Đề kiểm tra chuyên đề Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ........

TRƯỜNG THCS & THPT ............

Đề tham khảo

ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LỚP 11

NĂM HỌC 2025 – 2026

Môn: TOÁN – Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi gồm có 04 trang)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 101

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3n - 2$ . Số hạng $u_4$ của dãy số bằng

A. $10$ .

B. $12$ .

C. $14$ .

D. $8$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. $u_n = \dfrac{1}{n}$ .

B. $u_n = 2n + 3$ .

C. $u_n = (-1)^n \cdot n$ .

D. $u_n = 10 - 3n$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 4$ . Số hạng thứ năm $u_5$ bằng

A. $19$ .

B. $15$ .

C. $23$ .

D. $16$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -2$ và $u_2 = 3$ . Công sai $d$ của cấp số cộng đã cho là

A. $d = 1$ .

B. $d = -5$ .

C. $d = 5$ .

D. $d = -\dfrac{3}{2}$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$ . Giá trị của $u_3$ bằng

A. $12$ .

B. $18$ .

C. $54$ .

D. $8$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 4$ và $u_2 = -8$ . Công bội $q$ của cấp số nhân bằng

A. $q = -2$ .

B. $q = 2$ .

C. $q = -\dfrac{1}{2}$ .

D. $q = -12$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ . Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu $S_n$ của cấp số cộng là

A. $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ .

B. $S_n = n(u_1 + u_n)$ .

C. $S_n = \dfrac{n(u_1 + d)}{2}$ .

D. $S_n = \dfrac{(u_1 + u_n)}{2}$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Dãy số nào sau đây là một dãy số bị chặn?

A. $u_n = n^2 + 1$ .

B. $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ .

C. $u_n = 2^n$ .

D. $u_n = -3n + 5$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Cho ba số liên tiếp $x; 6; y$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mối liên hệ giữa $x$ và $y$ là

A. $x + y = 6$ .

B. $x + y = 12$ .

C. $x \cdot y = 36$ .

D. $x + y = 3$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$ . Tổng của $5$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng

A. $242$ .

B. $728$ .

C. $243$ .

D. $486$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 5$ và công sai $d = 3$ . Số $50$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đã cho?

A. $14$ .

B. $15$ .

C. $16$ .

D. $17$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Một rạp chiếu phim có $15$ hàng ghế. Hàng đầu tiên có $18$ ghế, mỗi hàng tiếp theo có nhiều hơn hàng liền trước nó $2$ ghế. Số ghế ở hàng cuối cùng là

A. $46$ ghế.

B. $48$ ghế.

C. $50$ ghế.

D. $44$ ghế.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ .
a) Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là $u_1 = \dfrac{1}{2}$ , $u_2 = 1$ , $u_3 = \dfrac{5}{4}$ .
b) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số giảm.
c) Số $\dfrac{19}{11}$ là số hạng thứ $10$ của dãy số đã cho.
d) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số bị chặn vì $0 < u_n < 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công sai $d = 3$ .
a) Số hạng thứ hai của cấp số cộng là $u_2 = 5$ .
b) Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = 3n - 1$ .
c) Số $100$ là một số hạng của cấp số cộng đã cho.
d) Tổng của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{10} = 155$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = 2$ .
a) Số hạng thứ hai của cấp số nhân là $u_2 = 6$ .
b) Số hạng thứ năm của cấp số nhân là $u_5 = 48$ .
c) Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n = 3 \cdot 2^n$ .
d) Tổng của $5$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $S_5 = 93$ .

Câu 4 (1,0 điểm). Một người gửi tiết kiệm $50$ triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất cố định $6\%$ /năm theo hình thức lãi kép (tiền lãi mỗi năm được cộng vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo). Ký hiệu $A_n$ là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi người đó nhận được sau $n$ năm gửi.
a) Số tiền lãi người đó nhận được sau năm thứ nhất là $3$ triệu đồng.
b) Tổng số tiền người đó nhận được sau $1$ năm gửi là $53$ triệu đồng.
c) Công thức tính tổng số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ năm gửi là $A_n = 50 \cdot (1{,}06)^n$ (triệu đồng).
d) Sau $2$ năm gửi, người đó nhận được tổng số tiền cả gốc lẫn lãi là $56$ triệu đồng.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 5$ và $u_8 = 40$ . Tìm công sai $d$ của cấp số cộng đó.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $u_2 = 6$ và $u_5 = 162$ . Tìm công bội $q$ của cấp số nhân đó.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công sai $d = 4$ . Tính tổng $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Câu 4 (0,5 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$ . Tính tổng của $5$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

Câu 5 (0,5 điểm). Một công ty xây dựng cần thiết kế một khán đài hình vòng cung có $20$ hàng ghế. Hàng đầu tiên có $30$ ghế, mỗi hàng sau có nhiều hơn hàng liền trước $4$ ghế. Hỏi khán đài đó có tất cả bao nhiêu ghế ngồi?

Câu 6 (0,5 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{n+1}=u_{n}+3$ với mọi $n \ge 1$ . Tìm số hạng thứ $10$ của dãy số đã cho.

--------- HẾT ---------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THCS & THPT CÁT NGẠN

Hướng dẫn chấm chính thức

ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LỚP 11

NĂM HỌC 2025 – 2026

Môn: TOÁN – Thời gian làm bài: 90 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Với phần câu hỏi trắc nghiệm đúng sai và trả lời ngắn, tính điểm theo đúng quy chế thi tốt nghiệp THPT từ năm 2025.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	A	B	A	C	B	A	A	B	B	A

Câu	11	12
Đáp án	C	A

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu:
- Thí sinh chọn chính xác 01 ý trong 1 câu được 0,10 điểm.
- Thí sinh chọn chính xác 02 ý trong 1 câu được 0,25 điểm.
- Thí sinh chọn chính xác 03 ý trong 1 câu được 0,50 điểm.
- Thí sinh chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu được 1,00 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án	Hướng dẫn giải vắn tắt
1	a)	Đ	$u_1 = \dfrac{2(1)-1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$ ; $u_2 = \dfrac{2(2)-1}{2+1} = 1$ ; $u_3 = \dfrac{2(3)-1}{3+1} = \dfrac{5}{4}$ .
	b)	S	Xét hiệu $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2n+1}{n+2} - \dfrac{2n-1}{n+1} = \dfrac{3}{(n+2)(n+1)} > 0 \;\forall n \in \mathbb{N}^*$ nên dãy số tăng.
	c)	Đ	Ta có $u_{10} = \dfrac{2 \cdot 10 - 1}{10 + 1} = \dfrac{19}{11}$ .
	d)	Đ	Ta có $u_n = 2 - \dfrac{3}{n+1}$ . Với $n \ge 1$ thì $0 < \dfrac{3}{n+1} \le \dfrac{3}{2}$ , suy ra $\dfrac{1}{2} \le u_n < 2$ . Do đó $0 < u_n < 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ .
2	a)	Đ	$u_2 = u_1 + d = 2 + 3 = 5$ .
	b)	Đ	$u_n = u_1 + (n - 1)d = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1$ .
	c)	S	Giả sử $u_n = 100 \Leftrightarrow 3n - 1 = 100 \Leftrightarrow 3n = 101 \Leftrightarrow n = \dfrac{101}{3} \notin \mathbb{N}^*$ . Vậy $100$ không thuộc dãy số.
	d)	Đ	$S_{10} = \dfrac{10}{2} \cdot \left[ 2u_1 + 9d \right] = 5 \cdot (2 \cdot 2 + 9 \cdot 3) = 5 \cdot 31 = 155$ .
3	a)	Đ	$u_2 = u_1 \cdot q = 3 \cdot 2 = 6$ .
	b)	Đ	$u_5 = u_1 \cdot q^4 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ .
	c)	S	Công thức số hạng tổng quát là $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$ (không phải $3 \cdot 2^n$ ).
	d)	Đ	$S_5 = u_1 \cdot \dfrac{q^5 - 1}{q - 1} = 3 \cdot \dfrac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93$ .
4	a)	Đ	Tiền lãi năm thứ nhất là $50 \cdot 6\% = 3$ triệu đồng.
	b)	Đ	Tổng số tiền sau 1 năm là $50 + 3 = 53$ triệu đồng.
	c)	Đ	Áp dụng công thức lãi kép, tổng tiền sau $n$ năm là $A_n = 50 \cdot (1 + 0{,}06)^n = 50 \cdot (1{,}06)^n$ (triệu đồng).
	d)	S	Số tiền sau 2 năm là $A_2 = 50 \cdot (1{,}06)^2 = 56{,}18$ triệu đồng $\ne 56$ triệu đồng.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm.

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải chi tiết
1	5	Cấp số cộng có $u_8 = u_1 + 7d \Leftrightarrow 40 = 5 + 7d \Leftrightarrow 7d = 35 \Leftrightarrow d = 5$ .
2	3	Cấp số nhân có $u_5 = u_2 \cdot q^3 \Leftrightarrow 162 = 6 \cdot q^3 \Leftrightarrow q^3 = 27 \Leftrightarrow q = 3$ .
3	230	Tổng $10$ số hạng đầu: $S_{10} = \dfrac{10}{2} \cdot \left[ 2u_1 + (10 - 1)d \right] = 5 \cdot (2 \cdot 5 + 9 \cdot 4) = 5 \cdot 46 = 230$ .
4	242	Tổng $5$ số hạng đầu cấp số nhân: $S_5 = u_1 \cdot \dfrac{q^5 - 1}{q - 1} = 2 \cdot \dfrac{3^5 - 1}{3 - 1} = 3^5 - 1 = 243 - 1 = 242$ .
5	1360	Số ghế các hàng lập thành cấp số cộng với $u_1 = 30$ , công sai $d = 4$ , số hàng $n = 20$ . Tổng số ghế là: $S_{20} = \dfrac{20}{2} \cdot \left[ 2 \cdot 30 + 19 \cdot 4 \right] = 10 \cdot (60 + 76) = 10 \cdot 136 = 1360$ .
6	28	Dãy số $(u_n)$ có $u_{n+1} = u_n + 3$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 1$ , công sai $d = 3$ . Số hạng thứ $10$ là: $u_{10} = u_1 + 9d = 1 + 9 \cdot 3 = 28$ .