Đề kiểm tra chất lượng Học kỳ I - Môn Toán 11

LỚP TOÁN 11

GS: PHẠM NGỌC ANH

ĐẠI HỌC Y HÀ NỘI

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI CHƯƠNG I

Môn: TOÁN – LỚP 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \sin x$ .

B. $y = \tan x$ .

C. $y = \cos x$ .

D. $y = \cot x$ .

Câu 2. Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là

A. $\mathscr{D} = \mathbb{R}$ .

B. $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\}$ .

C. $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\}$ .

D. $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\}$ .

Câu 3. Cho $\cos a = -\dfrac{5}{13}$ với $a \in \left( \pi; \dfrac{3\pi}{2} \right)$ . Khi đó giá trị của $\sin a$ là

A. $-\dfrac{12}{13}$ .

B. $\dfrac{12}{13}$ .

C. $\dfrac{4}{13}$ .

D. $\dfrac{7}{13}$ .

Câu 4. Phương trình $\sin x = \sin \alpha$ có tập nghiệm là

A. $S = \{\alpha + k2\pi;\ \pi - \alpha + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$ .

B. $S = \{\alpha + k2\pi;\ -\alpha + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$ .

C. $S = \{\alpha + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$ .

D. $S = \{\alpha + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$ .

Câu 5. Cho góc hình học $\widehat{uOv}$ có số đo bằng $60^\circ$ như hình vẽ.

Số đo của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ là

A. $\text{sđ}(Ou, Ov) = 60^\circ + k\cdot 360^\circ,\ k \in \mathbb{Z}$ .

B. $\text{sđ}(Ou, Ov) = 60^\circ + k\cdot 180^\circ,\ k \in \mathbb{Z}$ .

C. $\text{sđ}(Ou, Ov) = -60^\circ + k\cdot 360^\circ,\ k \in \mathbb{Z}$ .

D. $\text{sđ}(Ou, Ov) = 60^\circ - k\cdot 180^\circ,\ k \in \mathbb{Z}$ .

Câu 6. Tập giá trị của hàm số $y = \sqrt{2}\sin x$ là

A. $[-1; 1]$ .

B. $\{-\sqrt{2};\ \sqrt{2}\}$ .

C. $[-\sqrt{2};\ \sqrt{2}]$ .

D. $[0;\ \sqrt{2}]$ .

Câu 7. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về "đường tròn lượng giác"?

A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.

B. Mỗi đường tròn có bán kính $R = 1$ là một đường tròn lượng giác.

C. Mỗi đường tròn có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

Câu 8. Cho góc lượng giác $x$ . Đẳng thức nào dưới đây sai?

A. $\sin(\pi - x) = \sin x$ .

B. $\tan(\pi + x) = \tan x$ .

C. $\cos\left( \dfrac{\pi}{2} - x \right) = \sin x$ .

D. $\cos(-x) = -\cos x$ .

Câu 9. Nghiệm của phương trình $\cos x = 1$ là

A. $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi,\ (k \in \mathbb{Z})$ .

B. $x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi,\ (k \in \mathbb{Z})$ .

C. $x = k2\pi,\ (k \in \mathbb{Z})$ .

D. $x = \pi + k2\pi,\ (k \in \mathbb{Z})$ .

Câu 10. Cho đồ thị hàm số $y = \sin x$ như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2} \right)$ .

B. Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên khoảng $\left( -\dfrac{3\pi}{2}; -\pi \right)$ .

C. Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right)$ .

D. Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi}{2}; 0 \right)$ .

Câu 11. Số đo theo đơn vị radian của góc $315^\circ$ là

A. $\dfrac{7\pi}{2}$ .

B. $\dfrac{7\pi}{4}$ .

C. $\dfrac{5\pi}{4}$ .

D. $\dfrac{5\pi}{2}$ .

Câu 12. Các đẳng thức nào sau đây có thể đồng thời xảy ra?

A. $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{3};\ \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ .

B. $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{5};\ \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$ .

C. $\sin \alpha = \dfrac{4}{5};\ \cos \alpha = -\dfrac{3}{5}$ .

D. $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{4};\ \cos \alpha = \dfrac{1}{4}$ .

PHẦN 2. Câu trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\tan \alpha = 3$ .

a) $\cot \alpha = \dfrac{1}{3}$ .
b) $\tan(\alpha + 3\pi) = 3 + 3\pi$ .
c) $\tan(-\alpha) = -3$ .
d) $\cot 2\alpha = -\dfrac{4}{3}$ .

Câu 2. Đồ thị của một hàm số $y = f(x)$ được biểu diễn như hình vẽ bên dưới:

a) Đồ thị hàm số này là của hàm số $y = \tan x$ .
b) Hàm số là hàm số lẻ.
c) Tất cả các nghiệm của phương trình $y = 0$ có thể được biểu diễn là $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$ .
d) Số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ trên đoạn $[-2\pi; 2\pi]$ là $6$ với mọi số thực $m$ .

PHẦN 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1. Cho góc lượng giác $x \in \left( \dfrac{\pi}{2}; \pi \right)$ và có $\sin x = \dfrac{1}{3}$ . Tính giá trị biểu thức $A = \cos\left( \dfrac{\pi}{4} + x \right)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 2. Một đường tròn có bán kính $30$ m. Độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là $\dfrac{2\pi}{7}$ bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Câu 3. Một cái cổng vào một trung tâm thương mại có hình dạng là một phần của đồ thị hàm số $y = 2\cos\left( \dfrac{x}{2} \right) + 2$ (tham khảo hình vẽ bên). Gọi $A$ , $B$ là hai điểm nằm trên cổng và $C$ , $D$ là hai điểm nằm trên mặt nền của cổng sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Người quản lí trung tâm thương mại muốn lắp một cái cửa kính tự động vào vị trí của hình chữ nhật $ABCD$ . Biết chiều cao của cửa kính là $AD = 3$ mét, hãy tính diện tích của cái cửa kính cần lắp (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 4. Hằng ngày, mặt trời chiếu sáng làm bóng của một toà chung cư cao $80$ m trải dài trên mặt đất. Độ dài bóng của toà nhà này được tính bởi công thức

$S(t) = 80\left| \cot \left( \dfrac{\pi}{12}t \right) \right|$

trong đó $S$ được tính bằng mét, còn $t$ là số giờ tính từ $5$ giờ sáng. Hãy cho biết độ dài của bóng toà nhà vào lúc $15$ giờ $30$ phút ( $3$ rưỡi chiều) là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

PHẦN 4. Tự luận

Câu 1. Giải phương trình lượng giác sau:

$\cos(2x + 20^\circ) = \sin(50^\circ - x)$

Câu 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $f(x) = x\sin 3x$ .

Câu 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác:

$\tan^2 x - \sin^2 x = \tan^2 x \cdot \sin^2 x$

Câu 4. Hình vẽ dưới đây mô tả hai bánh răng của một động cơ, chúng có cùng kích thước. Khi động cơ hoạt động, hai bánh răng quay đều cùng chiều. Biết tốc độ quay của bánh răng ở hình 2 gấp đôi tốc độ quay của bánh răng ở hình 1 và phương trình biểu thị độ cao của điểm $A$ ở bánh răng thứ nhất là $h = 2R + R\sin\left( \dfrac{\pi}{5}t \right)$ (trong đó $R$ là bán kính bánh răng, $t$ là thời gian tính bằng giây, $h$ là độ cao của điểm $A$ ).

Giả sử tại thời điểm bắt đầu khởi động, hai điểm $A$ và $B$ có độ cao bằng nhau. Sau bao nhiêu giây kể từ thời điểm đầu tiên sau khi động cơ hoạt động thì hai điểm $A$ và $B$ lại có độ cao bằng nhau? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

PHẦN 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

PHẦN 2. Câu trắc nghiệm đúng sai

PHẦN 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

PHẦN 4. Tự luận

Đề cùng môn Toán, lớp 11