ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ I TOÁN 10

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề toán học?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x < 5\}$. Tập hợp $A$ viết dưới dạng khoảng, đoạn, nửa khoảng là

Câu 3 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - 3y + 6 > 0$?

Câu 4 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 5 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $b = 7$, $c = 5$ và $\cos A = \dfrac{3}{5}$. Độ dài cạnh $a$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho ba điểm phân biệt $A, B, C$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Vectơ nào sau đây bằng vectơ $\overrightarrow{OB}$?

Câu 8 (0,25 điểm). Cho đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng $6$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác vectơ-không thỏa mãn $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ và góc giữa hai vectơ $(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$. Tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\vec{u} = 2\vec{i} - 5\vec{j}$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là

Câu 11 (0,25 điểm). Điểm kiểm tra thường xuyên môn Toán của một nhóm học sinh gồm các giá trị sau:

$6 \quad 7 \quad 7 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 9 \quad 10$

Mốt của mẫu số liệu trên là

Câu 12 (0,25 điểm). Cho mẫu số liệu: $3; 5; 7; 9; 11$. Khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu trên bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời Câu 1 và Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$, $AC = 8$ và $\widehat{BAC} = 120^\circ$.
a) Độ dài cạnh $BC$ bằng $2\sqrt{37}$.
b) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $12\sqrt{3}$.
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{\sqrt{111}}{3}$.
d) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó độ dài đoạn trung tuyến $AM$ bằng $\sqrt{13}$.

Câu 2 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(1; 2)$, $B(-2; 6)$ và $C(5; 5)$.
a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(-3; 4)$ và độ dài đoạn thẳng $AB = 5$.
b) Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $\left(\dfrac{4}{3}; \dfrac{13}{3}\right)$.
c) Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$, suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
d) Điểm $D(x; y)$ thỏa mãn $ABCD$ là hình bình hành có tọa độ là $(2; 9)$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Lớp 10A có $40$ học sinh, trong đó có $18$ bạn tham gia câu lạc bộ Bóng đá, $15$ bạn tham gia câu lạc bộ Cầu lông và $8$ bạn tham gia cả hai câu lạc bộ trên. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên?

Câu 2 (0,5 điểm). Một chiếc thuyền buồm chịu tác động của hai lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ cùng tác dụng vào một điểm. Lực $\vec{F}_1$ có độ lớn $60$ N hướng về phía đông, lực $\vec{F}_2$ có độ lớn $80$ N hướng về phía bắc. Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ (tính theo đơn vị Newton).

Câu 3 (0,5 điểm). Để đo chiều cao $CD$ của một ngọn tháp ven sông mà chân tháp $D$ không thể tiếp cận trực tiếp, người ta cắm hai cọc tiêu tại hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất nằm cùng một đường thẳng đi qua chân tháp sao cho khoảng cách $AB = 30$ m. Đo được các góc nâng $\widehat{CAD} = 32^\circ$ và $\widehat{CBD} = 45^\circ$ ($A, B, D$ thẳng hàng theo thứ tự đó). Chiều cao của ngọn tháp làm tròn đến chữ số hàng đơn vị bằng bao nhiêu mét?

Câu 4 (0,5 điểm). Thống kê số giờ tự học mỗi tuần của $8$ học sinh thu được mẫu số liệu sau:

$12 \quad 14 \quad 15 \quad 18 \quad 20 \quad 22 \quad 24 \quad 27$

Tìm khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu số liệu trên.

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các bài toán sau.

Bài 1 (1,0 điểm).
a) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

$$\begin{cases} x + y - 2 \ge 0 \\ x - y + 2 \ge 0 \\ x \le 3 \end{cases}$$

b) Một xưởng sản xuất bàn ghế dự định sản xuất hai loại sản phẩm: bàn (loại I) và ghế (loại II). Mỗi chiếc bàn cần $2$ giờ cưa gỗ và $1$ giờ đánh bóng, mang lại lợi nhuận $400$ nghìn đồng. Mỗi chiếc ghế cần $1$ giờ cưa gỗ và $1$ giờ đánh bóng, mang lại lợi nhuận $250$ nghìn đồng. Trong một tuần xưởng có tối đa $80$ giờ cho việc cưa gỗ và tối đa $50$ giờ cho việc đánh bóng. Hỏi xưởng nên sản xuất bao nhiêu chiếc bàn và bao nhiêu chiếc ghế mỗi tuần để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Bài 2 (1,5 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(-1; 3)$, $B(2; -1)$ và $C(4; 5)$.
a) Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục hoành sao cho ba điểm $A, B, M$ thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.
c) Tìm tọa độ điểm $K$ trên đường thẳng $\Delta: x - 2y + 1 = 0$ sao cho biểu thức $P = |\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3 (0,5 điểm).
Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh là $a, b, c$ và diện tích là $S$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$a^2 + b^2 + c^2 \ge 4\sqrt{3}S$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................