Đề kiểm tra cuối học kỳ II môn Toán lớp 11

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Với số thực dương $a$ tùy ý và các số thực $m, n$, đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 2 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \log_3 (2x - 4)$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\log_2 (x - 1) = 3$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Tập nghiệm của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \le 8$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Trong không gian, cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Nếu đường thẳng $c$ vuông góc với $a$ thì

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh bên $SA \perp (ABCD)$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là

Câu 8 (0,25 điểm). Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần. Biến cố nào sau đây là biến cố chắc chắn?

Câu 9 (0,25 điểm). Một lớp học có 20 học sinh giỏi môn Toán và 15 học sinh giỏi môn Ngữ văn, trong đó có 8 học sinh giỏi cả hai môn Toán và Ngữ văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Xác suất để chọn được học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Ngữ văn bằng bao nhiêu, biết lớp có 40 học sinh?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Cho $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc của một phép thử $T$. Công thức cộng xác suất nào sau đây đúng?

Câu 12 (0,25 điểm). Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào một tấm bia, mỗi người bắn một phát. Xác suất bắn trúng bia của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $0,8$ và $0,7$. Xác suất để có đúng một xạ thủ bắn trúng bia là

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Trong đợt kiểm tra sức khỏe của một trường THPT, tỉ lệ học sinh mắc bệnh cận thị là $40\%$, tỉ lệ mắc tật cong vẹo cột sống là $25\%$. Giả sử hai tình trạng này là độc lập với nhau. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường.
a) Xác suất để học sinh đó không mắc tật cận thị là $0,6$.
b) Xác suất để học sinh đó mắc cả tật cận thị và cong vẹo cột sống là $0,15$.
c) Xác suất để học sinh đó chỉ mắc duy nhất một tật (cận thị hoặc cong vẹo cột sống) là $0,45$.
d) Xác suất để học sinh đó không mắc tật nào trong hai tật trên là $0,45$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{3}$ và cạnh bên bằng $2a$. Gọi $O$ là trọng tâm tam giác đáy $ABC$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.
a) Đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$.
b) Độ dài đường cao $SO$ của hình chóp bằng $a\sqrt{3}$.
c) Số đo của góc nhị diện $[S, BC, A]$ bằng $60^\circ$.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC$ bằng $\dfrac{3a}{\sqrt{13}}$.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Trong một chiếc hộp có chứa 5 quả cầu màu đỏ và 7 quả cầu màu xanh có kích thước như nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 quả cầu cùng màu. (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản).

Câu 2 (0,5 điểm). Một số lượng vi khuẩn ban đầu gồm $1\,000$ cá thể, sau mỗi giờ số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi theo quy luật $N(t) = N_0 \cdot 2^t$ (trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ, $N_0$ là số lượng vi khuẩn ban đầu). Sau ít nhất bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn vượt quá $1\,000\,000$ cá thể?

Câu 3 (0,5 điểm). Hộp thứ nhất đựng 4 bi đỏ và 6 bi trắng. Hộp thứ hai đựng 5 bi đỏ và 3 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi. Tính xác suất để cả hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ. (Viết kết quả dưới dạng số thập phân làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 4 (0,5 điểm). Một người gửi số tiền $100$ triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất cố định $6,5\%$/năm. Giả sử lãi suất không đổi trong suốt quá trình gửi và người đó không rút tiền ra. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) không dưới $150$ triệu đồng?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các câu hỏi sau.

Câu 1 (1,0 điểm).
Rút gọn biểu thức sau với $x > 0$:

$$P = \dfrac{x^{\frac{4}{3}} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2}}}$$

Câu 2 (1,0 điểm).
Cho $\log_2 3 = a$ và $\log_2 5 = b$. Hãy tính giá trị của biểu thức $\log_{15} 40$ theo $a$ và $b$.

Câu 3 (1,0 điểm).
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$.
a) Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
b) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ theo $a$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................