3(1) + 6 = 5 > 0$ (thỏa mãn).
- Với $(-4; 0)$: $2(-4) - 3(0) + 6 = -2 \ngtr 0$.
- Với $(-2; 1)$: $2(-2) - 3(1) + 6 = -1 \ngtr 0$.
Chọn B.

Câu 6.
Thay tọa độ điểm $N(0; 0)$ vào hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 0 + 0 - 2 = -2 \le 0 \quad (\text{đúng}) \\ 2(0) - 3(0) + 2 = 2 > 0 \quad (\text{đúng}) \end{cases}$$

Do đó điểm $N(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của hệ.
Chọn B.

Câu 7.
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là bất phương trình có dạng $ax + by + c < 0$ (hoặc $> 0, \le 0, \ge 0$) với $a, b$ không đồng thời bằng 0.
- Phương án B: $3x - 4y + 1 > 0$ thỏa mãn định nghĩa.
- Các phương án A, C, D đều chứa $x^2$, $xy$ hoặc $y^2$ nên không phải bậc nhất.
Chọn B.

Câu 8.
Ta có $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ và $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$.
Do đó $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.
Chọn A.

Câu 9.
Với hai góc bù nhau ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$):
- $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.
- $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.
- $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$ ($\alpha \ne 90^\circ$).
- $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$ ($\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ$).
Vậy khẳng định D sai vì thiếu dấu trừ.
Chọn D.

Câu 10.
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có hệ thức:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

Chọn A.

Câu 11.
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có hệ thức:

$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$$

Chọn A.

Câu 12.
Diện tích tam giác $ABC$ được tính theo công thức:

$$S = \dfrac{1}{2}bc \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$

Chọn B.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1.
Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 \le x < 2\}$ và $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 = 0\}$.
- Giải phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0 \iff (x - 1)(x - 3) = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = 3$.
Vậy $B = \{1; 3\}$. Do đó tập hợp $B$ có $2$ phần tử. $\rightarrow$ Ý a) ĐÚNG.
- Biểu diễn tập hợp $A$ dưới dạng nửa khoảng là $A = [-3; 2)$. $\rightarrow$ Ý b) ĐÚNG.
- Giao của $A$ và $B$: Vì $1 \in [-3; 2)$ và $3 \notin [-3; 2)$ nên $A \cap B = \{1\}$. Khẳng định c ghi $\{1; 3\}$ là sai. $\rightarrow$ Ý c) SAI.
- Hiệu của $A$ và $B$: $A \setminus B = [-3; 2) \setminus \{1\} = [-3; 1) \cup (1; 2)$. $\rightarrow$ Ý d) ĐÚNG.

Câu 2.
Cho hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}$$

- Thay $O(0; 0)$ vào hệ: $0 \ge 0$, $0 \ge 0$, $0 + 0 \le 4$, $2(0) + 0 \le 6$ đều đúng, nên $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm. $\rightarrow$ Ý a) ĐÚNG.
- Thay $M(2; 1)$ vào hệ: $2 \ge 0$, $1 \ge 0$, $2 + 1 = 3 \le 4$, $2(2) + 1 = 5 \le 6$ đều thỏa mãn, do đó $M(2; 1)$ thuộc miền nghiệm của hệ. Khẳng định b nói không thuộc là sai. $\rightarrow$ Ý b) SAI.
- Xác định các đỉnh của miền nghiệm $(H)$:
+ Giao của $x = 0$ và $y = 0$ là gốc tọa độ $O(0; 0)$.
+ Giao của $y = 0$ và đường thẳng $2x + y = 6$ là điểm $A(3; 0)$ (thỏa mãn $3 + 0 = 3 \le 4$).
+ Giao của hai đường thẳng $x + y = 4$ và $2x + y = 6$ là nghiệm của hệ:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases} \implies B(2; 2)$$

+ Giao của $x = 0$ và đường thẳng $x + y = 4$ là điểm $C(0; 4)$ (thỏa mãn $2(0) + 4 = 4 \le 6$).
Vậy miền nghiệm $(H)$ là tứ giác $OABC$ với bốn đỉnh $(0; 0)$, $(3; 0)$, $(2; 2)$, $(0; 4)$. $\rightarrow$ Ý c) ĐÚNG.
- Tính giá trị biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$ tại các đỉnh:
+ $F(0; 0) = 3(0) + 2(0) = 0$.
+ $F(3; 0) = 3(3) + 2(0) = 9$.
+ $F(2; 2) = 3(2) + 2(2) = 10$.
+ $F(0; 4) = 3(0) + 2(4) = 8$.
Giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ trên $(H)$ bằng $10$ (đạt tại $(2; 2)$). Khẳng định d cho kết quả bằng 11 là sai. $\rightarrow$ Ý d) SAI.

Câu 3.
Cho tam giác $ABC$ có $a = 7$, $b = 8$, $c = 5$.
- Nửa chu vi của tam giác:

$$p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{7 + 8 + 5}{2} = 10 \rightarrow \textbf{Ý a) ĐÚNG.}$$

- Áp dụng định lí côsin:

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \dfrac{64 + 25 - 49}{80} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}$$

Vì $0^\circ < \widehat{A} < 180^\circ$ nên $\widehat{A} = 60^\circ$. $\rightarrow$ Ý b) ĐÚNG.
- Diện tích tam giác $ABC$:

$$S = \dfrac{1}{2}bc \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \rightarrow \textbf{Ý c) ĐÚNG.}$$

- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác:

$$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3} \rightarrow \textbf{Ý d) ĐÚNG.}$$

Câu 4.
- Tổng độ dài lưới thép dùng để rào hai cạnh $AC$ và $BC$ là $60$ m nên $x + y = 60$ ($x > 0, y > 0$). $\rightarrow$ Ý a) ĐÚNG.
- Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos 120^\circ = x^2 + y^2 - 2xy \left(-\dfrac{1}{2}\right) = x^2 + y^2 + xy$$

Khẳng định b ghi $AB^2 = x^2 + y^2 - xy$ là sai. $\rightarrow$ Ý b) SAI.
- Biến đổi biểu thức $AB^2$:

$$AB^2 = (x + y)^2 - xy = 60^2 - xy = 3600 - xy$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x, y$:

$$xy \le \left(\dfrac{x + y}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{60}{2}\right)^2 = 900$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = y = 30$ m.
Khi đó $AB^2 = 3600 - xy \ge 3600 - 900 = 2700 \implies AB \ge \sqrt{2700} = 30\sqrt{3}$ m.
Vậy độ dài cạnh $AB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $x = y = 30$ m. $\rightarrow$ Ý c) ĐÚNG.
- Khi $x = y = 30$ m, diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \dfrac{1}{2}xy \sin 120^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 225\sqrt{3}\text{ m}^2 \rightarrow \textbf{Ý d) ĐÚNG.}$$

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1.
Gọi $A$ là tập hợp học sinh tham gia CLB Bóng đá, $B$ là tập hợp học sinh tham gia CLB Bóng rổ.
- Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ là:

$$|A \cup B| = 42 - 7 = 35$$

- Áp dụng công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

$$\implies 35 = 25 + 18 - |A \cap B| \implies |A \cap B| = 43 - 35 = 8$$

Vậy có $8$ học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ.

Câu 2.
Để $A = [m; m + 3] \subset B = (1; 5)$, điều kiện là:

$$\begin{cases} m > 1 \\ m + 3 < 5 \end{cases} \iff \begin{cases} m > 1 \\ m < 2 \end{cases} \iff 1 < m < 2$$

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên không có số nguyên nào nằm trong khoảng $(1; 2)$.
Vậy số giá trị nguyên của $m$ là $0$.

Câu 3.
Gọi $x$ (tấn) và $y$ (tấn) lần lượt là số tấn sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất ($x \ge 0, y \ge 0$).
- Lượng nguyên liệu cần dùng: $2x + 4y \le 200 \iff x + 2y \le 100$.
- Lượng giờ công cần dùng: $30x + 15y \le 1200 \iff 2x + y \le 80$.
- Tổng lợi nhuận thu được: $F(x; y) = 40x + 30y$ (triệu đồng).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác có các đỉnh:
- $O(0; 0) \implies F(0; 0) = 0$.
- $A(40; 0)$ là giao điểm của $2x + y = 80$ với trục hoành $\implies F(40; 0) = 40(40) + 30(0) = 1600$.
- $B(20; 40)$ là giao điểm của hai đường thẳng $x + 2y = 100$ và $2x + y = 80$:
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y = 100 \\ 2x + y = 80 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 20 \\ y = 40 \end{cases}$
$\implies F(20; 40) = 40(20) + 30(40) = 800 + 1200 = 2000$.
- $C(0; 50)$ là giao điểm của $x + 2y = 100$ với trục tung $\implies F(0; 50) = 40(0) + 30(50) = 1500$.
Lợi nhuận lớn nhất xưởng có thể đạt được là $2000$ triệu đồng (khi sản xuất 20 tấn loại I và 40 tấn loại II).

Câu 4.
- Áp dụng định lí côsin tính cạnh $a$:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \dfrac{3}{5} = 64 + 100 - 96 = 68 \implies a = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$

- Do $0^\circ < \widehat{A} < 180^\circ$ nên $\sin A > 0$:

$$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{4}{5}$$

- Áp dụng định lí sin tính bán kính $R$:

$$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{2\sqrt{17}}{2 \cdot \dfrac{4}{5}} = \dfrac{5\sqrt{17}}{4} \approx 5,1539$$

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười được $5,2$.

Câu 5.
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$:

$$m_a^2 = \dfrac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$$

Thay số $a = 6, b = 7, c = 9$:

$$m_a^2 = \dfrac{2(7^2 + 9^2) - 6^2}{4} = \dfrac{2(49 + 81) - 36}{4} = \dfrac{2 \cdot 130 - 36}{4} = \dfrac{224}{4} = 56$$

Suy ra $m_a = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \approx 7,4833$.
Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm được $7,48$.

Câu 6.
- Xét $\triangle ACD$ có $CD = 100$ m, $\widehat{ACD} = 75^\circ$, $\widehat{ADC} = 40^\circ$:

$$\widehat{CAD} = 180^\circ - (75^\circ + 40^\circ) = 65^\circ$$

Áp dụng định lí sin trong $\triangle ACD$:

$$\dfrac{AC}{\sin \widehat{ADC}} = \dfrac{CD}{\sin \widehat{CAD}} \implies AC = \dfrac{100 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 70,9238\text{ m}$$

- Xét $\triangle BCD$ có $CD = 100$ m, $\widehat{BCD} = 30^\circ$, $\widehat{BDC} = 85^\circ$:

$$\widehat{CBD} = 180^\circ - (30^\circ + 85^\circ) = 65^\circ$$

Áp dụng định lí sin trong $\triangle BCD$:

$$\dfrac{BC}{\sin \widehat{BDC}} = \dfrac{CD}{\sin \widehat{CBD}} \implies BC = \dfrac{100 \cdot \sin 85^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 109,9179\text{ m}$$

- Xét $\triangle ABC$:
Góc $\widehat{ACB} = \widehat{ACD} - \widehat{BCD} = 75^\circ - 30^\circ = 45^\circ$.
Áp dụng định lí côsin trong $\triangle ABC$:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos 45^\circ$$

$$AB^2 \approx 70,9238^2 + 109,9179^2 - 2 \cdot 70,9238 \cdot 109,9179 \cdot \cos 45^\circ \approx 6086,95$$

$$\implies AB = \sqrt{6086,95} \approx 78,0189\text{ m}$$

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười được $78,0$ m.