Đề kiểm tra chuyên đề Toán 8 - Ứng dụng định lí Thales và đường trung bình

NỘI DUNG ĐỀ THI

Câu 1 (1,0 điểm). Để đo chiều cao của một cây xanh $AB$ trên sân trường, nhóm học sinh đo bóng của cây trên mặt đất tại một thời điểm nắng được $BC = 6$ m. Cùng thời điểm đó, các bạn cắm thẳng đứng một cọc tiêu $DE$ có chiều cao $DE = 1,5$ m vuông góc với mặt đất, bóng của cọc tiêu trên mặt đất đo được là $EF = 1,8$ m. Giả sử các tia nắng mặt trời chiếu xuống song song với nhau ($AC \parallel DF$).

[Hình vẽ]

a) Giải thích vì sao $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF}$.
b) Tính chiều cao $AB$ của cây xanh (kết quả tính theo đơn vị mét).

Câu 2 (1,0 điểm). Hai vị trí $A$ và $B$ nằm ở hai bên bờ một hồ nước nên không thể đo trực tiếp khoảng cách giữa chúng. Để đo khoảng cách $AB$, người ta chọn một điểm mốc $C$ trên bờ có thể quan sát và đo khoảng cách tới cả $A$ và $B$. Trên các đoạn thẳng $CA$ và $CB$, lần lượt xác định hai mốc $M$ và $N$ sao cho $M$ là trung điểm của $CA$ và $N$ là trung điểm của $CB$.

[Hình vẽ]

a) Chứng minh rằng đoạn thẳng $MN$ song song với $AB$ và $MN = \dfrac{1}{2}AB$.
b) Biết khoảng cách đo được giữa hai mốc $M$ và $N$ là $42$ m, hãy tính khoảng cách $AB$ giữa hai vị trí bên hồ.

Câu 3 (1,0 điểm). Một chiếc thang xếp chữ A gồm hai thanh thang $AB$ và $AC$ bằng nhau có khớp nối ở đỉnh $A$. Để giữ cho thang đứng vững và không bị choạc chân khi trèo, người ta gắn một thanh giằng ngang $DE$ nối giữa hai thanh thang sao cho $D$ là trung điểm của $AB$ và $E$ là trung điểm của $AC$.

[Hình vẽ]

a) Chứng minh $DE \parallel BC$ và tính độ dài thanh giằng $DE$ biết khoảng cách giữa hai chân thang đặt trên sàn nhà là $BC = 80$ cm.
b) Để tăng thêm độ an toàn, người ta lắp thêm một thanh giằng thứ hai $MN$ bên dưới $DE$ ($M \in DB, N \in EC$) sao cho $M$ là trung điểm của $DB$ và $N$ là trung điểm của $EC$. Tính độ dài của thanh giằng $MN$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một khung vì kèo mái nhà bằng thép có dạng tam giác cân $ABC$ tại $A$ với thanh xà ngang đáy $BC = 6$ m. Người thợ hàn thêm hai thanh xà ngang đỡ mái $MN$ và $PQ$ song song với $BC$ ($M, P \in AB; N, Q \in AC$), chia thanh kèo $AB$ thành 3 phần bằng nhau: $AM = MP = PB$.

[Hình vẽ]

a) Chứng minh $MN \parallel PQ \parallel BC$ và tính tỉ số $\dfrac{AM}{AB}$ cùng $\dfrac{AP}{AB}$.
b) Tính độ dài của hai thanh xà ngang đỡ mái $MN$ và $PQ$.

Câu 5 (1,0 điểm). Để đo khoảng cách giữa hai vị trí $A$ và $B$ nằm ở hai bên bờ một khúc sông (với $A$ ở bờ đối diện, $B$ ở bờ bên này), một kĩ sư xác định trên bờ bên này đoạn thẳng $BC \perp AB$ có độ dài $BC = 60$ m. Trên đoạn thẳng $BC$, lấy điểm $D$ cách $B$ một đoạn $40$ m. Từ $C$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ về phía đất liền, trên đó lấy mốc $E$ sao cho ba điểm $A, D, E$ thẳng hàng. Kĩ sư đo được khoảng cách $CE = 15$ m.

[Hình vẽ]

a) Giải thích vì sao $AB \parallel CE$.
b) Áp dụng hệ quả của định lí Thales, hãy tính khoảng cách $AB$ qua sông.

Câu 6 (1,0 điểm). Để đo chiều cao của một tòa nhà chung cư $AC$, một nhóm học sinh cắm một cọc tiêu $ED$ dài $2$ m thẳng đứng vuông góc với mặt đất ($E$ trên mặt đất). Bạn An đặt mắt ngắm tại điểm $B$ trên mặt đất sao cho đỉnh $D$ của cọc tiêu và đỉnh $C$ của tòa nhà cùng nằm trên một đường thẳng. Đo đạc thực tế ghi nhận khoảng cách $BE = 2,5$ m và khoảng cách từ chân cọc tiêu đến chân tòa nhà là $EA = 22,5$ m (các điểm $B, E, A$ thẳng hàng trên mặt đất phẳng).

[Hình vẽ]

a) Chứng minh $ED \parallel AC$ và tính khoảng cách từ vị trí ngắm $B$ đến chân tòa nhà $A$.
b) Tính chiều cao $AC$ của tòa nhà.

Câu 7 (1,0 điểm). Một cán bộ địa chính muốn kiểm tra xem đoạn ranh giới $MN$ giữa hai thửa đất có song song với con mương thẳng $BC$ hay không. Từ vị trí quan sát $A$, người đó đo được các khoảng cách: $AM = 12$ m, $MB = 18$ m (trên đoạn $AB$) và $AN = 16$ m, $NC = 24$ m (trên đoạn $AC$).

[Hình vẽ]

a) Tính các tỉ số $\dfrac{AM}{MB}$ và $\dfrac{AN}{NC}$. Từ đó rút ra kết luận về vị trí tương đối giữa đường ranh giới $MN$ và con mương $BC$.
b) Đo được bề rộng con mương $BC = 45$ m, hãy tính độ dài của đoạn ranh giới $MN$.

Câu 8 (1,0 điểm). Một người thợ mộc thiết kế một kệ sách trang trí treo tường hình tam giác $ABC$ có đáy $BC = 90$ cm. Kệ gồm hai đợt gỗ nằm ngang $D_1E_1$ và $D_2E_2$ song song với đáy $BC$ ($D_1, D_2 \in AB; E_1, E_2 \in AC$). Đợt trên $D_1E_1$ được lắp sao cho $\dfrac{AD_1}{D_1B} = \dfrac{1}{2}$, đợt dưới $D_2E_2$ được lắp sao cho $D_2$ là trung điểm của $D_1B$.

[Hình vẽ]

a) Tính tỉ số $\dfrac{AD_1}{AB}$ và chiều dài của đợt kệ trên $D_1E_1$.
b) Chứng minh $D_2E_2$ là đường trung bình của hình thang $D_1E_1CB$, từ đó tính chiều dài của đợt kệ dưới $D_2E_2$.

Câu 9 (1,0 điểm). Một bãi bồi ven biển có dạng hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB$ là bờ kè phía trong dài $80$ m, $CD$ là mép nước phía ngoài dài $140$ m). Đội thanh niên tình nguyện căng một hàng dây $MN$ ở chính giữa bãi bồi để trồng dải cây phi lao chắn sóng, với $M$ là trung điểm của cạnh bên $AD$ và $N$ là trung điểm của cạnh bên $BC$.

[Hình vẽ]

a) Chứng minh hàng dây $MN$ song song với bờ kè $AB$ và mép nước $CD$.
b) Tính chiều dài hàng cây phi lao $MN$ cần trồng.
c) Trên hàng dây $MN$, người ta dựng một trạm quan sát $K$ sao cho $K$ là trung điểm của đoạn nối hai cọc mốc $A$ và $C$ ($K$ là trung điểm đường chéo $AC$). Tính khoảng cách $MK$ và $KN$.

Câu 10 (1,0 điểm). Một chao đèn chụp bằng vải có khung sườn hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Người thợ may muốn gắn một dải ruy băng $EF$ trang trí nằm ngang ($EF \parallel AB \parallel CD$, $E \in AD, F \in BC$) sao cho $AE = 2ED$. Biết mép trên chụp đèn $AB = 24$ cm, mép dưới chụp đèn $CD = 42$ cm.

[Hình vẽ]

a) Đoạn nối $AC$ cắt $EF$ tại điểm $I$. Áp dụng định lí Thales và hệ quả, hãy tính các tỉ số $\dfrac{EI}{CD}$ và $\dfrac{IF}{AB}$.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng $EI, IF$ và tính tổng chiều dài dải ruy băng trang trí $EF$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.