Đề kiểm tra 15 phút Toán 8 - Chương 1: Đa thức (Mức độ nâng cao)

Câu 1 (3,5 điểm). Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $x + y + z = 2$ và $xy + yz + zx = 1$. Không tìm giá trị cụ thể của $x, y, z$, hãy tính giá trị của biểu thức đa thức nhiều biến sau:

$$A = (x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1) - (xy + yz + zx - xyz)^2$$

Câu 2 (3,5 điểm). Cho đa thức hai biến $P(x, y) = (x + y)^5 - x^5 - y^5$. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức $Q(x, y)$ có các hệ số đều là số nguyên sao cho:

$$P(x, y) = 5xy(x + y) \cdot Q(x, y)$$

Xác định rõ đa thức $Q(x, y)$ dưới dạng thu gọn và tính giá trị của $Q(x, y)$ khi $x - y = 3$ và $xy = -2$.

Câu 3 (3,0 điểm). Cho đa thức $f(x) = a x^2 y^2 + b x y (x - y) + c (x^2 + y^2)$ với $a, b, c$ là các hằng số nguyên dương và hai biến $x, y$ nhận giá trị nguyên. Biết rằng khi $x = 3, y = 2$ thì $f(3, 2) - f(2, 3) = 2028$. Chứng minh rằng với cặp giá trị $x = 5, y = 1$ thì hiệu $M = f(5, 1) - f(1, 5)$ là một hợp số và chia hết cho $845$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................