20 bài hình học Toán 7 ôn giữa học kì I – Song song, vuông góc và tính góc

BÀI TẬP

Yêu cầu: Vẽ hình theo giả thiết của từng bài. Khi tính góc hoặc chứng minh, cần nêu rõ tính chất được sử dụng; không dùng số đo trực tiếp trên hình để thay cho lập luận.

Câu 1. Hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$, biết $\widehat{xOy}=64^\circ$.
a) Tính $\widehat{x'Oy'}$, $\widehat{xOy'}$ và $\widehat{x'Oy}$.
b) Vẽ tia $Om$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$. Tính $\widehat{mOy}$ và $\widehat{mOx'}$.

Câu 2. Cho hai góc kề bù $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$, biết $\widehat{xOy}=\dfrac{2}{3}\widehat{yOz}$.
a) Tính số đo mỗi góc.
b) Vẽ các tia $Om$, $On$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$. Tính $\widehat{mOn}$.
c) Chứng minh $Om\perp On$.

Câu 3. Cho $\widehat{xOy}=124^\circ$. Tia $Om$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$; tia $On$ là tia phân giác của $\widehat{mOy}$.
a) Tính $\widehat{xOm}$ và $\widehat{mOn}$.
b) Tính $\widehat{xOn}$.
c) Gọi $Oz$ là tia đối của tia $Ox$. Tính $\widehat{nOz}$.

Câu 4. Cho hai góc kề bù $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$, biết $\widehat{xOy}=56^\circ$. Các tia $Om$, $On$ lần lượt là tia phân giác của hai góc đó.
a) Tính $\widehat{yOz}$, $\widehat{mOy}$ và $\widehat{yOn}$.
b) Chứng minh $Om\perp On$.
c) Qua điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $On$, kẻ đường thẳng $d$ song song với $On$. Chứng minh $d\perp Om$.

Câu 5. Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Đường thẳng $c$ cắt $a$ tại $A$, cắt $b$ tại $B$. Lấy $X\in a$, $Y\in b$ sao cho $X$, $Y$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AB$. Biết $\widehat{XAB}=68^\circ$.
a) Tính $\widehat{ABY}$.
b) Lấy $X'\in a$ sao cho hai tia $AX$, $AX'$ đối nhau. Tính $\widehat{X'AB}$.
c) Chỉ ra một cặp góc so le trong bằng nhau trong hình.

Câu 6. Cho $a\parallel b$. Đường thẳng $c$ cắt $a$ tại $M$, cắt $b$ tại $N$. Lấy $P\in a$, $Q\in b$ nằm khác phía đối với đường thẳng $MN$. Biết $\widehat{PMN}=73^\circ$.
a) Tính $\widehat{MNQ}$.
b) Lấy $R\in b$ sao cho hai tia $NQ$, $NR$ đối nhau. Tính $\widehat{MNR}$.
c) Vẽ tia $Nt$ là tia phân giác của $\widehat{MNR}$. Tính $\widehat{tNQ}$.

Câu 7. Hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ bị đường thẳng $AB$ cắt lần lượt tại $A$, $B$. Lấy $X\in a$, $Y\in b$ nằm khác phía đối với đường thẳng $AB$. Biết $\widehat{XAB}=\widehat{ABY}=57^\circ$.
a) Chứng minh $a\parallel b$.
b) Lấy $Y'\in b$ sao cho hai tia $BY$, $BY'$ đối nhau. Tính $\widehat{ABY'}$.
c) Qua $A$, kẻ đường thẳng $d\perp b$. Chứng minh $d\perp a$.

Câu 8. Đường thẳng $AB$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ lần lượt tại $A$, $B$. Lấy $X\in a$, $Y\in b$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AB$. Biết $\widehat{XAB}=112^\circ$, $\widehat{ABY}=68^\circ$.
a) Chứng minh $a\parallel b$.
b) Kẻ đường thẳng $d$ đi qua $B$ và vuông góc với $a$. Chứng minh $d\perp b$.
c) Lấy $X'\in a$ sao cho hai tia $AX$, $AX'$ đối nhau. So sánh $\widehat{X'AB}$ với $\widehat{ABY}$.

Câu 9. Cho $a\parallel b$. Đường thẳng $AB$ cắt $a$ tại $A$, cắt $b$ tại $B$. Lấy $X\in a$, $Y\in b$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AB$. Biết

$$\widehat{XAB}=(3t+10)^\circ,\qquad \widehat{ABY}=(2t+20)^\circ.$$

a) Tìm $t$.
b) Tính $\widehat{XAB}$ và $\widehat{ABY}$.
c) Vẽ tia $Am$ là tia phân giác của $\widehat{XAB}$. Tính $\widehat{mAB}$.

Câu 10. Cho ba đường thẳng phân biệt $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a\perp c$ và $b\perp c$.
a) Chứng minh $a\parallel b$.
b) Vẽ đường thẳng $d$ song song với $a$, trong đó $d$ khác $a$ và $b$. Chứng minh $d\parallel b$.
c) Chứng minh $d\perp c$.

Câu 11. Cho đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ lần lượt tại $A$, $B$. Biết $a\perp c$. Lấy điểm $Y\in b$, $Y\ne B$, sao cho $\widehat{ABY}=90^\circ$.
a) Chứng minh $b\perp c$.
b) Chứng minh $a\parallel b$.
c) Qua điểm $M$ không thuộc $a$ và $b$, kẻ đường thẳng $d\parallel a$. Chứng minh $d\perp c$.

Câu 12. Cho $a\parallel b$. Đường thẳng $c$ vuông góc với $a$ tại $A$; đường thẳng $d$ vuông góc với $b$ tại $B$. Biết $c$, $d$ là hai đường thẳng phân biệt.
a) Chứng minh $c\parallel d$.
b) Qua $A$, kẻ đường thẳng $e$. Lấy $X\in a$, $X\ne A$ và $E\in e$, $E\ne A$, sao cho $\widehat{XAE}=38^\circ$. Tính số đo góc nhọn tạo bởi $e$ và $c$.
c) Tính số đo góc tù tạo bởi $e$ và $c$.

Câu 13. Cho $\widehat{AOB}=90^\circ$. Tia $OC$ nằm trong $\widehat{AOB}$ và $\widehat{AOC}=34^\circ$. Gọi $OD$ là tia đối của tia $OC$.
a) Tính $\widehat{COB}$.
b) Tính $\widehat{AOD}$ và $\widehat{BOD}$.
c) Vẽ tia $Om$ là tia phân giác của $\widehat{AOC}$, tia $On$ là tia phân giác của $\widehat{COB}$. Tính $\widehat{mOn}$.

Câu 14. Cho $a\parallel b$. Đường thẳng $AB$ cắt $a$ tại $A$, cắt $b$ tại $B$. Lấy $X\in a$, $Y\in b$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AB$. Biết

$$\widehat{XAB}=(4t+10)^\circ,\qquad \widehat{ABY}=(2t+20)^\circ.$$

a) Tìm $t$ và tính số đo hai góc trên.
b) Trong $\widehat{XAB}$, vẽ tia $AM$ vuông góc với $a$. Tính $\widehat{MAB}$.
c) Chứng minh $AM\perp b$.

Câu 15. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=58^\circ$, $\widehat{ACB}=64^\circ$. Vẽ tia $Cx$ là tia đối của tia $CB$; tia $Cy$ là tia phân giác của $\widehat{ACx}$.
a) Tính $\widehat{ACx}$ và $\widehat{xCy}$.
b) Chứng minh đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng chứa tia $Cy$.
c) Qua $C$, kẻ đường thẳng $d\perp AB$. Chứng minh $d\perp Cy$.

Câu 16. Cho hai đường thẳng song song $a$, $b$. Lấy $A,B\in a$ và $C,D\in b$ sao cho $A\ne B$, $C\ne D$, đồng thời $B$, $D$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AC$. Điểm $E$ nằm trong miền giữa $a$ và $b$, cùng phía với $B$, $D$ đối với đường thẳng $AC$. Biết $\widehat{BAE}=25^\circ$, $\widehat{DCE}=40^\circ$.
a) Qua $E$, kẻ đường thẳng song song với $a$, cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh $EF\parallel CD$.
b) Tính $\widehat{AEF}$ và $\widehat{FEC}$.
c) Tính $\widehat{AEC}$.

Câu 17. Cho ba đường thẳng phân biệt $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a\parallel b$ và $b\parallel c$. Một đường thẳng cắt chúng lần lượt tại $P$, $Q$, $R$, trong đó $Q$ nằm giữa $P$ và $R$. Lấy $X\in a$, $Y\in b$, $Z\in c$ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $PR$. Biết $\widehat{XPQ}=124^\circ$.
a) Chứng minh $a\parallel c$.
b) Tính $\widehat{PQY}$ và $\widehat{QRZ}$.
c) Một đường thẳng $d$ vuông góc với $b$. Chứng minh $d$ vuông góc với cả $a$ và $c$.

Câu 18. Cho $a\parallel b$. Đường thẳng $AB$ cắt $a$ tại $A$, cắt $b$ tại $B$. Lấy $X\in a$, $Y\in b$ nằm khác phía đối với đường thẳng $AB$, biết $\widehat{XAB}=72^\circ$. Vẽ các tia $AM$, $BN$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat{XAB}$ và $\widehat{ABY}$.
a) Tính $\widehat{MAB}$ và $\widehat{ABN}$.
b) Chứng minh hai đường thẳng chứa các tia $AM$, $BN$ song song với nhau.
c) Gọi $AX'$ là tia đối của tia $AX$. Vẽ tia $AP$ là tia phân giác của $\widehat{X'AB}$. Chứng minh $AP\perp BN$.

Câu 19. Cho $a\parallel b$. Đường thẳng $AB$ cắt $a$ tại $A$, cắt $b$ tại $B$. Lấy $X\in a$, $Y\in b$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AB$, biết $\widehat{XAB}=108^\circ$. Các tia phân giác của $\widehat{XAB}$ và $\widehat{ABY}$ cắt nhau tại $I$.
a) Tính $\widehat{ABY}$, $\widehat{IAB}$ và $\widehat{ABI}$.
b) Qua $I$, kẻ đường thẳng $d\parallel a$. Dùng tính chất các góc tạo bởi đường thẳng cắt hai đường thẳng song song để chứng minh $\widehat{AIB}=90^\circ$.
c) Qua $B$, kẻ đường thẳng $e\parallel AI$. Chứng minh $e\perp BI$.

Câu 20. Đường thẳng $AB$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ lần lượt tại $A$, $B$. Lấy $X\in a$, $Y\in b$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AB$. Các tia phân giác của $\widehat{XAB}$ và $\widehat{ABY}$ cắt nhau tại $I$. Biết $\widehat{XAB}=76^\circ$ và $AI\perp BI$.
a) Tính $\widehat{IAB}$.
b) Tính $\widehat{ABI}$ và $\widehat{ABY}$.
c) Chứng minh $a\parallel b$.

Gợi ý cho câu b): Qua $B$, kẻ đường thẳng song song với $AI$; sử dụng tính chất góc so le trong và quan hệ giữa song song, vuông góc.

--------- HẾT ---------

Họ và tên học sinh: ................................................ Lớp: ........................

BÀI TẬP BỔ SUNG – ĐỌC HÌNH VÀ TRẢ LỜI NGẮN

Quan sát hình và trả lời ngắn các câu hỏi. Các hình không nhất thiết được vẽ theo số đo thực tế; hãy sử dụng giả thiết và tính chất hình học để tìm kết quả.

Câu 21. Trong hình vẽ, hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$, biết $\widehat{AOC}=60^\circ$.

[Hình vẽ]

a) Tính $\widehat{BOD}$.
b) Tính $\widehat{AOD}$ và $\widehat{BOC}$.
c) Kể tên hai góc kề bù với $\widehat{AOC}$.

Câu 22. Trong hình vẽ, hai tia $OA$, $OB$ đối nhau và $\widehat{AOC}=120^\circ$. Các tia $OM$, $ON$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat{AOC}$ và $\widehat{COB}$.

[Hình vẽ]

a) Tính $\widehat{COB}$.
b) Tính $\widehat{AOM}$ và $\widehat{CON}$.
c) Tính $\widehat{MON}$. Hai đường thẳng $OM$ và $ON$ có vuông góc với nhau không?