Đề kiểm tra giữa học kì I Toán 12 — Vận dụng và phân hóa cao — Năm học 2026–2027

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm dương trên các khoảng $(-\infty;-1)$, $(2;+\infty)$ và âm trên khoảng $(-1;2)$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên sau:

[Bảng biến thiên]

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Câu 3 (0,25 điểm). Hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 4 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$ trên đoạn $[1;5]$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;4]$ và có bảng biến thiên sau:

[Bảng biến thiên]

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;4]$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Biết $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=3$. Đường thẳng $y=3$ là đường nào dưới đây của đồ thị hàm số $y=f(x)$?

Câu 7 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+5}{x+1}$ có phương trình là

Câu 8 (0,25 điểm). Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

Câu 9 (0,25 điểm). Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

Câu 10 (0,25 điểm). Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

[Bảng biến thiên]

Câu 11 (0,25 điểm). Một robot di chuyển trong không gian qua ba chặng liên tiếp với các vectơ độ dịch chuyển lần lượt là $\vec u$, $\vec v$ và $-2\vec u+\vec v$. Biết $\vec u\perp\vec v$, $|\vec u|=3$ m và $|\vec v|=4$ m. Khoảng cách từ vị trí ban đầu đến vị trí cuối cùng của robot bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Trong không gian, cho hai vectơ đơn vị $\vec u$, $\vec v$ tạo với nhau góc $60^\circ$. Một lực không đổi $\vec F=40\vec u-20\vec v$ tác dụng lên vật, làm vật có vectơ độ dịch chuyển $\vec s=3\vec u+4\vec v$. Các hệ số của $\vec F$ được tính theo N và của $\vec s$ được tính theo m. Biết công của lực được tính bởi $W=\vec F\cdot\vec s$. Công của lực bằng

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=x^3-3x$ có đồ thị $(C)$.
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x)=3x^2-3$.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và giá trị cực tiểu bằng $-2$.
c) Đường thẳng $y=m$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $-2\le m\le2$.
d) Phương trình $|x^3-3x|=m$ có đúng bốn nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m=2$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb R\setminus\{1\}$.
b) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận xiên là $y=x+1$.
c) Đường thẳng $y=m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $|m|>2$.
d) Gọi $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận của $(C)$. Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc $(C)$ đến $I$ bằng $\sqrt{2+2\sqrt2}$.

Câu 3 (1,0 điểm). Một khách sạn có $80$ phòng. Khi giá thuê là $500$ nghìn đồng/phòng/ngày thì tất cả các phòng đều được thuê. Theo khảo sát, mỗi lần tăng giá thêm $50$ nghìn đồng/phòng/ngày thì số phòng được thuê giảm $5$ phòng. Gọi $x$ là số lần tăng giá, với $x\in\{0;1;\ldots;16\}$. Chi phí phục vụ là $100$ nghìn đồng cho mỗi phòng được thuê và chi phí cố định là $8\,000$ nghìn đồng/ngày.
a) Số phòng được thuê trong một ngày là $80-5x$.
b) Khi tăng giá hai lần, lợi nhuận trong một ngày của khách sạn là $28\,000$ nghìn đồng.
c) Nếu không triển khai thêm chương trình quảng cáo thì giá thuê $700$ nghìn đồng/phòng/ngày đem lại lợi nhuận lớn nhất.
d) Giả sử khách sạn chi thêm $3\,000$ nghìn đồng/ngày cho quảng cáo và nhờ đó số phòng có nhu cầu thuê tăng thêm $10$ phòng ở mỗi mức giá; số phòng thực tế được thuê không vượt quá $80$. Khi đó, lợi nhuận lớn nhất trong một ngày tăng thêm $3\,250$ nghìn đồng so với khi không quảng cáo.

Câu 4 (1,0 điểm). Một nhà kho có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB=6$ m, $AD=8$ m, $AA'=10$ m.

[Hình vẽ]

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$.
b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC'}=48$ m².
c) Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{BD'}$ bằng $\dfrac{16}{25}$.
d) Một cảm biến di chuyển trên đoạn $AC'$. Khoảng cách từ cảm biến đến $B'$ nhỏ nhất khi cảm biến đã đi được $\dfrac{17}{25}$ chiều dài đoạn $AC'$, tính từ $A$.

PHẦN III. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết. Các mô hình về chi phí, giá bán và chuyển động được coi là đúng trong phạm vi dữ kiện của bài toán.

Câu 1 (1,0 điểm). Một cơ sở sản xuất đồ thủ công dự kiến sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm trong một ngày, với $x$ là số nguyên và $1\le x\le50$. Tổng chi phí sản xuất là

$$C(x)=x^3-30x^2+400x+5\,000$$

nghìn đồng. Để bán hết $x$ sản phẩm, giá bán mỗi sản phẩm được xác định theo mô hình $p(x)=1\,000-10x$ nghìn đồng.

Cơ sở cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm trong một ngày để lợi nhuận lớn nhất? Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

Câu 2 (1,0 điểm). Một cơ sở cần làm một bể chứa nước không có nắp, dạng hình hộp chữ nhật, có thể tích $16$ m³. Chiều dài đáy gấp hai lần chiều rộng đáy. Chi phí vật liệu và gia công đáy bể là $300$ nghìn đồng/m²; chi phí vật liệu và gia công bốn mặt bên là $200$ nghìn đồng/m². Bỏ qua độ dày vật liệu và các chi phí khác.

Tìm chiều dài, chiều rộng, chiều cao của bể để tổng chi phí thấp nhất và tính chi phí thấp nhất đó.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong một hệ tọa độ không gian với đơn vị độ dài là mét, tại thời điểm $t=0$, hai thiết bị bay không người lái ở các vị trí $A(0;0;100)$ và $B(60;80;100)$. Trong $20$ giây tiếp theo, chúng chuyển động thẳng đều với các vectơ vận tốc tương ứng là $\vec u=(6;0;2)$ và $\vec v=(0;-4;-1)$, đơn vị m/s.

Hai thiết bị chỉ kết nối trực tiếp được khi khoảng cách giữa chúng không vượt quá bán kính liên lạc $R$. Tìm thời điểm hai thiết bị gần nhau nhất trong $20$ giây đầu và xác định số nguyên dương $R$ nhỏ nhất, tính theo mét, để có ít nhất một thời điểm chúng kết nối trực tiếp được.

--------- HẾT ---------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Chấm theo các đơn vị kiến thức và mức điểm trong hướng dẫn. Tổng điểm toàn bài là $10,0$ điểm.

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

Phần tự luận cần có lập luận hoặc bước tính làm căn cứ cho kết quả. Chấp nhận sử dụng tích vô hướng, tọa độ hoặc các phép biến đổi tương đương phù hợp.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Giải thích các câu cần tính toán

Câu 3. $y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)<0$ khi $1<x<3$.

Câu 4. $f'(x)=1-\dfrac4{x^2}$. Trên $[1;5]$, hàm số giảm đến $x=2$ rồi tăng; do đó giá trị nhỏ nhất bằng $f(2)=4$.

Câu 7. Vì

$$\dfrac{x^2+2x+5}{x+1}=x+1+\dfrac4{x+1},$$

nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.

Câu 9. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$ và đi qua $(0;-1)$, phù hợp với phương án A.

Câu 10. Với phương án B:

$$f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}=x+1+\dfrac4{x-1},\qquad f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}.$$

Hai điểm cực trị có hoành độ $-1$, $3$ và $f(-1)=-2$, $f(3)=6$, đúng với bảng biến thiên.

Câu 11. Vectơ độ dịch chuyển tổng cộng là

$$\vec d=\vec u+\vec v-2\vec u+\vec v=-\vec u+2\vec v.$$

Do $\vec u\cdot\vec v=0$ nên

$$|\vec d|^2=|\vec u|^2+4|\vec v|^2=9+64=73.$$

Khoảng cách cần tìm bằng $\sqrt{73}$ m.

Câu 12. Vì $\vec u$, $\vec v$ là các vectơ đơn vị và $\vec u\cdot\vec v=\cos60^\circ=\dfrac12$ nên

$$W=(40\vec u-20\vec v)\cdot(3\vec u+4\vec v)=120-80+(160-60)\cdot\dfrac12=90.$$

Vậy công của lực bằng $90$ J.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Trong mỗi câu: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm. Không có ý nào đúng được 0 điểm.

Căn cứ xác định đúng/sai

Câu 1.

a) $f'(x)=3x^2-3$, nên khẳng định đúng.
b) Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại $x=1$ và $f(1)=-2$, nên khẳng định đúng.
c) Điều kiện đúng là $-2<m<2$. Khi $m=\pm2$, đường thẳng chỉ cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt.
d) Với $m>0$, phương trình tương đương với $f(x)=m$ hoặc $f(x)=-m$. Nếu $0<m<2$, có sáu nghiệm; nếu $m=2$, có bốn nghiệm; nếu $m>2$, có hai nghiệm. Khi $m=0$, có ba nghiệm; khi $m<0$, vô nghiệm. Do đó khẳng định đúng.

Câu 2.

a) Mẫu số khác $0$ khi $x\ne1$.
b) Ta có $f(x)=x-1+\dfrac1{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x-1$, không phải $y=x+1$.
c) Đặt $t=x-1\ne0$. Phương trình $f(x)=m$ trở thành $t^2-mt+1=0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m^2-4>0$, tương đương $|m|>2$; các nghiệm đều khác $0$.
d) Hai tiệm cận cắt nhau tại $I(1;0)$. Với $M(x;f(x))$ và $t=x-1\ne0$:

$$IM^2=t^2+\left(t+\dfrac1t\right)^2=2t^2+2+\dfrac1{t^2}\ge2+2\sqrt2.$$

Dấu bằng xảy ra khi $t^4=\dfrac12$. Vì vậy khoảng cách nhỏ nhất bằng $\sqrt{2+2\sqrt2}$.

Câu 3.

a) Theo mô hình khảo sát, số phòng được thuê là $n(x)=80-5x$.
b) Khi $x=2$, có $70$ phòng được thuê với giá $600$ nghìn đồng/phòng/ngày. Lợi nhuận là $(600-100)\cdot70-8\,000=27\,000$ nghìn đồng, nên khẳng định sai.
c) Khi không quảng cáo, lợi nhuận, tính theo nghìn đồng, là

$$L(x)=(400+50x)(80-5x)-8\,000=28\,000-250(x-4)^2.$$

Giá trị lớn nhất đạt tại $x=4$, ứng với giá thuê $700$ nghìn đồng/phòng/ngày.

d) Khi quảng cáo, số phòng được thuê là $\min\{80;90-5x\}$. Lợi nhuận, tính theo nghìn đồng, là

$$L_{\mathrm{QC}}(x)=(400+50x)\min\{80;90-5x\}-11\,000.$$

Với các giá trị nguyên $0\le x\le2$, lợi nhuận không vượt quá $29\,000$ nghìn đồng. Với $2\le x\le16$:

$$L_{\mathrm{QC}}(x)=25\,000+2\,500x-250x^2=31\,250-250(x-5)^2.$$

Lợi nhuận lớn nhất bằng $31\,250$ nghìn đồng, đạt tại $x=5$. Mức tăng là $31\,250-28\,000=3\,250$ nghìn đồng.

Câu 4.

Đặt $\vec a=\overrightarrow{AB}$, $\vec b=\overrightarrow{AD}$, $\vec c=\overrightarrow{AA'}$. Ba vectơ đôi một vuông góc, có độ dài tương ứng là $6$, $8$, $10$.

a) Quy tắc hình hộp cho $\overrightarrow{AC'}=\vec a+\vec b+\vec c$.
b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC'}=|\vec a|^2=36$ m², không phải $48$ m².
c) $\overrightarrow{BD'}=-\vec a+\vec b+\vec c$. Do đó

$$\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{BD'}=-36+64+100=128.$$

Hai vectơ đều có độ dài $\sqrt{200}$ m, nên côsin của góc giữa chúng bằng $\dfrac{128}{200}=\dfrac{16}{25}$.

d) Gọi vị trí cảm biến là $N$, đặt $\overrightarrow{AN}=t\overrightarrow{AC'}$, với $0\le t\le1$. Khi đó

$$NB'^2=|(1-t)\vec a-t\vec b+(1-t)\vec c|^2=136(1-t)^2+64t^2.$$

Suy ra

$$NB'^2=200\left(t-\dfrac{17}{25}\right)^2+\dfrac{1088}{25}.$$

Khoảng cách nhỏ nhất đạt tại $t=\dfrac{17}{25}$.

PHẦN III. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Lưu ý: Câu 1 phải xét điều kiện số sản phẩm là số nguyên; không kết luận số sản phẩm tối ưu bằng cách làm tròn nghiệm của đạo hàm mà không có căn cứ so sánh. Câu 3 chỉ làm tròn sau khi đã xác định khoảng cách nhỏ nhất.

--------- HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM ---------