ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I - TOÁN 11

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Đổi số đo của góc $\alpha = 150^\circ$ sang đơn vị radian ta được

Câu 2. Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 4. Công thức nào dưới đây biểu diễn đúng công thức nhân đôi?

Câu 5. Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là

Câu 6. Chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \sin 2x$ là

Câu 7. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\cos x - 2$ bằng

Câu 8. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

Câu 9. Tất cả các nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là

Câu 10. Nghiệm của phương trình $\cos x = 0$ là

Câu 11. Số nghiệm của phương trình $\tan x = \sqrt{3}$ thuộc đoạn $[0; 2\pi]$ là

Câu 12. Tất cả các nghiệm của phương trình $\cos\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$ là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng/sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.
a) $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$.
b) $\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$.
c) $\sin 2\alpha = -\dfrac{24}{25}$.
d) $\cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{-4 - 3\sqrt{3}}{10}$.

Câu 2. Cho hàm số $f(x) = 2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) + 1$.
a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D = \mathbb{R}$.
b) Hàm số $f(x)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$.
c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-1$.
d) Điểm $M\left(\dfrac{3\pi}{8}; 3\right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Câu 3. Cho phương trình lượng giác $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$.
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$.
b) Trong khoảng $(0; 2\pi)$, phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
c) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình thuộc đoạn $[0; 4\pi]$ bằng $12\pi$.
d) Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = -\dfrac{\pi}{3}$.

Câu 4. Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang. Vị trí li độ $x$ (cm) của con lắc theo thời gian $t$ (giây, $t \ge 0$) được xác định bởi công thức:

$$x(t) = 4\cos\left(2\pi t - \dfrac{\pi}{3}\right)$$

a) Tại thời điểm $t = 0$, con lắc đang ở vị trí có li độ $x = 2$ cm.
b) Biên độ dao động của con lắc là $4$ cm và chu kì dao động là $T = 1$ giây.
c) Trong khoảng thời gian từ $0$ đến $3$ giây đầu tiên, con lắc đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$) đúng 5 lần.
d) Thời điểm đầu tiên con lắc đạt li độ cực đại ($x = 4$ cm) là $t = \dfrac{1}{6}$ giây.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức $P = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 70^\circ + \sin^2 80^\circ$.

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = 5 - 3\cos\left(4x + \dfrac{\pi}{6}\right)$.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ bằng bao nhiêu?

Câu 4. Cho phương trình $2\cos 2x + 1 = 0$. Tính tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng $(0; \pi)$ theo đơn vị radian (lấy kết quả chia cho $\pi$).

Câu 5. Giả sử số giờ có ánh sáng mặt trời trong ngày thứ $t$ của một thành phố ở vĩ độ $40^\circ$ Bắc được mô hình hóa bởi hàm số:

$$L(t) = 12 + 2,8\sin\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 80)\right]$$

với $t \in \mathbb{Z}$ và $1 \le t \le 365$. Ngày nào trong năm (ứng với giá trị nào của $t$) thì thành phố có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Câu 6. Biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình $\sin 4x = 0$ trên đường tròn lượng giác ta được một đa giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị. Tính diện tích của đa giác đều đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN PHẦN I (12 câu – 3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

B. ĐÁP ÁN PHẦN II (4 câu – 4,0 điểm)

Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu hỏi được 1,0 điểm.

C. ĐÁP ÁN PHẦN III (6 câu – 3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

D. LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1. Ta có $\alpha = 150^\circ = 150 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$. Chọn A.

Câu 2. Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (thuộc góc phần tư thứ II) nên $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$. Chọn B.

Câu 3. Công thức đúng là $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, do đó khẳng định D sai. Chọn D.

Câu 4. Ta có công thức nhân đôi: $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$. Chọn A.

Câu 5. Hàm số $y = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi và chỉ khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Chọn A.

Câu 6. Hàm số $y = \sin(\omega x + \varphi)$ có chu kì $T = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$. Do đó chu kì của $y = \sin 2x$ là $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$. Chọn B.

Câu 7. Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $-1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow -3 \le 3\cos x \le 3 \Leftrightarrow -5 \le 3\cos x - 2 \le 1$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $1$ khi $\cos x = 1$. Chọn A.

Câu 8. Trong các hàm số lượng giác cơ bản, hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn, còn các hàm số $y = \sin x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ là hàm số lẻ. Chọn B.

Câu 9. Ta có $\sin x = \dfrac{1}{2} = \sin \dfrac{\pi}{6} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ x &= \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \end{aligned}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$). Chọn A.

Câu 10. Phương trình lượng giác cơ bản $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Chọn B.

Câu 11. $\tan x = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Do $x \in [0; 2\pi]$ nên $0 \le \dfrac{\pi}{3} + k\pi \le 2\pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{3} \le k \le \dfrac{5}{3}$.
Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{0; 1\}$, tương ứng có 2 nghiệm $x = \dfrac{\pi}{3}$ và $x = \dfrac{4\pi}{3}$. Chọn B.

Câu 12. $\cos\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 1 \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi}{3} = k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Chọn A.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1.
- a) Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0$. Do đó $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = -\dfrac{4}{5}$. Ý a) ĐÚNG.
- b) $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\dfrac{3}{4} \ne \dfrac{3}{4}$. Ý b) SAI.
- c) $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}$. Ý c) ĐÚNG.
- d) $\cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos \alpha \cos \dfrac{\pi}{3} - \sin \alpha \sin \dfrac{\pi}{3} = \left(-\dfrac{4}{5}\right) \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{-4 - 3\sqrt{3}}{10}$. Ý d) ĐÚNG.

Câu 2.
- a) Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$, do đó tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ý a) ĐÚNG.
- b) Chu kì của hàm số là $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi \ne 2\pi$. Ý b) SAI.
- c) Do $-1 \le \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) \le 1$ nên $-2 + 1 \le f(x) \le 2 + 1 \Leftrightarrow -1 \le f(x) \le 3$.
Vậy GTLN bằng 3 và GTNN bằng $-1$. Ý c) ĐÚNG.
- d) Thay $x = \dfrac{3\pi}{8}$ vào hàm số:

$$f\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = 2\sin\left(2 \cdot \dfrac{3\pi}{8} - \dfrac{\pi}{4}\right) + 1 = 2\sin\left(\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4}\right) + 1 = 2\sin\dfrac{\pi}{2} + 1 = 3$$

Do đó điểm $M\left(\dfrac{3\pi}{8}; 3\right)$ thuộc đồ thị hàm số. Ý d) ĐÚNG.

Câu 3.
- a) Thay $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ vào phương trình ta được:

$$(2\cos^2 x - 1) - 3\cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$$

Ý a) ĐÚNG.
- b) Giải phương trình bậc hai với ẩn $\cos x$:

$$2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \cos x &= 1 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned}\right.$$

Với $x \in (0; 2\pi)$:
+ $\cos x = 1$ không có nghiệm trong khoảng $(0; 2\pi)$ (chỉ có nghiệm $0$ và $2\pi$ là hai đầu mút).
+ $\cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3}$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{3}$.
Vậy trong khoảng $(0; 2\pi)$ có đúng 2 nghiệm. Ý b) ĐÚNG.
- c) Với $x \in [0; 4\pi]$:
+ $\cos x = 1 \Rightarrow x \in \{0; 2\pi; 4\pi\}$.
+ $\cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x \in \left\{\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{5\pi}{3}; \dfrac{7\pi}{3}; \dfrac{11\pi}{3}\right\}$.
Tổng các nghiệm là: $(0 + 2\pi + 4\pi) + \left(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{5\pi}{3} + \dfrac{7\pi}{3} + \dfrac{11\pi}{3}\right) = 6\pi + 8\pi = 14\pi \ne 12\pi$. Ý c) SAI.
- d) Nghiệm của phương trình gồm:
$x = k2\pi$ hoặc $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Các nghiệm âm là $-2\pi, -4\pi, \ldots$; $-\dfrac{\pi}{3}, -\dfrac{5\pi}{3}, \ldots$; $\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{3}, \ldots$
Nghiệm âm lớn nhất là $x = -\dfrac{\pi}{3}$. Ý d) ĐÚNG.

Câu 4.
- a) Tại $t = 0$: $x(0) = 4\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2$ cm. Ý a) ĐÚNG.
- b) Biên độ $A = 4$ cm; chu kì $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1$ giây. Ý b) ĐÚNG.
- c) Con lắc qua vị trí cân bằng khi $x(t) = 0$:

$$\cos\left(2\pi t - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0 \Leftrightarrow 2\pi t - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow 2\pi t = \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow t = \dfrac{5}{12} + \dfrac{k}{2}$$

Vì $0 \le t \le 3$ nên $0 \le \dfrac{5}{12} + \dfrac{k}{2} \le 3 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{6} \le k \le \dfrac{31}{6} \approx 5,17$.
Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$. Vậy có đúng 6 lần con lắc qua vị trí cân bằng. Ý c) SAI.
- d) Con lắc đạt li độ cực đại $x = 4$ cm khi:

$$\cos\left(2\pi t - \dfrac{\pi}{3}\right) = 1 \Leftrightarrow 2\pi t - \dfrac{\pi}{3} = k2\pi \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{6} + k$$

Với $t \ge 0$, thời điểm đầu tiên ứng với $k = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{6}$ giây. Ý d) ĐÚNG.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1.
Ta có $\sin 80^\circ = \cos 10^\circ$ và $\sin 70^\circ = \cos 20^\circ$.
Do đó:

$$P = (\sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ) + (\sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ) = 1 + 1 = 2$$

Đáp số: 2.

Câu 2.
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $-1 \le \cos\left(4x + \dfrac{\pi}{6}\right) \le 1$.
Suy ra $-3 \le -3\cos\left(4x + \dfrac{\pi}{6}\right) \le 3 \Leftrightarrow 2 \le y \le 8$.
Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được bằng 8 (khi $\cos\left(4x + \dfrac{\pi}{6}\right) = -1$).
Đáp số: 8.

Câu 3.

$$\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Vì $x \in [0; 2\pi]$:

$$0 \le \dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{2} \le 2\pi \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{1}{8} + \dfrac{k}{2} \le 2 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{15}{4} = 3,75$$

Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{0; 1; 2; 3\}$. Có tất cả 4 nghiệm.
Đáp số: 4.

Câu 4.

$$2\cos 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = -\dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{2\pi}{3} \Leftrightarrow 2x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Trong khoảng $(0; \pi)$:
- Với $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$, ta chọn $k = 0 \Rightarrow x_1 = \dfrac{\pi}{3}$.
- Với $x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi$, ta chọn $k = 1 \Rightarrow x_2 = \dfrac{2\pi}{3}$.
Tổng các nghiệm là $x_1 + x_2 = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi$.
Lấy kết quả chia cho $\pi$ ta được $\dfrac{\pi}{\pi} = 1$.
Đáp số: 1.

Câu 5.
Hàm số $L(t)$ đạt giá trị lớn nhất khi:

$$\sin\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 80)\right] = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2\pi}{365}(t - 80) = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t - 80 = \dfrac{365}{4} + 365k$$

Với $1 \le t \le 365$, ta chọn $k = 0$:

$$t = 80 + \dfrac{365}{4} = 80 + 91,25 = 171,25$$

Vì $t$ là số nguyên chỉ ngày trong năm nên $t = 171$ (ngày thứ 171 trong năm, xấp xỉ ngày hạ chí 20 hoặc 21 tháng 6).
Đáp số: 171.

Câu 6.
Phương trình $\sin 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = k\pi \Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi}{4}$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Trên đường tròn lượng giác (đơn vị bán kính $R = 1$), phương trình có 8 điểm biểu diễn phân biệt ứng với $k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$.
Các điểm này chia đường tròn thành 8 cung bằng nhau, tạo thành một bát giác đều (8 cạnh) nội tiếp đường tròn bán kính $R = 1$.
Bát giác đều được ghép từ 8 tam giác cân có hai cạnh bằng $R = 1$ và góc ở đỉnh bằng $\alpha = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4}$.
Diện tích của bát giác đều là:

$$S = 8 \cdot \left(\dfrac{1}{2} R^2 \sin \dfrac{\pi}{4}\right) = 4 \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2,8284$$

Làm tròn đến hàng phần mười được kết quả là $2,8$.
Đáp số: 2,8.