ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I - TOÁN 12

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 2)^3 (x + 1)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[-2; 3]$, có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

[Đồ thị]

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-2; 2]$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ là đường thẳng có phương trình

Câu 5 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 3x + 4}{x - 1}$ là đường thẳng

Câu 6 (0,25 điểm). Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($a, b, c, d \in \mathbb{R}$, $c \ne 0$, $ad - bc \ne 0$) có đồ thị như hình vẽ:

[Đồ thị]

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là

Câu 8 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ như hình vẽ dưới đây:

[Đồ thị]

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại điểm

Câu 11 (0,25 điểm). Biết rằng đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ cắt đường thẳng $d: y = m$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi $m \in (a; b)$. Giá trị của biểu thức $a + b$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m + 2)x - 5$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ có đồ thị $(C)$.
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = 3x^2 - 6x$.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
c) Giá trị cực đại của hàm số bằng $0$.
d) Điểm uốn và cũng là tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ là điểm $I(1; 0)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(H)$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đạo hàm $y' = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} < 0$ với mọi $x \ne 1$, do đó hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
c) Đồ thị $(H)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$.
d) Tiếp tuyến của đồ thị $(H)$ tại giao điểm của $(H)$ với trục hoành có hệ số góc bằng $-\dfrac{4}{3}$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Ta có thể viết $y = x + \dfrac{1}{x - 1}$, do đó đường thẳng $y = x$ là đường tiệm cận xiên của $(C)$.
b) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1$.
c) Hàm số có hai điểm cực trị là $x = 0$ và $x = 2$.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng $1$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

Biết rằng $f(0) = 1$ và $f(-2) = 5$.
a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -2)$ và khoảng $(0; +\infty)$.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$ và giá trị cực tiểu là $1$.
c) Điểm $x = 3$ là một điểm cực trị của hàm số đã cho.
d) Phương trình $f(x) = 2$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt trên khoảng $(-\infty; 3)$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Một chiếc xe thử nghiệm chuyển động thẳng biến đổi, quãng đường đi được sau $t$ giây ($0 \le t \le 10$) được xác định bởi phương trình $s(t) = -t^3 + 12t^2 + 5$ (đơn vị: mét). Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm $t$ là $v(t) = s'(t)$. Vận tốc tức thời lớn nhất mà xe đạt được trong khoảng thời gian trên bằng bao nhiêu m/s?

Câu 2 (0,5 điểm). Một xưởng cơ khí cần gia công một thùng chứa nhiên liệu bằng kim loại có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy là hình vuông cạnh $x$ (mét) và chiều cao là $h$ (mét). Thể tích của thùng chứa bắt buộc phải bằng $32\text{ m}^3$. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của thùng chứa (không nắp) phải đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy $x$ bằng bao nhiêu mét?

Câu 3 (0,5 điểm). Một công ty may mặc ước tính chi phí trung bình để sản xuất mỗi chiếc áo sơ mi khi sản xuất ở quy mô $x$ nghìn sản phẩm ($x \ge 1$) được mô hình hoá bởi hàm số:

$$\overline{C}(x) = 2x + \dfrac{50}{x} + 30 \quad (\text{nghìn đồng/chiếc}).$$

Xưởng may cần sản xuất bao nhiêu nghìn chiếc áo sơ mi để chi phí trung bình trên mỗi chiếc áo là thấp nhất?

Câu 4 (0,5 điểm). Một công ty lữ hành nhận thấy: nếu giá bán một tour du lịch trọn gói là $2$ triệu đồng thì mỗi tuần có $300$ khách tham gia. Cứ mỗi lần công ty giảm giá tour $100$ nghìn đồng ($0{,}1$ triệu đồng) thì số lượng khách đăng ký mỗi tuần lại tăng thêm $30$ người. Biết rằng chi phí thực tế mà công ty phải chi trả cho mỗi khách tham gia tour là $1$ triệu đồng. Để lợi nhuận trong một tuần thu được là lớn nhất thì công ty nên đưa ra giá bán tour là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 5 (0,5 điểm). Một người thợ gò tôn muốn uốn một tấm tôn dài hình chữ nhật có chiều rộng $40\text{ cm}$ thành một rãnh dẫn nước hình lăng trụ hở nắp có mặt cắt ngang là hình chữ nhật (uốn hai bên mép tấm tôn lên một đoạn $x\text{ cm}$ vuông góc với đáy). Để diện tích mặt cắt ngang của dòng chảy đạt giá trị lớn nhất thì chiều cao uốn $x$ phải bằng bao nhiêu xentimét?

Câu 6 (0,5 điểm). Nồng độ của một loại kháng sinh trong huyết tương của bệnh nhân sau $t$ giờ ($t \ge 0$) kể từ khi tiêm tĩnh mạch được mô tả theo hàm số:

$$C(t) = \dfrac{8t}{t^2 + 4} \quad (\text{mg/L}).$$

Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ khi tiêm thì nồng độ kháng sinh trong huyết tương đạt mức cao nhất?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................