Đề kiểm tra cực trị hàm nhiều biến – 20 câu trắc nghiệm và lời giải chi tiết

Phạm vi: Cực trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến; ứng dụng trong mô hình tính toán kinh tế. Nội dung chủ yếu về hàm hai biến, có một số câu mở rộng sang ba biến.

Hướng dẫn: Đề gồm 20 câu, mỗi câu có bốn phương án và chỉ một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm; tổng điểm toàn bài là 10,0 điểm.

Quy ước: Các biến trong mô hình kinh tế được xem là biến thực liên tục trên miền đã cho. Các số liệu kinh tế là số liệu giả định phục vụ mô hình toán học. Ký hiệu $\ln$ là lôgarit tự nhiên.

PHẦN I. CỰC TRỊ THUẦN TÚY (5,0 điểm)

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x,y)=x^2+2y^2-4x+4y+7$ trên $\mathbb{R}^2$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x,y)=10-2x^2-2xy-y^2+8x+6y$ trên $\mathbb{R}^2$. Điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số là

Câu 3 (0,5 điểm). Xét hàm số $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ trên $\mathbb{R}^2$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 4 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+2y^2$ trên $\mathbb{R}^2$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 5 (0,5 điểm). Với tham số $a\in\mathbb{R}$, xét hàm số $f_a(x,y)=x^2+2axy+4y^2$. Điều kiện cần và đủ để $(0;0)$ là điểm cực tiểu nghiêm ngặt của hàm số là

Câu 6 (0,5 điểm). Cho hàm ba biến $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2x+8y-6z+5$ trên $\mathbb{R}^3$. Giá trị nhỏ nhất và điểm đạt giá trị nhỏ nhất của hàm số là

Câu 7 (0,5 điểm). Trên đường tròn $x^2+y^2=10$, gọi $m$ và $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x,y)=xy$. Cặp $(m;M)$ bằng

Câu 8 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x,y)=x^2+2y^2$ với điều kiện $2x+y=12$, trong đó $x,y\in\mathbb{R}$.

Câu 9 (0,5 điểm). Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=12$. Giá trị lớn nhất của $f(x,y,z)=xyz$ bằng

Câu 10 (0,5 điểm). Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x^2y=32$. Giá trị nhỏ nhất của $f(x,y)=x+y$ bằng

PHẦN II. ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH TÍNH TOÁN KINH TẾ (5,0 điểm)

Câu 1 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa với sản lượng lần lượt là $x$ và $y$. Giá bán một đơn vị của hai loại hàng hóa được mô hình hóa bởi

$$p_1=80-2x,\qquad p_2=60-y.$$

Tổng chi phí là $C(x,y)=20x+12y+100$. Giá bán và chi phí được tính theo cùng một đơn vị tiền tệ. Biết $0\le x\le40$ và $0\le y\le60$. Cặp sản lượng giúp doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất là

Câu 2 (0,5 điểm). Một công ty phải phân bổ tổng cộng $20$ đơn vị sản lượng cho hai cơ sở. Nếu cơ sở thứ nhất sản xuất $x$ đơn vị và cơ sở thứ hai sản xuất $y$ đơn vị thì tổng chi phí, tính bằng triệu đồng, là

$$C(x,y)=x^2+xy+2y^2+10x+6y+50.$$

Với $x,y\ge0$ và $x+y=20$, chi phí nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Câu 3 (0,5 điểm). Một cơ sở sản xuất có hàm sản lượng $Q(K,L)=8\sqrt{KL}$, trong đó $K$ là số đơn vị vốn và $L$ là số đơn vị lao động. Chi phí một đơn vị vốn là $4$ triệu đồng và một đơn vị lao động là $1$ triệu đồng. Cơ sở sử dụng hết ngân sách $160$ triệu đồng, tức là $4K+L=160$, với $K,L\ge0$. Phương án sử dụng đầu vào để sản lượng lớn nhất là

Câu 4 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp có hàm sản lượng $Q(K,L)=6\sqrt{KL}$, với $K,L>0$. Chi phí thuê một đơn vị vốn là $9$ triệu đồng và một đơn vị lao động là $4$ triệu đồng. Để sản xuất ít nhất $120$ đơn vị sản phẩm, doanh nghiệp cần tổng chi phí nhỏ nhất là

Câu 5 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp bán hai sản phẩm có quan hệ thay thế. Khi sản lượng bán ra lần lượt là $x$ và $y$, giá bán được mô hình hóa bởi

$$p_1=100-2x-y,\qquad p_2=80-x-2y.$$

Tổng chi phí là $C(x,y)=20x+20y+200$. Các đại lượng tiền tệ sử dụng cùng một đơn vị. Với $x,y\ge0$ và $p_1,p_2\ge0$, cặp sản lượng tối đa hóa tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là

Câu 6 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp phân bổ chi phí quảng cáo cho hai kênh. Gọi $x,y\ge0$ là số tiền chi cho từng kênh, tính bằng triệu đồng. Lợi nhuận ròng, tính bằng triệu đồng, được mô hình hóa bởi

$$\Pi(x,y)=30\ln(1+x)+40\ln(1+y)-x-y-50.$$

Cặp mức chi quảng cáo tối ưu là

Câu 7 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp sử dụng hai loại đầu vào với lượng lần lượt là $x$ và $y$. Sản lượng được mô hình hóa bởi $Q=x+2y$. Tổng chi phí, tính bằng triệu đồng, là

$$C(x,y)=x^2+2y^2+2x+4y+100.$$

Để sản xuất đúng $30$ đơn vị sản phẩm, với $x,y\ge0$, doanh nghiệp có thể đạt tổng chi phí nhỏ nhất bằng

Câu 8 (0,5 điểm). Một người tiêu dùng mua hai hàng hóa với lượng lần lượt là $x,y\ge0$. Hàm hữu dụng là

$$U(x,y)=xy+2x+4y.$$

Giá mỗi đơn vị hàng hóa thứ nhất là $2$ đơn vị tiền tệ, giá mỗi đơn vị hàng hóa thứ hai là $1$ đơn vị tiền tệ. Người tiêu dùng sử dụng hết ngân sách $24$ đơn vị tiền tệ. Giỏ hàng tối đa hóa hữu dụng là

Câu 9 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp quản lý hai mặt hàng. Với quy mô mỗi lần đặt hàng là $q_1,q_2>0$, tổng chi phí đặt hàng, lưu kho và quản lý hằng năm, tính bằng triệu đồng, được mô hình hóa bởi

$$C(q_1,q_2)=\dfrac{900}{q_1}+q_1+\dfrac{1600}{q_2}+q_2+50.$$

Tổng chi phí hằng năm nhỏ nhất bằng

Câu 10 (0,5 điểm). Một cơ sở sản xuất có hàm sản lượng $Q(K,L)=KL$, trong đó $K,L\ge0$. Chi phí một đơn vị vốn là $2$ triệu đồng, chi phí một đơn vị lao động là $1$ triệu đồng. Khi sử dụng hết ngân sách $B$ triệu đồng, các đầu vào thỏa mãn $2K+L=B$.

Gọi $V(B)$ là sản lượng lớn nhất có thể đạt được. Tại mức ngân sách $B=120$, nếu ngân sách tăng thêm $1$ triệu đồng thì theo xấp xỉ tuyến tính $\Delta V\approx V'(120)\Delta B$, sản lượng tối ưu tăng thêm khoảng bao nhiêu đơn vị?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

ĐÁP ÁN NHANH

Phần I: Câu 1: A; Câu 2: C; Câu 3: B; Câu 4: D; Câu 5: C; Câu 6: A; Câu 7: D; Câu 8: B; Câu 9: D; Câu 10: C.

Phần II: Câu 1: B; Câu 2: A; Câu 3: D; Câu 4: B; Câu 5: C; Câu 6: A; Câu 7: C; Câu 8: D; Câu 9: A; Câu 10: B.

KIẾN THỨC DÙNG TRONG LỜI GIẢI

1. Cực trị tự do của hàm hai biến. Nếu hàm khả vi có cực trị tại một điểm trong miền xác định thì tại đó phải có

$$f_x=0,\qquad f_y=0.$$

Nghiệm của hệ này gọi là điểm dừng. Điểm dừng chưa chắc là điểm cực trị.

Với hàm có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục, tại điểm dừng đặt

$$D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2.$$

Nếu $D>0$ và $f_{xx}>0$ thì điểm dừng là điểm cực tiểu nghiêm ngặt.
Nếu $D>0$ và $f_{xx}<0$ thì điểm dừng là điểm cực đại nghiêm ngặt.
Nếu $D<0$ thì điểm dừng là điểm yên ngựa.
Nếu $D=0$ thì tiêu chuẩn này chưa kết luận được, cần xét bằng cách khác.

2. Cực trị có điều kiện. Với ràng buộc $g(x,y)=c$, có thể dùng hàm Lagrange

$$\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\bigl(g(x,y)-c\bigr).$$

Tại điểm cực trị thỏa điều kiện chính quy $\nabla g\ne0$, ta có

$$f_x=\lambda g_x,\qquad f_y=\lambda g_y,\qquad g(x,y)=c.$$

Hệ Lagrange giúp tìm ứng viên cực trị, không tự động chứng minh ứng viên đó là tối ưu. Cần kiểm tra tiếp bằng phép thế, bất đẳng thức, tính lồi/lõm hoặc so sánh với biên.

3. Tối ưu toàn cục. Cực tiểu, cực đại là khái niệm địa phương; giá trị nhỏ nhất, lớn nhất là khái niệm toàn cục. Trong các bài kinh tế, cần kiểm tra miền khả thi và chứng minh phương án tìm được thực sự cho kết quả tối ưu trên toàn miền.

PHẦN I. LỜI GIẢI CÁC CÂU THUẦN TÚY

Câu 1

Đáp án: A.

Ta có

$$f_x=2x-4,\qquad f_y=4y+4.$$

Hệ điều kiện dừng cho

$$x=2,\qquad y=-1.$$

Các đạo hàm riêng cấp hai là

$$f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=4,\qquad f_{xy}=0.$$

Do đó $D=8>0$ và $f_{xx}>0$, nên $(2;-1)$ là điểm cực tiểu nghiêm ngặt.

Để khẳng định đây là điểm đạt giá trị nhỏ nhất toàn cục, hoàn thành bình phương:

$$f(x,y)=(x-2)^2+2(y+1)^2+1\ge1.$$

Dấu bằng xảy ra duy nhất khi $x=2$, $y=-1$.

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất là $1$, đạt tại $(2;-1)$.

Phân tích phương án nhiễu: B nhầm giá trị tại gốc tọa độ với giá trị nhỏ nhất. C đảo cực tiểu thành cực đại; thực tế hàm không bị chặn trên. D sai dấu tọa độ; tại $(-2;1)$, hàm có giá trị $25$, không phải $1$.

Câu 2

Đáp án: C.

Điều kiện dừng:

$$f_x=-4x-2y+8=0,\qquad f_y=-2x-2y+6=0.$$

Tương đương

$$2x+y=4,\qquad x+y=3.$$

Suy ra $x=1$, $y=2$.

Ta có

$$f_{xx}=-4,\qquad f_{yy}=-2,\qquad f_{xy}=-2.$$

Vì

$$D=(-4)(-2)-(-2)^2=4>0,\qquad f_{xx}<0,$$

nên $(1;2)$ là điểm cực đại nghiêm ngặt.

Giá trị tại điểm này là

$$f(1,2)=10-2-4-4+8+12=20.$$

Hơn nữa, ta có biểu diễn

$$f(x,y)=20-(x-1)^2-(x+y-3)^2.$$

Vì vậy $20$ còn là giá trị lớn nhất toàn cục.

Phân tích phương án nhiễu: A và D nêu các điểm không thỏa hệ điều kiện dừng. B tìm đúng điểm và giá trị nhưng phân loại sai cực trị.

Câu 3

Đáp án: B.

Ta có

$$f_x=3x^2-3y,\qquad f_y=3y^2-3x.$$

Điểm dừng thỏa mãn

$$y=x^2,\qquad x=y^2.$$

Thế $y=x^2$ vào phương trình còn lại:

$$x=x^4\Longleftrightarrow x(x^3-1)=0.$$

Trên tập số thực, suy ra $x=0$ hoặc $x=1$. Hai điểm dừng là $(0;0)$ và $(1;1)$.

Các đạo hàm riêng cấp hai:

$$f_{xx}=6x,\qquad f_{yy}=6y,\qquad f_{xy}=-3.$$

Do đó

$$D=36xy-9.$$

Tại $(0;0)$, $D=-9<0$, nên đây là điểm yên ngựa.

Tại $(1;1)$, $D=27>0$ và $f_{xx}=6>0$, nên đây là điểm cực tiểu nghiêm ngặt, với

$$f(1,1)=-1.$$

Lưu ý: Đây là cực tiểu địa phương, không phải giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}^2$, vì $f(x,0)=x^3\to-\infty$ khi $x\to-\infty$.

Phân tích phương án nhiễu: A và C phân loại sai điểm $(0;0)$. D phân loại sai điểm $(1;1)$: tại đó ma trận Hessian xác định dương, không phải xác định âm.

Câu 4

Đáp án: D.

Ta có

$$f_x=4x(x^2-1),\qquad f_y=4y(y^2+1).$$

Vì $y^2+1>0$, hệ điều kiện dừng cho

$$y=0,\qquad x\in\{-1;0;1\}.$$

Vậy có ba điểm dừng: $(-1;0)$, $(0;0)$ và $(1;0)$.

Các đạo hàm riêng cấp hai:

$$f_{xx}=12x^2-4,\qquad f_{yy}=12y^2+4,\qquad f_{xy}=0.$$

Tại $(0;0)$:

$$D=(-4)\cdot4=-16<0.$$

Vì thế $(0;0)$ là điểm yên ngựa.

Tại mỗi điểm $(-1;0)$ và $(1;0)$:

$$f_{xx}=8>0,\qquad D=8\cdot4=32>0.$$

Cả hai đều là điểm cực tiểu nghiêm ngặt.

Có thể kiểm tra tính tối ưu toàn cục bằng cách viết

$$f(x,y)=(x^2-1)^2+y^4+2y^2-1\ge-1.$$

Dấu bằng xảy ra đúng tại $(-1;0)$ và $(1;0)$.

Phân tích phương án nhiễu: A và C nhầm điểm dừng $(0;0)$ thành điểm cực tiểu. B đảo cực tiểu thành cực đại. Việc chỉ giải hệ đạo hàm bằng không mà không phân loại sẽ dễ dẫn đến chọn C.

Câu 5

Đáp án: C.

Ta có

$$f_a(x,y)=(x+ay)^2+(4-a^2)y^2.$$

Nếu $|a|<2$ thì $4-a^2>0$. Với mọi $(x;y)\ne(0;0)$, biểu thức trên dương. Vì $f_a(0,0)=0$, gốc tọa độ là điểm cực tiểu nghiêm ngặt.

Nếu $a=2$ hoặc $a=-2$ thì

$$f_a(x,y)=(x+ay)^2.$$

Trên đường thẳng $x+ay=0$, hàm nhận giá trị $0$ tại vô số điểm tùy ý gần gốc tọa độ. Gốc tọa độ vẫn là điểm cực tiểu, nhưng không nghiêm ngặt.

Nếu $|a|>2$, xét hai đường đi qua gốc:

$$f_a(x,0)=x^2>0\quad\text{với }x\ne0,$$

trong khi

$$f_a(-ay,y)=(4-a^2)y^2<0\quad\text{với }y\ne0.$$

Hàm nhận cả giá trị dương lẫn âm tùy ý gần gốc, nên gốc tọa độ là điểm yên ngựa.

Kết luận: Điều kiện cần và đủ là $-2<a<2$.

Phân tích phương án nhiễu: A không phân biệt cực tiểu với cực tiểu nghiêm ngặt. B chọn đúng khoảng làm xuất hiện điểm yên ngựa. D bỏ qua ảnh hưởng của hệ số tương tác $2axy$.

Câu 6

Đáp án: A.

Hoàn thành bình phương theo từng biến:

$$f(x,y,z)=(x-1)^2+2(y+2)^2+3(z-1)^2-7.$$

Vì các bình phương đều không âm nên

$$f(x,y,z)\ge-7.$$

Dấu bằng xảy ra duy nhất khi

$$x=1,\qquad y=-2,\qquad z=1.$$

Có thể kiểm tra bằng đạo hàm:

$$f_x=2x-2,\qquad f_y=4y+8,\qquad f_z=6z-6.$$

Hệ đạo hàm bằng không cũng cho đúng điểm trên. Ma trận Hessian là ma trận đường chéo với các phần tử đường chéo $2$, $4$, $6$ đều dương, nên hàm lồi nghiêm ngặt.

Phân tích phương án nhiễu: B sai dấu các tọa độ. C lấy giá trị tại gốc nhưng không tối ưu. D nêu một điểm không thỏa điều kiện dừng; thực tế $f(1,-1,1)=-5$, không phải $-2$.

Câu 7

Đáp án: D.

Từ

$$2|xy|\le x^2+y^2=10,$$

suy ra

$$-5\le xy\le5.$$

Giá trị $5$ đạt được khi $x=y$ và $x^2+y^2=10$, tức tại

$$(\sqrt5;\sqrt5),\qquad(-\sqrt5;-\sqrt5).$$

Giá trị $-5$ đạt được khi $x=-y$, tức tại

$$(\sqrt5;-\sqrt5),\qquad(-\sqrt5;\sqrt5).$$

Có thể tìm các điểm này bằng phương pháp Lagrange:

$$\mathcal{L}=xy-\lambda(x^2+y^2-10).$$

Điều kiện dừng:

$$y=2\lambda x,\qquad x=2\lambda y,\qquad x^2+y^2=10.$$

Nếu $x=0$ thì phương trình đầu cho $y=0$, trái ràng buộc. Tương tự, $y\ne0$. Nhân hai phương trình đầu và chia cho $xy\ne0$ được $4\lambda^2=1$, dẫn đến $x=y$ hoặc $x=-y$.

Kết luận: $(m;M)=(-5;5)$.

Phân tích phương án nhiễu: A bỏ sót trường hợp tích âm. C bỏ sót trường hợp tích dương. B quên hệ số $2$ trong bất đẳng thức $2|xy|\le x^2+y^2$.

Câu 8

Đáp án: B.

Lập hàm Lagrange:

$$\mathcal{L}=x^2+2y^2-\lambda(2x+y-12).$$

Điều kiện dừng:

$$2x=2\lambda,\qquad4y=\lambda,\qquad2x+y=12.$$

Từ hai phương trình đầu suy ra $x=4y$. Vì thế

$$9y=12\Longrightarrow y=\dfrac43,\qquad x=\dfrac{16}{3}.$$

Giá trị hàm tại ứng viên:

$$f\left(\dfrac{16}{3},\dfrac43\right)=\dfrac{256}{9}+\dfrac{32}{9}=32.$$

Để chứng minh đây là giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ đường ràng buộc, thế $y=12-2x$:

$$f(x,12-2x)=9x^2-96x+288.$$

Hoàn thành bình phương:

$$f(x,12-2x)=9\left(x-\dfrac{16}{3}\right)^2+32\ge32.$$

Phân tích phương án nhiễu: A là giá trị tại điểm khả thi $(6;0)$ nhưng chưa nhỏ nhất. D là giá trị tại $(4;4)$, cũng chưa tối ưu. C thường xuất hiện khi xử lý sai hệ số của $y^2$ hoặc giải sai hệ Lagrange.

Câu 9

Đáp án: D.

Vì $x,y,z>0$, bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân cho

$$xyz\le\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3=4^3=64.$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=4$.

Theo phương pháp Lagrange, đặt

$$\mathcal{L}=xyz-\lambda(x+y+z-12).$$

Hệ điều kiện dừng là

$$yz=\lambda,\qquad xz=\lambda,\qquad xy=\lambda,\qquad x+y+z=12.$$

Do các biến dương, từ $yz=xz$ suy ra $x=y$; từ $xz=xy$ suy ra $z=y$. Vì vậy $x=y=z=4$.

Bất đẳng thức ở trên chứng minh ứng viên này đạt cực đại toàn cục, chứ không chỉ là một điểm dừng có điều kiện.

Phân tích phương án nhiễu: A chưa phải cận tối ưu. B nhầm với bình phương tổng. C lấy $12^3$ nhưng quên chia đều tổng cho ba biến.

Câu 10

Đáp án: C.

Dùng phương pháp Lagrange:

$$\mathcal{L}=x+y-\lambda(x^2y-32).$$

Điều kiện dừng:

$$1=2\lambda xy,\qquad1=\lambda x^2,\qquad x^2y=32.$$

Vì $x,y>0$, chia hai phương trình đầu cho nhau:

$$1=\dfrac{2y}{x}\Longrightarrow x=2y.$$

Thế vào ràng buộc:

$$4y^3=32\Longrightarrow y=2,\qquad x=4.$$

Tại đó, $x+y=6$.

Để kiểm tra tối ưu toàn cục, từ ràng buộc có $y=32/x^2$, với $x>0$. Xét

$$\varphi(x)=x+\dfrac{32}{x^2}.$$

Ta có

$$\varphi'(x)=1-\dfrac{64}{x^3}.$$

Đạo hàm âm khi $0<x<4$ và dương khi $x>4$. Vì vậy $\varphi$ đạt giá trị nhỏ nhất duy nhất tại $x=4$, bằng $6$.

Phân tích phương án nhiễu: A chỉ lấy giá trị tối ưu của riêng $x$ thay vì tổng $x+y$. B có thể xuất phát từ việc dùng nhầm ràng buộc $xy=8$. D là tổng tại một số điểm khả thi, chẳng hạn $(x;y)=(8-4\sqrt3;4\sqrt3)$ không được mặc nhiên dùng; điều quyết định vẫn phải là tối ưu hóa trên đúng ràng buộc. Đặc biệt, chỉ tìm một giá trị tổng lớn hơn $6$ không thể chứng minh đó là giá trị nhỏ nhất.

PHẦN II. LỜI GIẢI CÁC CÂU ỨNG DỤNG KINH TẾ

Câu 1

Đáp án: B.

Bước 1. Lập hàm lợi nhuận.

Doanh thu bằng giá bán nhân sản lượng:

$$R(x,y)=x(80-2x)+y(60-y).$$

Lợi nhuận là doanh thu trừ chi phí:

$$\Pi(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=60x-2x^2+48y-y^2-100.$$

Bước 2. Tìm điểm dừng.

Ta có

$$\Pi_x=60-4x,\qquad\Pi_y=48-2y.$$

Cho hai đạo hàm bằng không, được

$$x=15,\qquad y=24.$$

Điểm này thuộc miền khả thi.

Bước 3. Kiểm tra tối ưu.

Hoàn thành bình phương:

$$\Pi(x,y)=926-2(x-15)^2-(y-24)^2\le926.$$

Vậy lợi nhuận lớn nhất là $926$ đơn vị tiền tệ, đạt duy nhất tại $(15;24)$.

Giải thích kinh tế: Ở phương án tối ưu, doanh thu biên của từng sản phẩm bằng chi phí biên tương ứng:

$$80-4x=20,\qquad60-2y=12.$$

Phân tích phương án nhiễu: A tối đa hóa doanh thu nhưng bỏ qua chi phí biến đổi. C quên hệ số phát sinh khi đạo hàm các số hạng bình phương trong lợi nhuận. D hoán đổi sản lượng tối ưu của hai sản phẩm.

Câu 2

Đáp án: A.

Do phải sản xuất đủ $20$ đơn vị nên

$$y=20-x,\qquad0\le x\le20.$$

Thế vào hàm chi phí:

$$C(x,20-x)=x^2+x(20-x)+2(20-x)^2+10x+6(20-x)+50.$$

Rút gọn:

$$C(x,20-x)=2x^2-56x+970.$$

Hoàn thành bình phương:

$$C(x,20-x)=2(x-14)^2+578.$$

Vì $x=14$ nằm trong đoạn $[0;20]$, chi phí nhỏ nhất là $578$ triệu đồng, đạt khi

$$x=14,\qquad y=6.$$

Có thể kiểm tra bằng điều kiện cân bằng chi phí biên. Ta có

$$C_x=2x+y+10,\qquad C_y=x+4y+6.$$

Với ràng buộc $x+y=20$, tại nghiệm tối ưu trong miền phải có $C_x=C_y$. Suy ra

$$x-3y+4=0.$$

Kết hợp với $x+y=20$ cũng được $(x;y)=(14;6)$.

Giải thích kinh tế: Không nhất thiết chia đều sản lượng, vì cấu trúc chi phí của hai cơ sở khác nhau. Phương án tối ưu cân bằng chi phí biên khi chuyển một đơn vị sản lượng từ cơ sở này sang cơ sở kia.

Phân tích phương án nhiễu: B là chi phí của phương án chia đều $(10;10)$. C là chi phí tại $(20;0)$. D là chi phí tại $(0;20)$. Cả ba phương án đều khả thi nhưng có chi phí lớn hơn mức tối ưu.

Câu 3

Đáp án: D.

Do hàm căn bậc hai tăng, tối đa hóa $Q=8\sqrt{KL}$ tương đương tối đa hóa $KL$.

Từ ràng buộc ngân sách:

$$L=160-4K,\qquad0\le K\le40.$$

Suy ra

$$KL=160K-4K^2=1600-4(K-20)^2.$$

Tích lớn nhất là $1600$, đạt tại

$$K=20,\qquad L=80.$$

Do đó sản lượng lớn nhất là

$$Q_{\max}=8\sqrt{1600}=320.$$

Theo phương pháp Lagrange cho hàm mục tiêu $KL$:

$$\mathcal{L}=KL-\lambda(4K+L-160).$$

Các điều kiện bậc nhất là

$$L=4\lambda,\qquad K=\lambda,\qquad4K+L=160.$$

Vậy $L=4K$, dẫn đến đúng phương án trên.

Giải thích kinh tế: Với hàm sản xuất này, phương án tối ưu dành một nửa ngân sách cho vốn và một nửa cho lao động:

$$4K=80,\qquad L=80.$$

Lượng đầu vào không bằng nhau vì giá vốn và giá lao động khác nhau.

Phân tích phương án nhiễu: A không sử dụng lao động nên sản lượng bằng không. B và C đều dùng hết ngân sách nhưng không thỏa tỷ lệ tối ưu $L=4K$. Đặc biệt, C nhầm “lượng đầu vào bằng nhau” với “chi tiêu cho hai đầu vào bằng nhau”.

Câu 4

Đáp án: B.

Yêu cầu sản lượng:

$$6\sqrt{KL}\ge120\Longleftrightarrow KL\ge400.$$

Hàm chi phí là

$$C(K,L)=9K+4L.$$

Theo bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân:

$$9K+4L\ge2\sqrt{9K\cdot4L}=12\sqrt{KL}\ge240.$$

Để có dấu bằng đồng thời, cần

$$9K=4L,\qquad KL=400.$$

Giải ra

$$K=\dfrac{40}{3},\qquad L=30.$$

Tại đây, sản lượng đúng bằng $120$ và chi phí bằng

$$C=9\cdot\dfrac{40}{3}+4\cdot30=240.$$

Vì sao ràng buộc sản lượng phải đạt dấu bằng ở tối ưu? Nếu $KL>400$, có thể giảm đồng thời hai đầu vào theo một tỷ lệ thích hợp để tích còn $400$, làm giảm cả chi phí vốn lẫn chi phí lao động. Do đó không cần sản xuất vượt mục tiêu trong mô hình này.

Giải thích kinh tế: Đầu vào đắt hơn không nhất thiết được dùng với lượng bằng đầu vào rẻ hơn. Tại tối ưu, hai khoản chi bằng nhau:

$$9K=4L=120.$$

Phân tích phương án nhiễu: A chỉ tính một nửa chi phí tối ưu. C là chi phí của phương án khả thi $(20;20)$. D là chi phí của phương án khả thi $(40;10)$. Hai phương án sau đều đáp ứng đúng sản lượng nhưng chưa tiết kiệm nhất.

Câu 5

Đáp án: C.

Bước 1. Lập đúng tổng doanh thu.

Doanh thu:

$$R=x(100-2x-y)+y(80-x-2y).$$

Rút gọn:

$$R=100x+80y-2x^2-2xy-2y^2.$$

Chú ý có hai số hạng $-xy$, một từ doanh thu của mỗi sản phẩm.

Lợi nhuận:

$$\Pi=80x+60y-2x^2-2xy-2y^2-200.$$

Bước 2. Giải hệ điều kiện dừng.

Ta có

$$\Pi_x=80-4x-2y,\qquad\Pi_y=60-2x-4y.$$

Cho hai đạo hàm bằng không:

$$2x+y=40,\qquad x+2y=30.$$

Suy ra

$$x=\dfrac{50}{3},\qquad y=\dfrac{20}{3}.$$

Bước 3. Kiểm tra miền khả thi và tính tối ưu.

Tại điểm tìm được:

$$p_1=60>0,\qquad p_2=50>0.$$

Các sản lượng cũng dương, nên phương án khả thi.

Các đạo hàm cấp hai:

$$\Pi_{xx}=-4,\qquad\Pi_{yy}=-4,\qquad\Pi_{xy}=-2.$$

Vì $D=16-4=12>0$ và $\Pi_{xx}<0$ tại mọi điểm, hàm lợi nhuận lõm nghiêm ngặt trên $\mathbb{R}^2$. Điểm dừng là điểm đạt giá trị lớn nhất toàn cục, nên cũng tối ưu trên miền khả thi.

Lợi nhuận lớn nhất:

$$\Pi_{\max}=\dfrac{2000}{3}.$$

Phân tích phương án nhiễu: A là kết quả khi bỏ toàn bộ số hạng tương tác $-2xy$. B và D không thỏa hệ điều kiện dừng. Trong bài có quan hệ thay thế, không được tối ưu từng sản phẩm như hai bài độc lập.

Câu 6

Đáp án: A.

Ta có

$$\Pi_x=\dfrac{30}{1+x}-1,\qquad\Pi_y=\dfrac{40}{1+y}-1.$$

Điều kiện dừng:

$$\dfrac{30}{1+x}=1,\qquad\dfrac{40}{1+y}=1.$$

Suy ra

$$x=29,\qquad y=39.$$

Các đạo hàm riêng cấp hai:

$$\Pi_{xx}=-\dfrac{30}{(1+x)^2}<0,\qquad \Pi_{yy}=-\dfrac{40}{(1+y)^2}<0,\qquad \Pi_{xy}=0.$$

Vậy ma trận Hessian xác định âm trên miền $x,y\ge0$. Hàm lợi nhuận lõm nghiêm ngặt, nên điểm dừng khả thi $(29;39)$ là nghiệm tối ưu duy nhất.

Có thể nhìn riêng từng kênh: lợi nhuận tăng theo $x$ khi $x<29$ và giảm khi $x>29$; tương tự, tăng theo $y$ khi $y<39$ và giảm khi $y>39$.

Giải thích kinh tế: Chi thêm một triệu đồng quảng cáo chỉ có lợi khi phần doanh thu tăng thêm còn lớn hơn một triệu đồng. Tại tối ưu, lợi ích biên của mỗi kênh bằng chi phí biên:

$$\dfrac{30}{1+x}=1,\qquad\dfrac{40}{1+y}=1.$$

Hằng số chi phí $50$ làm thay đổi mức lợi nhuận nhưng không làm thay đổi mức chi quảng cáo tối ưu.

Phân tích phương án nhiễu: B bỏ qua số $1$ trong mẫu số. C hoán đổi hệ số hiệu quả của hai kênh. D là phương án không quảng cáo, không tối ưu vì tại gốc hai đạo hàm riêng lần lượt bằng $29$ và $39$, đều dương.

Câu 7

Đáp án: C.

Ràng buộc sản lượng:

$$x+2y=30.$$

Ta có thể viết lại chi phí ngay trên ràng buộc:

$$C=x^2+2y^2+2(x+2y)+100=x^2+2y^2+160.$$

Như vậy chỉ cần tối thiểu hóa $x^2+2y^2$ với $x+2y=30$.

Lập hàm Lagrange cho hàm chi phí ban đầu:

$$\mathcal{L}=x^2+2y^2+2x+4y+100-\lambda(x+2y-30).$$

Hệ điều kiện:

$$2x+2=\lambda,\qquad4y+4=2\lambda,\qquad x+2y=30.$$

Hai phương trình đầu cho $x=y$. Suy ra

$$x=y=10.$$

Chi phí tại đó:

$$C(10,10)=100+200+20+40+100=460.$$

Kiểm tra toàn cục bằng phép thế $x=30-2y$, với $0\le y\le15$:

$$C(30-2y,y)=6(y-10)^2+460\ge460.$$

Giải thích kinh tế: Vì một đơn vị đầu vào thứ hai tạo ra hai đơn vị sản phẩm, điều kiện tối ưu là cân bằng chi phí biên trên một đơn vị sản phẩm:

$$C_x=\dfrac{C_y}{2},$$

không phải $C_x=C_y$.

Phân tích phương án nhiễu: A bỏ sót phần chi phí tuyến tính $2x+4y=60$. B là chi phí tại phương án $(0;15)$. D là chi phí tại phương án $(30;0)$. Hai phương án biên đều kém tối ưu.

Câu 8

Đáp án: D.

Ràng buộc ngân sách:

$$2x+y=24,\qquad x,y\ge0.$$

Thế $y=24-2x$, ta có $0\le x\le12$ và

$$U(x,24-2x)=x(24-2x)+2x+4(24-2x).$$

Rút gọn:

$$U=-2x^2+18x+96.$$

Hoàn thành bình phương:

$$U=-2\left(x-\dfrac92\right)^2+\dfrac{273}{2}.$$

Vì $9/2\in[0;12]$, hữu dụng lớn nhất đạt tại

$$x=\dfrac92,\qquad y=24-2\cdot\dfrac92=15.$$

Giá trị hữu dụng lớn nhất là $273/2=136{,}5$.

Có thể dùng Lagrange:

$$\mathcal{L}=xy+2x+4y-\lambda(2x+y-24).$$

Điều kiện dừng:

$$y+2=2\lambda,\qquad x+4=\lambda,\qquad2x+y=24.$$

Suy ra $y=2x+6$, rồi tìm được cùng giỏ hàng trên.

Giải thích kinh tế: Tại nghiệm tối ưu trong miền, hữu dụng biên trên một đơn vị tiền chi cho hai hàng hóa bằng nhau:

$$\dfrac{U_x}{2}=\dfrac{U_y}{1}.$$

Phân tích phương án nhiễu: A là nghiệm khi chỉ giữ số hạng $xy$ và bỏ các số hạng tuyến tính. B dùng hết ngân sách nhưng chưa thỏa điều kiện cân bằng hữu dụng biên theo giá. C dùng toàn bộ ngân sách cho hàng hóa thứ nhất, có hữu dụng chỉ bằng $24$.

Lưu ý: Hàm $U$ không lõm trên toàn mặt phẳng, nhưng sau khi hạn chế lên đường ngân sách, hàm một biến thu được là một tam thức bậc hai lõm. Vì vậy kết luận cực đại toàn cục vẫn được bảo đảm.

Câu 9

Đáp án: A.

Điều kiện dừng:

$$C_{q_1}=-\dfrac{900}{q_1^2}+1=0,\qquad C_{q_2}=-\dfrac{1600}{q_2^2}+1=0.$$

Vì $q_1,q_2>0$, suy ra

$$q_1=30,\qquad q_2=40.$$

Kiểm tra điều kiện đủ:

$$C_{q_1q_1}=\dfrac{1800}{q_1^3}>0,\qquad C_{q_2q_2}=\dfrac{3200}{q_2^3}>0,\qquad C_{q_1q_2}=0.$$

Ma trận Hessian xác định dương trên miền dương, nên hàm lồi nghiêm ngặt. Điểm dừng là nghiệm tối ưu duy nhất.

Tổng chi phí nhỏ nhất:

$$C(30,40)=30+30+40+40+50=190.$$

Cũng có thể chứng minh trực tiếp:

$$\dfrac{900}{q_1}+q_1\ge2\sqrt{900}=60,$$

$$\dfrac{1600}{q_2}+q_2\ge2\sqrt{1600}=80.$$

Cộng hai bất đẳng thức và chi phí quản lý cố định:

$$C(q_1,q_2)\ge60+80+50=190.$$

Giải thích kinh tế: Đặt hàng quá ít làm chi phí đặt hàng tăng; đặt quá nhiều làm chi phí lưu kho tăng. Trong mô hình này, tại tối ưu, chi phí đặt hàng và lưu kho của từng mặt hàng bằng nhau.

Phân tích phương án nhiễu: B bỏ quên chi phí quản lý cố định $50$. C là chi phí tại phương án $(q_1;q_2)=(20;20)$, chưa tối ưu. D chỉ cộng các số hạng lưu kho tại nghiệm tối ưu với chi phí cố định, bỏ sót chi phí đặt hàng.

Câu 10

Đáp án: B.

Bước 1. Xác định hàm giá trị tối ưu.

Từ ràng buộc:

$$L=B-2K,\qquad0\le K\le\dfrac B2.$$

Sản lượng:

$$Q=K(B-2K)=BK-2K^2.$$

Hoàn thành bình phương:

$$Q=-2\left(K-\dfrac B4\right)^2+\dfrac{B^2}{8}.$$

Với $B>0$, sản lượng lớn nhất đạt tại

$$K^*=\dfrac B4,\qquad L^*=\dfrac B2.$$

Do đó

$$V(B)=\dfrac{B^2}{8}.$$