Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 - Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$. Giá trị của số hạng $u_3$ bằng

Câu 2 (0,25 điểm). Dãy số nào sau đây là một dãy số tăng?

Câu 3 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = -2$. Số hạng thứ 5 của cấp số cộng đó là

Câu 4 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -2$ và công bội $q = 3$. Giá trị của số hạng $u_4$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2 = 7$ và $u_5 = 19$. Công sai $d$ của cấp số cộng đó bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công bội $q = 2$. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 3$ và $u_{n+1} = 2u_n + 1$ với mọi $n \ge 1$. Số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số là

Câu 8 (0,25 điểm). Giữa hai số $4$ và $64$, người ta xen vào ba số thực dương $x, y, z$ để được một cấp số nhân có 5 số hạng. Giá trị của $y$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thoả mãn $u_1 + u_5 + u_{15} + u_{26} + u_{36} + u_{40} = 105$. Tổng $40$ số hạng đầu tiên $S_{40} = u_1 + u_2 + \dots + u_{40}$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Một công ty xây dựng một tháp truyền hình gồm nhiều tầng, tầng dưới cùng có diện tích sàn là $1000\text{ m}^2$, mỗi tầng tiếp theo có diện tích sàn giảm đi $40\text{ m}^2$ so với tầng ngay dưới nó. Biết tầng trên cùng có diện tích sàn là $120\text{ m}^2$. Số tầng của tháp truyền hình đó là

Câu 11 (0,25 điểm). Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1 = 1$ và $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ với mọi $n \ge 1$. Giá trị của số hạng thứ 20 bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ bằng $4$ và tổng ba số hạng đầu tiên của nó bằng $\dfrac{7}{2}$. Công bội $q$ của cấp số nhân đó bằng

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}$.
a) Số hạng đầu tiên của dãy số là $u_1 = \dfrac{2}{3}$.
b) Hiệu $u_{n+1} - u_n = \dfrac{7}{(n+3)(n+2)} > 0$ với mọi $n \ge 1$.
c) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số giảm và bị chặn dưới bởi $\dfrac{2}{3}$.
d) Có đúng 15 số hạng của dãy số có giá trị là một số nguyên.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thoả mãn hệ phương trình:

$$\begin{cases} u_2 - u_3 + u_5 = 10 \\ u_4 + u_6 = 26 \end{cases}$$

a) Cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = 1$ và công sai $d = 3$.
b) Số hạng thứ 20 của cấp số cộng là $u_{20} = 60$.
c) Số $2024$ là một số hạng của cấp số cộng $(u_n)$.
d) Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng $247$ khi $n = 13$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho cấp số nhân tăng $(u_n)$ có các số hạng đều dương thoả mãn:

$$\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 14 \\ u_1 \cdot u_2 \cdot u_3 = 64 \end{cases}$$

a) Số hạng thứ hai của cấp số nhân là $u_2 = 4$.
b) Công bội của cấp số nhân là $q = 2$.
c) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n = 2^{n-1}$.
d) Giá trị nhỏ nhất của số tự nhiên $n$ để tổng $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n > 1000$ là $n = 9$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình vuông ban đầu $C_1$ có cạnh bằng $4\text{ cm}$. Người ta chia hình vuông $C_1$ thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau và tô màu hình vuông ở góc trên bên phải. Với 3 hình vuông không tô màu còn lại, người ta tiếp tục chia mỗi hình thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau và tô màu hình vuông ở góc trên bên phải của mỗi hình đó (bước 2). Quá trình cứ tiếp diễn như vậy đến bước thứ $n$. Gọi $s_n$ là diện tích phần mới được tô màu ở bước thứ $n$, và $S_n = s_1 + s_2 + \dots + s_n$ là tổng diện tích phần đã được tô màu sau $n$ bước.
a) Diện tích phần được tô màu ở bước thứ nhất là $s_1 = 4\text{ cm}^2$.
b) Dãy số $(s_n)$ là một cấp số nhân với công bội $q = \dfrac{3}{4}$.
c) Diện tích phần tô màu mới ở bước thứ 4 là $s_4 = \dfrac{27}{16}\text{ cm}^2$.
d) Tổng diện tích phần đã được tô màu sau $n$ bước luôn không vượt quá $12\text{ cm}^2$ với mọi số nguyên dương $n$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Một rạp chiếu phim có 20 hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có 15 ghế, mỗi hàng ghế tiếp theo có nhiều hơn hàng ghế ngay trước nó 2 ghế. Hỏi rạp chiếu phim đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Câu 2 (0,5 điểm). Một quả bóng cao su được thả rơi tự do từ độ cao $16\text{ m}$ xuống mặt đất. Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng $\dfrac{1}{2}$ độ cao của lần rơi ngay trước đó. Quá trình nảy tiếp diễn vô hạn lần cho đến khi dừng hẳn. Tính tổng quãng đường (theo đơn vị mét) mà quả bóng đã di chuyển kể từ lúc thả đến khi dừng hẳn.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 157$ và công sai $d = -6$. Tìm số hạng dương nhỏ nhất của cấp số cộng đó.

Câu 4 (0,5 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{n+1} = 2u_n + 3$ với mọi $n \ge 1$. Tìm giá trị của số hạng $u_7$.

Câu 5 (0,5 điểm). Cho ba số thực dương $a, b, c$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội $q > 1$. Biết rằng ba số $a, \dfrac{5}{4}b, c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm giá trị của công bội $q$.

Câu 6 (0,5 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{n(n+1)}$ với mọi $n \ge 1$. Tìm giá trị của số hạng $u_{100}$ (viết kết quả dưới dạng số thập phân).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Quy tắc tính điểm theo định dạng Bộ GD&ĐT:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu hỏi được 1,0 điểm.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1. Thay $n = 3$ vào công thức tổng quát:
$u_3 = \dfrac{2 \cdot 3 - 1}{3 + 1} = \dfrac{5}{4}$.
Chọn A.

Câu 2.
- Dãy $u_n = 2n + 3$ có $u_{n+1} - u_n = [2(n+1) + 3] - (2n + 3) = 2 > 0$ với mọi $n \ge 1$ nên là dãy số tăng.
- Dãy $\dfrac{1}{n}$ và $\dfrac{n+2}{n+1} = 1 + \dfrac{1}{n+1}$ là các dãy giảm.
- Dãy $(-1)^n \cdot n$ là dãy đan dấu, không tăng không giảm.
Chọn C.

Câu 3. Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:
$u_5 = u_1 + (5 - 1)d = 3 + 4(-2) = -5$.
Chọn C.

Câu 4. Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân:
$u_4 = u_1 \cdot q^3 = -2 \cdot 3^3 = -2 \cdot 27 = -54$.
Chọn B.

Câu 5. Ta có:
$u_5 - u_2 = (u_1 + 4d) - (u_1 + d) = 3d$.
$\Rightarrow 3d = 19 - 7 = 12 \Rightarrow d = 4$.
Chọn D.

Câu 6. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
$S_{10} = u_1 \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q} = 2 \cdot \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 2 \cdot (1024 - 1) = 2046$.
Chọn B.

Câu 7. Ta có:
$u_{n+1} + 1 = 2u_n + 2 = 2(u_n + 1)$.
Đặt $v_n = u_n + 1$, ta có $v_1 = u_1 + 1 = 4$ và $v_{n+1} = 2v_n$.
Do đó $(v_n)$ là cấp số nhân với $v_1 = 4$ và công bội $q = 2$.
Suy ra $v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$.
Vậy $u_n = v_n - 1 = 2^{n+1} - 1$.
Chọn A.

Câu 8. Cấp số nhân có 5 số hạng: $u_1 = 4, u_2 = x, u_3 = y, u_4 = z, u_5 = 64$.
Theo công thức cấp số nhân:
$u_5 = u_1 \cdot q^4 \Rightarrow 64 = 4 \cdot q^4 \Rightarrow q^4 = 16 \Rightarrow q^2 = 4$ (vì các số hạng dương nên $q > 0 \Rightarrow q = 2$).
Số hạng thứ ba là $y = u_3 = u_1 \cdot q^2 = 4 \cdot 4 = 16$.
Chọn D.

Câu 9. Theo tính chất của cấp số cộng:
$u_1 + u_{40} = u_5 + u_{36} = u_{15} + u_{26}$.
Do đó:
$(u_1 + u_{40}) + (u_5 + u_{36}) + (u_{15} + u_{26}) = 3(u_1 + u_{40}) = 105 \Rightarrow u_1 + u_{40} = 35$.
Tổng 40 số hạng đầu tiên là:
$S_{40} = \dfrac{40(u_1 + u_{40})}{2} = 20 \cdot 35 = 700$.
Chọn B.

Câu 10. Diện tích sàn của các tầng lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 1000$, công sai $d = -40$.
Tầng trên cùng có diện tích $u_n = 120$.
Ta có: $u_n = u_1 + (n - 1)d \Leftrightarrow 120 = 1000 - 40(n - 1) \Leftrightarrow 40(n - 1) = 880 \Leftrightarrow n - 1 = 22 \Leftrightarrow n = 23$.
Vậy tháp có 23 tầng.
Chọn C.

Câu 11. Từ giả thiết:
$a_{k+1} - a_k = 2k + 1$.
Cộng từng vế các đẳng thức với $k$ chạy từ $1$ đến $n - 1$:
$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2 \cdot \dfrac{(n - 1)n}{2} + (n - 1) = n^2 - n + n - 1 = n^2 - 1$.
$\Rightarrow a_n = a_1 + n^2 - 1 = 1 + n^2 - 1 = n^2$.
Với $n = 20 \Rightarrow a_{20} = 20^2 = 400$.
Chọn A.

Câu 12. Cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $|q| < 1$.
Tổng lùi vô hạn: $S = \dfrac{u_1}{1 - q} = 4 \Rightarrow u_1 = 4(1 - q)$.
Tổng ba số hạng đầu tiên:
$S_3 = u_1(1 + q + q^2) = 4(1 - q)(1 + q + q^2) = 4(1 - q^3) = \dfrac{7}{2}$.
$\Rightarrow 1 - q^3 = \dfrac{7}{8} \Rightarrow q^3 = \dfrac{1}{8} \Rightarrow q = \dfrac{1}{2}$.
Chọn D.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1.
Cho dãy số $u_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}$.
- a) Đúng: Với $n = 1 \Rightarrow u_1 = \dfrac{3(1) - 1}{1 + 2} = \dfrac{2}{3}$.
- b) Đúng: Xét hiệu:
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{3(n+1) - 1}{(n+1) + 2} - \dfrac{3n - 1}{n + 2} = \dfrac{3n + 2}{n + 3} - \dfrac{3n - 1}{n + 2} = \dfrac{(3n + 2)(n + 2) - (3n - 1)(n + 3)}{(n + 3)(n + 2)} = \dfrac{7}{(n + 3)(n + 2)} > 0, \forall n \ge 1$.
- c) Sai: Vì $u_{n+1} - u_n > 0$ nên dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng, không phải dãy giảm.
- d) Sai: Ta có $u_n = \dfrac{3(n + 2) - 7}{n + 2} = 3 - \dfrac{7}{n + 2}$.
Để $u_n \in \mathbb{Z}$ thì $(n + 2)$ phải là ước của 7.
Vì $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow n + 2 \ge 3$, mà các ước nguyên của 7 lớn hơn hoặc bằng 3 chỉ có duy nhất số 7.
Suy ra $n + 2 = 7 \Leftrightarrow n = 5$.
Do đó chỉ có duy nhất 1 số hạng của dãy có giá trị nguyên ($u_5 = 2$), khẳng định có đúng 15 số hạng là sai.

Câu 2.
Ta biểu diễn các số hạng qua $u_1$ và $d$:
$\begin{cases} (u_1 + d) - (u_1 + 2d) + (u_1 + 4d) = 10 \\ (u_1 + 3d) + (u_1 + 5d) = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 3d = 10 \\ 2u_1 + 8d = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 3d = 10 \\ u_1 + 4d = 13 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d = 3 \\ u_1 = 1 \end{cases}$.
- a) Đúng: Cấp số cộng có $u_1 = 1, d = 3$.
- b) Sai: $u_{20} = u_1 + 19d = 1 + 19 \cdot 3 = 58 \ne 60$.
- c) Sai: Giả sử $u_n = 2024 \Leftrightarrow 1 + (n - 1) \cdot 3 = 2024 \Leftrightarrow 3(n - 1) = 2023 \Leftrightarrow n - 1 = \dfrac{2023}{3}$ (không nguyên vì $2 + 0 + 2 + 3 = 7$ không chia hết cho 3). Vậy 2024 không thuộc cấp số cộng.
- d) Đúng: Tổng $n$ số hạng đầu:
$S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2} = \dfrac{n[2 + 3(n - 1)]}{2} = \dfrac{n(3n - 1)}{2}$.
Với $n = 13 \Rightarrow S_{13} = \dfrac{13(3 \cdot 13 - 1)}{2} = \dfrac{13 \cdot 38}{2} = 247$.

Câu 3.
Vì $u_1, u_2, u_3$ lập thành cấp số nhân nên $u_1 \cdot u_3 = u_2^2$.
Suy ra $u_1 \cdot u_2 \cdot u_3 = u_2^3 = 64 \Rightarrow u_2 = 4$.
Khi đó: $\begin{cases} u_1 + u_3 = 14 - 4 = 10 \\ u_1 \cdot u_3 = 4^2 = 16 \end{cases}$.
Theo định lý Viète đảo, $u_1, u_3$ là hai nghiệm của phương trình $t^2 - 10t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ hoặc $t = 8$.
Vì cấp số nhân tăng nên $u_1 < u_2 < u_3 \Rightarrow u_1 = 2, u_3 = 8$.
Công bội $q = \dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{4}{2} = 2$.
- a) Đúng: $u_2 = 4$.
- b) Đúng: $q = 2$.
- c) Sai: Số hạng tổng quát $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \ne 2^{n-1}$.
- d) Đúng: Ta có $S_n = u_1 \dfrac{q^n - 1}{q - 1} = 2 \cdot \dfrac{2^n - 1}{2 - 1} = 2(2^n - 1)$.
Để $S_n > 1000 \Leftrightarrow 2(2^n - 1) > 1000 \Leftrightarrow 2^n - 1 > 500 \Leftrightarrow 2^n > 501$.
Vì $2^8 = 256 < 501$ và $2^9 = 512 > 501$ nên giá trị tự nhiên nhỏ nhất của $n$ là $n = 9$.

Câu 4.
- Bước 1: Hình vuông ban đầu có diện tích $S_0 = 4^2 = 16\text{ cm}^2$. Chia làm 4 phần, diện tích phần tô màu là $s_1 = \dfrac{16}{4} = 4\text{ cm}^2$.
- Bước 2: Còn lại 3 hình vuông không tô màu, mỗi hình có diện tích $4\text{ cm}^2$. Mỗi hình lại chia thành 4 ô vuông nhỏ diện tích $1\text{ cm}^2$ và tô 1 ô. Do đó diện tích tô mới là $s_2 = 3 \times 1 = 3\text{ cm}^2$.
- Bước $n$: Số hình vuông được chia và tô màu ở bước sau gấp 3 lần bước trước, nhưng diện tích mỗi hình vuông nhỏ chỉ bằng $\dfrac{1}{4}$ diện tích ở bước trước. Do đó:
$s_n = s_1 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1} = 4 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}$.
- a) Đúng: $s_1 = 4\text{ cm}^2$.
- b) Đúng: Dãy $(s_n)$ là cấp số nhân với $s_1 = 4$ và công bội $q = \dfrac{3}{4}$.
- c) Đúng: $s_4 = 4 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = 4 \cdot \dfrac{27}{64} = \dfrac{27}{16}\text{ cm}^2$.
- d) Sai: Tổng diện tích tô màu sau $n$ bước là:
$S_n = s_1 \dfrac{1 - q^n}{1 - q} = 4 \cdot \dfrac{1 - (3/4)^n}{1 - 3/4} = 16\left[1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^n\right]\text{ cm}^2$.
Khi $n \to +\infty$ thì $S_n \to 16\text{ cm}^2$. Cụ thể sau $n = 5$ bước:
$S_5 = 16\left[1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^5\right] = 16\left(1 - \dfrac{243}{1024}\right) = \dfrac{781}{64} \approx 12,2\text{ cm}^2 > 12\text{ cm}^2$.
Do đó khẳng định luôn không vượt quá $12\text{ cm}^2$ là sai.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1.
Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1 = 15$ và công sai $d = 2$.
Tổng số ghế trong rạp chính là tổng của 20 số hạng đầu tiên:
$S_{20} = \dfrac{20 \cdot [2u_1 + (20 - 1)d]}{2} = 10 \cdot [2 \cdot 15 + 19 \cdot 2] = 10 \cdot (30 + 38) = 680$.
Đáp số: 680.

Câu 2.
- Quãng đường rơi lần đầu: $h_0 = 16\text{ m}$.
- Quãng đường nảy lên và rơi xuống ở lần nảy thứ nhất: $2 \cdot \left(16 \cdot \dfrac{1}{2}\right) = 2 \cdot 8 = 16\text{ m}$.
- Quãng đường nảy lên và rơi xuống ở lần nảy thứ hai: $2 \cdot \left(8 \cdot \dfrac{1}{2}\right) = 2 \cdot 4 = 8\text{ m}$.
- Tổng quát, từ lần nảy thứ nhất trở đi, tổng quãng đường bóng di chuyển là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $a_1 = 2 \cdot 8 = 16$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$.
Tổng quãng đường quả bóng di chuyển từ lúc thả đến khi dừng hẳn là:
$S = 16 + \dfrac{a_1}{1 - q} = 16 + \dfrac{16}{1 - \frac{1}{2}} = 16 + 32 = 48\text{ m}$.
Đáp số: 48.

Câu 3.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng:
$u_n = u_1 + (n - 1)d = 157 - 6(n - 1) = 163 - 6n$.
Để $u_n > 0 \Leftrightarrow 163 - 6n > 0 \Leftrightarrow n < \dfrac{163}{6} \approx 27,16$.
Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên số hạng dương nhỏ nhất ứng với chỉ số lớn nhất $n = 27$.
Giá trị của số hạng đó là:
$u_{27} = 163 - 6 \cdot 27 = 163 - 162 = 1$.
Đáp số: 1.

Câu 4.
Ta có: $u_{n+1} + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3)$.
Đặt $v_n = u_n + 3 \Rightarrow v_1 = u_1 + 3 = 4$.
Dãy $(v_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $v_1 = 4$ và công bội $q = 2$.
Suy ra $v_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$.
Do đó $u_n = 2^{n+1} - 3$.
Với $n = 7 \Rightarrow u_7 = 2^{7+1} - 3 = 2^8 - 3 = 256 - 3 = 253$.
Đáp số: 253.

Câu 5.
Vì $a, b, c$ là cấp số nhân có công bội $q > 1$ nên $b = aq, c = aq^2$ ($a > 0$).
Do $a, \dfrac{5}{4}b, c$ lập thành cấp số cộng nên:
$a + c = 2 \cdot \left(\dfrac{5}{4}b\right) \Leftrightarrow a + c = \dfrac{5}{2}b$.
Thay $b, c$ theo $a$ và $q$:
$a + aq^2 = \dfrac{5}{2}aq$.
Vì $a > 0$, chia cả hai vế cho $a$:
$1 + q^2 = \dfrac{5}{2}q \Leftrightarrow 2q^2 - 5q + 2 = 0 \Leftrightarrow (2q - 1)(q - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = \dfrac{1}{2} \\ q = 2 \end{array}\right.$.
Do giả thiết $q > 1$ nên ta chọn $q = 2$.
Đáp số: 2.

Câu 6.
Nhận xét với mọi $k \ge 1$:
$u_{k+1} - u_k = \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$.
Cộng từng vế với $k$ chạy từ $1$ đến $n - 1$:
$u_n - u_1 = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}\right) = 1 - \dfrac{1}{n}$.
$\Rightarrow u_n = u_1 + 1 - \dfrac{1}{n} = 1 + 1 - \dfrac{1}{n} = 2 - \dfrac{1}{n}$.
Với $n = 100$:
$u_{100} = 2 - \dfrac{1}{100} = 2 - 0,01 = 1,99$.
Đáp số: 1,99.