Đề kiểm tra chuyên đề Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm

TRƯỜNG THPT ....................

TỔ TOÁN

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10

Chuyên đề: Bất phương trình và miền nghiệm

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2x^2 + 3y > 5$ .

B. $2x - 3y \le 1$ .

C. $xy + x \ge 2$ .

D. $x + y^2 < 0$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Cặp số $(x; y)$ nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình $2x + y - 4 < 0$ ?

A. $(2; 1)$ .

B. $(1; 1)$ .

C. $(3; 0)$ .

D. $(1; 3)$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Điểm $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. $x + 3y + 2 < 0$ .

B. $2x - y - 1 > 0$ .

C. $3x + 2y - 6 \le 0$ .

D. $x - y + 1 < 0$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \ge 0$ chứa điểm nào sau đây?

A. $(1; 2)$ .

B. $(-2; 1)$ .

C. $(4; 1)$ .

D. $(0; 1)$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Cặp số $(x; y) = (1; -1)$ là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $\begin{cases} x + y - 2 \le 0 \\ 2x - 3y > 1 \end{cases}$

B. $\begin{cases} x - y < 0 \\ 2x + y > 0 \end{cases}$

C. $\begin{cases} x + 2y > 0 \\ x - y \le 0 \end{cases}$

D. $\begin{cases} 3x + y < 0 \\ x - 2y > 0 \end{cases}$

Câu 6 (0,25 điểm). Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ là

A. Góc phần tư thứ nhất (kể cả hai trục toạ độ).

B. Góc phần tư thứ hai (kể cả hai trục toạ độ).

C. Góc phần tư thứ ba (kể cả hai trục toạ độ).

D. Góc phần tư thứ tư (kể cả hai trục toạ độ).

Câu 7 (0,25 điểm). Đường thẳng $d: x - y - 2 = 0$ chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng. Điểm nào sau đây nằm cùng phía với gốc toạ độ $O(0; 0)$ so với đường thẳng $d$ ?

A. $(3; 0)$ .

B. $(1; 2)$ .

C. $(4; 1)$ .

D. $(2; -1)$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y \le 4 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ . Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là hình gì?

A. Một hình chữ nhật.

B. Một hình vuông.

C. Một tam giác.

D. Một tứ giác không vuông.

Câu 9 (0,25 điểm). Cho biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$ . Xét trên miền nghiệm là tam giác $ABC$ có toạ độ các đỉnh là $A(0; 0)$ , $B(3; 0)$ , $C(0; 4)$ . Giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ bằng

A. $0$ .

B. $8$ .

C. $9$ .

D. $12$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} 2x + y \le 6 \\ x + 2y \le 6 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ . Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $2x + y = 6$ và $x + 2y = 6$ là

A. $(2; 2)$ .

B. $(1; 4)$ .

C. $(4; 1)$ .

D. $(3; 0)$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Một cửa hàng bán hai loại trà sữa $X$ và $Y$ . Cửa hàng có tối đa $50$ lít sữa mỗi ngày. Mỗi cốc trà sữa loại $X$ cần $0{,}2$ lít sữa, mỗi cốc trà sữa loại $Y$ cần $0{,}25$ lít sữa. Gọi $x, y$ lần lượt là số cốc trà sữa loại $X$ và $Y$ cửa hàng sản xuất trong một ngày ( $x, y \ge 0$ ). Bất phương trình mô tả lượng sữa tiêu thụ mỗi ngày là

A. $0{,}2x + 0{,}25y > 50$ .

B. $0{,}2x + 0{,}25y \le 50$ .

C. $0{,}25x + 0{,}2y \le 50$ .

D. $0{,}2x + 0{,}25y \ge 50$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = 2x - y$ trên miền tứ giác xác định bởi các đỉnh $O(0; 0)$ , $A(4; 0)$ , $B(3; 3)$ , $C(0; 2)$ đạt được tại đỉnh nào?

A. $O(0; 0)$ .

B. $A(4; 0)$ .

C. $B(3; 3)$ .

D. $C(0; 2)$ .

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

$\begin{cases} x - y \le 2 \\ x + 2y \le 8 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$

Gọi $S$ là miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ .
a) Điểm $M(1; 2)$ thuộc miền nghiệm $S$ .
b) Miền nghiệm $S$ là một miền đa giác ngũ giác.
c) Giao điểm của hai đường thẳng $x - y = 2$ và $x + 2y = 8$ có toạ độ là $(4; 2)$ .
d) Giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 3x + y$ trên miền nghiệm $S$ bằng $14$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Một bác nông dân dự định trồng hai loại cây là ngô và đậu tương trên mảnh đất có diện tích tối đa $8$ ha. Để chăm sóc, bác có tối đa $180$ ngày công.
- Trồng $1$ ha ngô cần $20$ ngày công và mang lại lợi nhuận $30$ triệu đồng.
- Trồng $1$ ha đậu tương cần $30$ ngày công và mang lại lợi nhuận $40$ triệu đồng.
Gọi $x$ (ha) và $y$ (ha) lần lượt là diện tích trồng ngô và đậu tương ( $x \ge 0, y \ge 0$ ).
a) Bất phương trình ràng buộc về ngày công là $2x + 3y \le 18$ .
b) Bất phương trình ràng buộc về diện tích đất canh tác là $x + y \le 8$ .
c) Nếu bác nông dân chỉ trồng $6$ ha ngô và $2$ ha đậu tương thì vượt quá số ngày công tối đa cho phép.
d) Bác nông dân sẽ đạt lợi nhuận cao nhất khi trồng $6$ ha ngô và $2$ ha đậu tương.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho bất phương trình $2x + 3y \le 12$ . Trong các điểm $A(1; 3)$ , $B(2; 3)$ , $C(3; 2)$ , $D(4; 2)$ , $E(0; 4)$ , có bao nhiêu điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho?

Câu 2 (0,5 điểm). Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 6 \end{cases}$ là một tam giác vuông trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ . Tính diện tích của tam giác vuông đó.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho miền nghiệm của một hệ bất phương trình là hình đa giác có các đỉnh là $A(1; 1)$ , $B(5; 1)$ , $C(4; 4)$ , $D(1; 3)$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 4x - 3y$ trên miền đa giác đó.

Câu 4 (0,5 điểm). Một xưởng mộc sản xuất hai loại ghế $A$ và $B$ . Thời gian để hoàn thiện một chiếc ghế loại $A$ cần $2$ giờ làm mộc và $1$ giờ đánh bóng; một chiếc ghế loại $B$ cần $1$ giờ làm mộc và $1$ giờ đánh bóng. Xưởng có tối đa $120$ giờ làm mộc và $80$ giờ đánh bóng mỗi tuần. Mỗi chiếc ghế loại $A$ cho lợi nhuận $400$ nghìn đồng, mỗi chiếc ghế loại $B$ cho lợi nhuận $300$ nghìn đồng. Tính số tiền lợi nhuận tối đa (theo đơn vị triệu đồng) mà xưởng mộc có thể thu được trong một tuần.

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho Bài 1, Bài 2 và Bài 3.

Bài 1 (1,0 điểm). Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ :

$\begin{cases} x - 2y \le 2 \\ x + y \ge 2 \\ x \le 4 \end{cases}$

Bài 2 (1,0 điểm). Cho hệ bất phương trình:

$\begin{cases} x - y \le 1 \\ x + y \le 5 \\ y \le 3 \\ x \ge 0 \end{cases}$

a) Xác định toạ độ các đỉnh của miền đa giác tạo bởi nghiệm của hệ bất phương trình trên.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = 2x - 3y + 1$ trên miền đa giác đó.

Bài 3 (1,0 điểm). Một công ty kinh doanh dự định dùng hai loại xe tải $A$ và $B$ để vận chuyển $140$ tấn hàng và $9$ tấn thực phẩm đóng thùng.
- Mỗi xe tải loại $A$ có thể chở được $20$ tấn hàng và $1$ tấn thực phẩm; chi phí thuê mỗi chuyến xe loại $A$ là $4$ triệu đồng.
- Mỗi xe tải loại $B$ có thể chở được $10$ tấn hàng và $1$ tấn thực phẩm; chi phí thuê mỗi chuyến xe loại $B$ là $3$ triệu đồng.
Biết rằng bên cho thuê xe chỉ cung cấp tối đa $8$ xe loại $A$ và tối đa $9$ xe loại $B$ . Hãy xác định số xe mỗi loại mà công ty cần thuê để tổng chi phí thuê xe là ít nhất mà vẫn chở hết số hàng và thực phẩm đã định.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BAREM ĐIỂM

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10: MIỀN NGHIỆM VÀ TỐI ƯU HÓA

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Nếu học sinh giải theo cách khác đúng với chương trình học thì vẫn cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng.
- Điểm toàn bài là tổng điểm các câu, làm tròn đến $0{,}25$ điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	B	B	C	C	A	A	B	C	C	A	B	D

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Quy tắc tính điểm: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; Đúng 2 ý được 0,25 điểm; Đúng 3 ý được 0,5 điểm; Đúng 4 ý được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn giải vắn tắt	Điểm
Câu 1	a)	Đ	Thay $(1; 2)$ : $1 - 2 = -1 \le 2$ ; $1 + 4 = 5 \le 8$ ; $1 \ge 0; 2 \ge 0$ (thoả mãn).	0,1
	b)	S	Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với $O(0; 0), A(2; 0), B(4; 2), C(0; 4)$ , không phải ngũ giác.	0,25 (2 ý)
	c)	Đ	Giải hệ $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + 2y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$ .	0,5 (3 ý)
	d)	Đ	$F(O) = 0$ ; $F(A) = 3(2) + 0 = 6$ ; $F(B) = 3(4) + 2 = 14$ ; $F(C) = 4$ . Vậy GTLN bằng $14$ .	1,0 (4 ý)
Câu 2	a)	Đ	Ngày công: $20x + 30y \le 180 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 18$ .	0,1
	b)	Đ	Diện tích: $x + y \le 8$ .	0,25 (2 ý)
	c)	S	Với $x = 6, y = 2$ : $2(6) + 3(2) = 18 \le 18$ (vừa đủ ngày công cho phép).	0,5 (3 ý)
	d)	Đ	Các đỉnh miền nghiệm: $O(0;0), A(8;0), B(6;2), C(0;6)$ . Lợi nhuận $T = 30x + 40y$ . $T(O)=0; T(A)=240; T(B)=30(6)+40(2)=260; T(C)=240$ . Lợi nhuận lớn nhất tại $B(6; 2)$ .	1,0 (4 ý)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	Đáp số	Hướng dẫn giải chi tiết	Điểm
Câu 1	$4$	Thay toạ độ từng điểm vào $2x + 3y$ so với $12$ : - $A(1; 3): 2(1) + 3(3) = 11 \le 12$ (thoả mãn). - $B(2; 3): 2(2) + 3(3) = 13 > 12$ (không thoả mãn). - $C(3; 2): 2(3) + 3(2) = 12 \le 12$ (thoả mãn). - $D(4; 2): 2(4) + 3(2) = 14 > 12$ (không thoả mãn). - $E(0; 4): 2(0) + 3(4) = 12 \le 12$ (thoả mãn). Có $3$ điểm thoả mãn là $A, C, E$ . Điểm gốc $O(0;0)$ không hỏi, vậy có $3$ điểm.	0,5
Câu 2	$18$	Miền nghiệm là tam giác vuông tại $O(0;0)$ với hai đỉnh còn lại là $A(6; 0)$ và $B(0; 6)$ . Diện tích tam giác vuông: $S = \dfrac{1}{2} OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ .	0,5
Câu 3	$17$	Tính giá trị của $F(x; y) = 4x - 3y$ tại các đỉnh: - $F(A) = 4(1) - 3(1) = 1$ - $F(B) = 4(5) - 3(1) = 17$ - $F(C) = 4(4) - 3(4) = 4$ - $F(D) = 4(1) - 3(3) = -5$ Vậy giá trị lớn nhất bằng $17$ (tại đỉnh $B$ ).	0,5
Câu 4	$26$	Gọi $x, y \ge 0$ là số ghế loại $A$ và $B$ sản xuất trong tuần. Hệ ràng buộc: $\begin{cases} 2x + y \le 120 \\ x + y \le 80 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$ Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $O(0;0), A(60;0), B(40;40), C(0;80)$ . Lợi nhuận (nghìn đồng): $L(x; y) = 400x + 300y$ . - $L(O) = 0$ - $L(A) = 400(60) = 24\,000$ - $L(B) = 400(40) + 300(40) = 28\,000$ nghìn đồng = $28$ triệu đồng. - $L(C) = 300(80) = 24\,000$ Vậy lợi nhuận lớn nhất là $28$ triệu đồng.	0,5

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung trình bày	Điểm
Bài 1		Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (1,0 điểm)
		Vẽ đường thẳng $d_1: x - 2y - 2 = 0$ . Đường thẳng đi qua $(2; 0)$ và $(0; -1)$ . Thay $O(0; 0)$ vào ta có $0 - 2(0) = 0 \le 2$ (đúng), vậy miền nghiệm của $x - 2y \le 2$ chứa gốc toạ độ $O$ .	0,25
		Vẽ đường thẳng $d_2: x + y - 2 = 0$ . Đường thẳng đi qua $(2; 0)$ và $(0; 2)$ . Thay $O(0; 0)$ vào: $0 + 0 = 0 \ge 2$ (sai), vậy miền nghiệm của $x + y \ge 2$ không chứa gốc toạ độ $O$ .	0,25
		Vẽ đường thẳng $d_3: x = 4$ . Miền nghiệm của $x \le 4$ là nửa mặt phẳng bên trái $d_3$ kể cả bờ.	0,25
		Giao của ba miền nghiệm là miền tam giác giới hạn bởi ba đỉnh: - Giao của $d_1$ và $d_2$ là điểm $A(2; 0)$ . - Giao của $d_1$ và $d_3$ là điểm $B(4; 1)$ . - Giao của $d_2$ và $d_3$ là điểm $C(4; -2)$ . Kết luận: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác $ABC$ (kể cả biên).	0,25
Bài 2	a	Xác định các đỉnh của miền đa giác (0,5 điểm)
		Vẽ các đường thẳng tương ứng: $d_1: x - y = 1$ ; $d_2: x + y = 5$ ; $d_3: y = 3$ ; $d_4: x = 0$ (trục tung). Miền nghiệm chứa trong nửa mặt phẳng $x \ge 0$ (bên phải trục tung).	0,25
		Tìm toạ độ giao điểm của các biên giới hạn miền nghiệm: - Giao điểm của $x = 0$ và $y = 3$ là $A(0; 3)$ . - Giao điểm của $y = 3$ và $x + y = 5$ là $B(2; 3)$ . - Giao điểm của $x + y = 5$ và $x - y = 1$ là $C(3; 2)$ . - Giao điểm của $x - y = 1$ và $x = 0$ là điểm có $y = -1$ , tức $D(0; -1)$ . Vậy miền nghiệm là tứ giác $ABCD$ với các đỉnh $A(0; 3), B(2; 3), C(3; 2), D(0; -1)$ .	0,25
	b	Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $F(x; y)$ (0,5 điểm)
		Biểu thức $F(x; y) = 2x - 3y + 1$ . Tính giá trị của $F$ tại 4 đỉnh của tứ giác: - Tại $A(0; 3): F(0; 3) = 2(0) - 3(3) + 1 = -8$ . - Tại $B(2; 3): F(2; 3) = 2(2) - 3(3) + 1 = -4$ . - Tại $C(3; 2): F(3; 2) = 2(3) - 3(2) + 1 = 1$ . - Tại $D(0; -1): F(0; -1) = 2(0) - 3(-1) + 1 = 4$ .	0,25
		So sánh các giá trị tính được: - Giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ bằng $4$ , đạt được tại đỉnh $D(0; -1)$ . - Giá trị nhỏ nhất của $F(x; y)$ bằng $-8$ , đạt được tại đỉnh $A(0; 3)$ .	0,25
Bài 3		Bài toán quy hoạch tuyến tính thực tế (1,0 điểm)
		Gọi $x$ là số chuyến xe tải loại $A$ và $y$ là số chuyến xe tải loại $B$ công ty cần thuê ( $x, y \in \mathbb{N}$ ). Theo đề bài ta có các điều kiện ràng buộc: - Số lượng xe có sẵn: $0 \le x \le 8$ và $0 \le y \le 9$ . - Lượng hàng vận chuyển: $20x + 10y \ge 140 \Leftrightarrow 2x + y \ge 14$ . - Lượng thực phẩm vận chuyển: $x + y \ge 9$ .	0,25
		Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền đa giác giới hạn bởi các đường thẳng biên với các đỉnh: - Đỉnh $M(5; 4)$ là giao điểm của $2x + y = 14$ và $x + y = 9$ . - Đỉnh $N(8; 1)$ là giao điểm của $x = 8$ và $x + y = 9$ . - Đỉnh $P(8; 9)$ là giao điểm của $x = 8$ và $y = 9$ . - Đỉnh $Q(2{,}5; 9)$ là giao điểm của $2x + y = 14$ và $y = 9$ .	0,25
		Chi phí thuê xe tính bằng triệu đồng là: $T(x; y) = 4x + 3y$ . Tính giá trị chi phí tại các đỉnh của miền nghiệm: - $T(M) = T(5; 4) = 4(5) + 3(4) = 32$ (triệu đồng). - $T(N) = T(8; 1) = 4(8) + 3(1) = 35$ (triệu đồng). - $T(P) = T(8; 9) = 4(8) + 3(9) = 59$ (triệu đồng). - $T(Q) = T(2{,}5; 9) = 4(2{,}5) + 3(9) = 37$ (triệu đồng).	0,25
		Chi phí nhỏ nhất là $32$ triệu đồng khi $x = 5$ và $y = 4$ (thoả mãn điều kiện nguyên). Kết luận: Công ty cần thuê $5$ xe loại $A$ và $4$ xe loại $B$ để tổng chi phí nhỏ nhất.	0,25

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BAREM ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 10