Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 — Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1

a

Kiểm tra các điểm $M(1; 2)$ và $N(-2; 1)$ có là nghiệm không (3,0 điểm)

3,0

Thay toạ độ điểm $M(1; 2)$ vào vế trái của bất phương trình:
$2 \cdot 1 - 2 + 2 = 2 \ge 0$ (thoả mãn).
Vậy điểm $M(1; 2)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

1,5

Thay toạ độ điểm $N(-2; 1)$ vào vế trái của bất phương trình:
$2 \cdot (-2) - 1 + 2 = -3 < 0$ (không thoả mãn).
Vậy điểm $N(-2; 1)$ không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

1,5

b

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng toạ độ (6,0 điểm)

6,0

Vẽ đường thẳng $d: 2x - y + 2 = 0$.
Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(-1; 0)$ và $(0; 2)$.

2,0

Chọn điểm $O(0; 0) \notin d$. Ta có $2 \cdot 0 - 0 + 2 = 2 > 0$.
Do đó, toạ độ điểm $O(0; 0)$ thoả mãn bất phương trình đã cho.

1,0

[Đồ thị]

2,0

Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$ chứa gốc toạ độ $O(0; 0)$ (kể cả bờ $d$).

1,0

2

Tìm giá trị nhỏ nhất của $S = 2a - b$ (1,0 điểm)

1,0

Do miền nghiệm của bất phương trình là một nửa mặt phẳng kể cả bờ (tập lồi), nên mọi điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ đều là nghiệm khi và chỉ khi cả hai đầu mút $A$ và $B$ đều là nghiệm của bất phương trình.

0,25

Điểm $A(a; 1)$ là nghiệm $\Leftrightarrow 2a - 1 + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 2a \ge -1$.

0,25

Điểm $B(1; b)$ là nghiệm $\Leftrightarrow 2 \cdot 1 - b + 2 \ge 0 \Leftrightarrow b \le 4 \Leftrightarrow -b \ge -4$.

0,25

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được:
$S = 2a - b \ge -1 + (-4) = -5$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a = -\dfrac{1}{2}$ và $b = 4$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là $-5$.

0,25