ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II TOÁN 11 - MÃ ĐỀ 102

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II — NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 102

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ biết số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$ . Giá trị của số hạng $u_4$ bằng

A. $u_4 = \dfrac{7}{5}$

B. $u_4 = \dfrac{9}{5}$

C. $u_4 = \dfrac{7}{4}$

D. $u_4 = \dfrac{3}{5}$

Câu 2 (0,25 điểm). Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

A. $u_n = 3n + 1$

B. $u_n = \dfrac{3}{n^2}$

C. $u_n = 2^n$

D. $u_n = n^2 - 1$

Câu 3 (0,25 điểm). Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $1; 3; 6; 9; 12$

B. $1; -3; -7; -11; -15$

C. $1; -2; 4; -8; 16$

D. $2; 4; 8; 16; 32$

Câu 4 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 4$ và công sai $d = -3$ . Số hạng thứ năm $u_5$ bằng

A. $u_5 = -11$

B. $u_5 = -8$

C. $u_5 = 16$

D. $u_5 = -5$

Câu 5 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và $u_2 = 11$ . Công sai $d$ của cấp số cộng đã cho bằng

A. $d = 8$

B. $d = -8$

C. $d = \dfrac{11}{3}$

D. $d = 14$

Câu 6 (0,25 điểm). Tìm tất cả các giá trị của $x$ để ba số $2x - 1; 5; 3x + 1$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

A. $x = 2$

B. $x = 3$

C. $x = 4$

D. $x = 1$

Câu 7 (0,25 điểm). Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi công thức số hạng tổng quát dưới đây, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. $u_n = 5 - 2n$

B. $u_n = \dfrac{4}{3n}$

C. $u_n = 4 \cdot 3^n$

D. $u_n = n^2 + 1$

Câu 8 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$ . Giá trị của số hạng $u_4$ bằng

A. $u_4 = 54$

B. $u_4 = 162$

C. $u_4 = 18$

D. $u_4 = 24$

Câu 9 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = -2$ và $u_2 = 6$ . Công bội $q$ của cấp số nhân đó bằng

A. $q = 3$

B. $q = -3$

C. $q = 8$

D. $q = -4$

Câu 10 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công sai $d = 3$ . Tổng của 10 số hạng đầu tiên $S_{10}$ bằng

A. $S_{10} = 155$

B. $S_{10} = 310$

C. $S_{10} = 145$

D. $S_{10} = 175$

Câu 11 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và công bội $q = 2$ . Tổng 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng

A. $S_6 = 189$

B. $S_6 = 96$

C. $S_6 = 192$

D. $S_6 = 381$

Câu 12 (0,25 điểm). Một khán phòng có 20 dãy ghế xếp theo quy luật: dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau mỗi dãy có nhiều hơn dãy liền trước 2 ghế. Số lượng ghế ở dãy thứ 12 là

A. 37 ghế

B. 39 ghế

C. 35 ghế

D. 41 ghế

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời Câu 1 và Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thoả mãn hệ điều kiện: $\begin{cases} u_1 + u_5 = 26 \\ u_3 + u_7 = 38 \end{cases}$ .
a) Số hạng đầu của cấp số cộng là $u_1 = 7$ .
b) Công sai của cấp số cộng bằng $d = 4$ .
c) Số hạng thứ mười của cấp số cộng là $u_{10} = 34$ .
d) Tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{15} = 420$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Trong điều kiện môi trường thí nghiệm nuôi cấy thích hợp, ban đầu có 500 vi khuẩn. Cứ sau mỗi chu kỳ 30 phút, số lượng vi khuẩn lại nhân đôi. Gọi $u_n$ là số lượng vi khuẩn sau $n$ chu kỳ phân chia ( $n \in \mathbb{N}^*$ ), số lượng ban đầu kí hiệu là $u_0 = 500$ .
a) Dãy số biểu diễn số lượng vi khuẩn sau mỗi chu kỳ là một cấp số nhân có công bội $q = 2$ .
b) Sau 2 giờ kể từ thời điểm ban đầu, số lượng vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy là 8 000 con.
c) Sau 5 giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn đạt hơn 500 000 con.
d) Để số lượng vi khuẩn đạt từ 1 000 000 con trở lên thì cần thời gian nuôi cấy ít nhất là 6 giờ.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Điền kết quả là một số vào ô trả lời.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2 = 2024$ và $u_5 = 2015$ . Tìm giá trị của số hạng thứ 101 của cấp số cộng đó.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và số hạng thứ tư $u_4 = 192$ . Tìm công bội $q$ của cấp số nhân đã cho.

Câu 3 (0,5 điểm). Ba góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng. Biết số đo góc lớn nhất bằng 3 lần số đo góc bé nhất. Tìm số đo (theo độ) của góc lớn nhất trong tam giác đó.

Câu 4 (0,5 điểm). Một thanh niên đi làm quyết định tiết kiệm tiền để mua một chiếc xe máy trị giá 45 triệu đồng. Trong tháng đầu tiên, anh ta dành dụm được 5 triệu đồng. Kể từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng anh dành dụm được nhiều hơn tháng liền trước 500 nghìn đồng (0,5 triệu đồng). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng tiết kiệm thì anh ta có đủ tiền để mua chiếc xe máy đó?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các bài toán sau.

Bài 1 (1,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi công thức truy hồi:

$\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = 3u_n - 4, \quad \forall n \ge 1 \end{cases}$

a) (0,5 điểm) Tính giá trị của các số hạng $u_2$ và $u_3$ .
b) (0,5 điểm) Đặt $v_n = u_n - 2$ với mọi $n \ge 1$ . Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ là một cấp số nhân, từ đó suy ra công thức số hạng tổng quát $u_n$ theo $n$ .

Bài 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn: $\begin{cases} u_2 - u_3 + u_5 = 10 \\ u_1 + u_6 = 17 \end{cases}$ .
a) (0,5 điểm) Xác định số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng.
b) (0,5 điểm) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên $S_{20}$ .

Bài 3 (1,0 điểm). Bác An gửi số tiền tiết kiệm 200 triệu đồng vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với mức lãi suất cố định $6\%$ /năm. Hết mỗi kì hạn một năm, nếu bác An không rút tiền thì toàn bộ số tiền lãi sinh ra được cộng dồn vào vốn gốc để tính lãi cho kì hạn tiếp theo.
a) (0,5 điểm) Lập công thức tính tổng số tiền $T_n$ (đơn vị: triệu đồng) mà bác An nhận được (cả gốc lẫn lãi) sau $n$ năm gửi tiết kiệm.
b) (0,5 điểm) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì tổng số tiền bác An nhận được sẽ vượt quá 300 triệu đồng?

--------- HẾT ---------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Hướng dẫn chấm chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA CHƯƠNG II

Môn: Toán – Lớp 11 — Năm học 2026 – 2027

(Mã đề: 102)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Cán bộ chấm thi bám sát đáp án và thang điểm chi tiết để chấm bài.
- Học sinh làm theo cách khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa của ý/bài đó.
- Điểm toàn bài giữ nguyên số thập phân, không làm tròn.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	B	B	B	A	A	C	A	B	A	A	A

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)
Câu 1	a)	Đ	Câu 2	a)	Đ
	b)	S		b)	Đ
	c)	Đ		c)	Đ
	d)	Đ		d)	S

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	1	2	3	4
Đáp án	1727	4	90	7

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
Bài 1 (1,0 điểm)	a	Tính các số hạng $u_2$ và $u_3$ (0,5 điểm)	0,5
		Ta có: $u_2 = 3u_1 - 4 = 3 \cdot 3 - 4 = 5$ .	0,25
		$u_3 = 3u_2 - 4 = 3 \cdot 5 - 4 = 11$ .	0,25
	b	Chứng minh $(v_n)$ là cấp số nhân và tìm công thức $u_n$ (0,5 điểm)	0,5
		Ta có: $v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = (3u_n - 4) - 2 = 3u_n - 6 = 3(u_n - 2) = 3v_n$ với mọi $n \ge 1$ . Do đó, $(v_n)$ là một cấp số nhân có công bội $q = 3$ .	0,25
		Số hạng đầu: $v_1 = u_1 - 2 = 3 - 2 = 1$ . Số hạng tổng quát của $(v_n)$ là $v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ . Từ đó suy ra số hạng tổng quát của $(u_n)$ là: $u_n = v_n + 2 = 3^{n-1} + 2$ .	0,25
Bài 2 (1,0 điểm)	a	Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ (0,5 điểm)	0,5
		Gọi công sai của cấp số cộng là $d$ . Ta có: $\begin{cases} u_2 - u_3 + u_5 = 10 \\ u_1 + u_6 = 17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (u_1 + d) - (u_1 + 2d) + (u_1 + 4d) = 10 \\ u_1 + (u_1 + 5d) = 17 \end{cases}$	0,25
		$\Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 3d = 10 \\ 2u_1 + 5d = 17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = 1 \\ d = 3 \end{cases}$ . Vậy số hạng đầu là $u_1 = 1$ và công sai $d = 3$ .	0,25
	b	Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên $S_{20}$ (0,5 điểm)	0,5
		Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: $S_n = \dfrac{n}{2}\left[2u_1 + (n - 1)d\right]$ .	0,25
		Áp dụng với $n = 20$ , $u_1 = 1$ , $d = 3$ : $S_{20} = \dfrac{20}{2}\left[2 \cdot 1 + (20 - 1) \cdot 3\right] = 10 \cdot (2 + 57) = 10 \cdot 59 = 590$ .	0,25
Bài 3 (1,0 điểm)	a	Lập công thức tính tổng số tiền $T_n$ sau $n$ năm (0,5 điểm)	0,5
		Sau 1 năm, tổng số tiền cả gốc và lãi là: $T_1 = 200 \cdot (1 + 6\%) = 200 \cdot 1,06$ (triệu đồng). Sau 2 năm, tổng số tiền là: $T_2 = T_1 \cdot (1 + 6\%) = 200 \cdot (1,06)^2$ (triệu đồng).	0,25
		Cứ như vậy, sau $n$ năm gửi tiết kiệm theo hình thức lãi kép, tổng số tiền bác An nhận được lập thành cấp số nhân với công thức số hạng tổng quát: $T_n = 200 \cdot (1,06)^n$ (triệu đồng).	0,25
	b	Tìm số năm ít nhất để số tiền vượt quá 300 triệu đồng (0,5 điểm)	0,5
		Để số tiền nhận được vượt quá 300 triệu đồng, ta có bất phương trình: $200 \cdot (1,06)^n > 300 \Leftrightarrow (1,06)^n > 1,5$ .	0,25
		Ta có: Với $n = 6 \Rightarrow (1,06)^6 \approx 1,4185 < 1,5$ . Với $n = 7 \Rightarrow (1,06)^7 \approx 1,5036 > 1,5$ . Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên giá trị nguyên dương nhỏ nhất của $n$ là $n = 7$ . Vậy sau ít nhất 7 năm thì số tiền bác An nhận được sẽ vượt quá 300 triệu đồng.	0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo các cách giải khác (sử dụng lôgarit ở Bài 3b...) nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 11