Đề Khảo Sát Năng Lực Đầu Vào Toán VTMO Khối 7

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (70,0 điểm)

Thí sinh chọn duy nhất một phương án đúng trong mỗi câu hỏi từ Câu 1 đến Câu 20. Mỗi câu trả lời đúng được 3,5 điểm.

Câu 1 (3,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức:

$$A = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right)\left(1 - \dfrac{1}{3}\right)\left(1 - \dfrac{1}{4}\right)\cdots\left(1 - \dfrac{1}{2025}\right)$$

Câu 2 (3,5 điểm). Cho góc nhọn $\widehat{xOy}$. Trên tia $Ox$ lấy 4 điểm phân biệt $A_1, A_2, A_3, A_4$ (khác $O$), trên tia $Oy$ lấy 5 điểm phân biệt $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ (khác $O$). Nối tất cả các điểm đã cho với nhau (như hình vẽ bên dưới). Hỏi có tất cả bao nhiêu hình tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 10 điểm $O, A_1, A_2, A_3, A_4, B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$?

[Hình vẽ]

Câu 3 (3,5 điểm). Chữ số tận cùng của số tự nhiên $S = 2^{2024} + 3^{2025}$ là:

Câu 4 (3,5 điểm). Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng $60\text{ m}$. Nếu tăng chiều rộng thêm $3\text{ m}$ và giảm chiều dài đi $3\text{ m}$ thì diện tích mảnh đất tăng thêm $15\text{ m}^2$. Diện tích mảnh đất ban đầu là:

Câu 5 (3,5 điểm). Cho sơ đồ gồm 5 vòng tròn được nối với nhau tạo thành hình chữ thập như hình dưới đây. Người ta điền 5 số tự nhiên $1, 2, 3, 4, 5$ vào 5 vòng tròn sao cho mỗi số chỉ xuất hiện một lần và tổng ba số ở hàng ngang bằng tổng ba số ở hàng dọc. Số được điền ở vòng tròn trung tâm không thể là số nào sau đây?

[Hình vẽ]

Câu 6 (3,5 điểm). Cho ba số nguyên $a, b, c$ thoả mãn: $a \cdot b = -12$, $b \cdot c = 20$ và $a \cdot c = -15$. Biết $b < 0$, giá trị của tổng $a + b + c$ là:

Câu 7 (3,5 điểm). Ba vòi nước cùng chảy vào một bể cạn. Nếu vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ hai chảy một mình thì sau 8 giờ đầy bể. Nếu cả ba vòi cùng mở một lúc thì sau 2 giờ đầy bể. Hỏi nếu chỉ mở vòi thứ ba thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Câu 8 (3,5 điểm). Một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước $16\text{ cm} \times 12\text{ cm}$. Người ta cắt bỏ ở 4 góc 4 hình vuông bằng nhau có cạnh bằng $3\text{ cm}$, sau đó gập các mép lên để được một chiếc hộp hình hộp chữ nhật không có nắp (như hình minh họa). Diện tích xung quanh của chiếc hộp đó là:

[Hình vẽ]

Câu 9 (3,5 điểm). Có bao nhiêu số nguyên tố $p$ sao cho $p + 10$ và $p + 14$ cũng đều là các số nguyên tố?

Câu 10 (3,5 điểm). Hai người cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $18\text{ km}$, đi ngược chiều nhau để gặp nhau. Vận tốc của người thứ nhất là $4\text{ km/h}$, vận tốc của người thứ hai là $5\text{ km/h}$. Cùng lúc đó, một chú chó cưng bắt đầu chạy từ vị trí của người thứ nhất về phía người thứ hai với vận tốc $11\text{ km/h}$. Khi gặp người thứ hai, chú chó lập tức quay đầu chạy về phía người thứ nhất, và cứ chạy đi chạy lại như vậy cho đến khi hai người gặp nhau thì dừng lại. Quãng đường chú chó đã chạy được là:

Câu 11 (3,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $60\text{ cm}^2$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $BD = 2CD$. Lấy điểm $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$. Diện tích tam giác $ABE$ là:

[Hình vẽ]

Câu 12 (3,5 điểm). Trong một chiếc hộp kín có 15 viên bi đỏ, 12 viên bi xanh, 9 viên bi vàng và 5 viên bi trắng có kích thước giống nhau. Cần lấy ra ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu viên bi mà không nhìn vào hộp để chắc chắn rằng trong số các viên bi lấy ra có ít nhất 10 viên bi cùng màu?

Câu 13 (3,5 điểm). Giá trị của biểu thức $M = \dfrac{1}{1 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 5} + \dfrac{1}{5 \times 7} + \cdots + \dfrac{1}{99 \times 101}$ bằng:

Câu 14 (3,5 điểm). Một tờ giấy hình vuông cạnh $8\text{ cm}$ được gấp đôi theo đường chéo tạo thành tam giác vuông cân, sau đó gấp đôi tiếp theo đường cao hạ từ đỉnh góc vuông. Người ta dùng kéo cắt bỏ một tam giác vuông ở đỉnh góc vuông của tam giác nhận được, có hai cạnh góc vuông dài $2\text{ cm}$. Hỏi diện tích phần giấy còn lại sau khi mở hoàn toàn tờ giấy ra là bao nhiêu?

Câu 15 (3,5 điểm). Tìm số tự nhiên có 3 chữ số nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 thì dư 2, chia cho 5 thì dư 3 và chia cho 7 thì dư 4.

Câu 16 (3,5 điểm). Người ta dùng các que diêm có độ dài bằng nhau để xếp thành một dãy các hình lục giác đều dính liền nhau (hình vẽ). Hình thứ nhất cần 6 que diêm, hình thứ hai cần 11 que diêm, hình thứ ba cần 16 que diêm,... Hỏi hình thứ 20 cần tất cả bao nhiêu que diêm?

[Hình vẽ]

Câu 17 (3,5 điểm). Cho phép toán $\otimes$ được định nghĩa trên tập hợp các số dương như sau: $x \otimes y = \dfrac{x \cdot y}{x + y}$. Giá trị của biểu thức $P = (2 \otimes 3) \otimes 5$ là:

Câu 18 (3,5 điểm). Một bánh xe đạp có đường kính $65\text{ cm}$. Bạn Minh đạp xe từ nhà đến trường thì bánh xe quay được đúng 800 vòng. Quãng đường từ nhà bạn Minh đến trường dài khoảng bao nhiêu mét? (Lấy $\pi \approx 3{,}14$).

Câu 19 (3,5 điểm). Gieo một con xúc xắc cân đối 6 mặt (được đánh số từ 1 đến 6) hai lần liên tiếp. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo bằng 7 là:

Câu 20 (3,5 điểm). Bốn bạn An, Bình, Cúc, Dũng tham gia một cuộc thi chạy. Sau cuộc thi, mỗi bạn đưa ra một nhận định:
- An nói: "Mình về đích thứ hai."
- Bình nói: "Dũng không phải là người về đích đầu tiên."
- Cúc nói: "Mình về đích đầu tiên."
- Dũng nói: "Bình về đích thứ ba."

Biết rằng không có hai bạn nào về đích cùng một lúc và chỉ có duy nhất một bạn nói sai. Hỏi bạn nào là người về đích đầu tiên?

PHẦN II. CÂU HỎI ĐIỀN ĐÁP SỐ (30,0 điểm)

Thí sinh giải bài toán và chỉ ghi đáp số (số nguyên hoặc phân số tối giản) vào ô kết quả từ Câu 21 đến Câu 25. Mỗi câu trả lời đúng được 6,0 điểm.

Câu 21 (6,0 điểm). Tìm số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lớn nhất, biết rằng số đó chia hết cho cả 3, 4 và 5.

Câu 22 (6,0 điểm). Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $10\text{ cm}$. Lấy các điểm $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Nối các đoạn thẳng $AN, BP, CQ, DM$, chúng cắt nhau tạo thành một hình vuông nhỏ ở chính giữa (như phần tô màu trong hình vẽ). Tính diện tích của hình vuông nhỏ ở chính giữa theo đơn vị $\text{cm}^2$.

[Hình vẽ]

Câu 23 (6,0 điểm). Trong một cuộc thi cờ vua vòng tròn tính điểm, mỗi kỳ thủ đều phải thi đấu với tất cả các kỳ thủ còn lại đúng một ván. Trong mỗi ván đấu: người thắng được 1 điểm, người thua được 0 điểm, và nếu ván cờ hòa thì mỗi người được 0,5 điểm. Sau khi kết thúc giải đấu, ban tổ chức tổng kết được tổng số điểm của tất cả các kỳ thủ là 120 điểm. Hỏi có tất cả bao nhiêu kỳ thủ đã tham gia cuộc thi?

Câu 24 (6,0 điểm). Hiện nay tuổi của mẹ gấp 3 lần tuổi của con. Biết rằng cách đây 4 năm, tuổi của mẹ gấp 4 lần tuổi của con. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa kể từ hiện tại thì tuổi của mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi của con?

Câu 25 (6,0 điểm). Người ta đánh số trang của một cuốn sách toán nâng cao bắt đầu từ trang 1 bằng các số tự nhiên liên tiếp. Để đánh số trang cho cuốn sách này, người ta đã phải dùng tất cả 792 chữ số. Hỏi cuốn sách đó có tất cả bao nhiêu trang?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

BẢNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM VÀ ĐIỀN ĐÁP SỐ

B. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.
Biến đổi các thừa số:

$$A = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdots \dfrac{2024}{2025}$$

Rút gọn liên tiếp các tử số và mẫu số liền kề:

$$A = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2024}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 2025} = \dfrac{1}{2025}$$

Chọn đáp án A.

Câu 2.
Để tạo thành một tam giác, ta chọn 3 điểm không thẳng hàng:
- Trường hợp 1: Tam giác có đỉnh là $O$. Ta cần chọn thêm 1 điểm trên tia $Ox$ ($4$ cách) và 1 điểm trên tia $Oy$ ($5$ cách).
Số tam giác tạo thành là: $4 \times 5 = 20$ (tam giác).
- Trường hợp 2: Tam giác không có đỉnh là $O$:
+ Chọn 2 điểm trên $Ox$ và 1 điểm trên $Oy$: Số cách chọn 2 điểm trên $Ox$ là $\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ cách; số cách chọn 1 điểm trên $Oy$ là $5$ cách. Do đó có: $6 \times 5 = 30$ (tam giác).
+ Chọn 1 điểm trên $Ox$ và 2 điểm trên $Oy$: Số cách chọn 1 điểm trên $Ox$ là $4$ cách; số cách chọn 2 điểm trên $Oy$ là $\dfrac{5 \times 4}{2} = 10$ cách. Do đó có: $4 \times 10 = 40$ (tam giác).
Tổng số tam giác tạo thành là: $20 + 30 + 40 = 90$ (tam giác).
Chọn đáp án B.

Câu 3.
Ta xét quy luật chữ số tận cùng của luỹ thừa:
- Với luỹ thừa của 2: chu kỳ tận cùng lặp lại là $2, 4, 8, 6$ (chu kỳ 4).
Vì $2024$ chia hết cho 4 nên $2^{2024}$ có chữ số tận cùng là $6$.
- Với luỹ thừa của 3: chu kỳ tận cùng lặp lại là $3, 9, 7, 1$ (chu kỳ 4).
Vì $2025 = 4 \times 506 + 1$ (chia 4 dư 1) nên $3^{2025}$ có chữ số tận cùng là $3$.
Vậy $S = 2^{2024} + 3^{2025}$ có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của $6 + 3 = 9$.
Chọn đáp án C.

Câu 4.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là $a$ và $b$ ($a > b > 0$, đơn vị mét).
Nửa chu vi của mảnh đất là: $a + b = 60 : 2 = 30\text{ (m)}$.
Khi tăng chiều rộng thêm $3\text{ m}$ và giảm chiều dài đi $3\text{ m}$, diện tích mới là:

$$(a - 3)(b + 3) = a \cdot b + 3a - 3b - 9 = a \cdot b + 3(a - b) - 9$$

Theo giả thiết, diện tích tăng $15\text{ m}^2$, tức là:

$$a \cdot b + 3(a - b) - 9 = a \cdot b + 15 \implies 3(a - b) = 24 \implies a - b = 8\text{ (m)}$$

Chiều dài ban đầu là: $a = (30 + 8) : 2 = 19\text{ (m)}$.
Chiều rộng ban đầu là: $b = 30 - 19 = 11\text{ (m)}$.
Diện tích mảnh đất ban đầu là: $S = 19 \times 11 = 209\text{ (m}^2\text{)}$.
Chọn đáp án B.

Câu 5.
Tổng của cả 5 số điền vào các vòng tròn là: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
Gọi số được điền ở vòng tròn trung tâm là $x$ ($x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$).
Khi tính tổng hàng ngang cộng tổng hàng dọc, số $x$ ở trung tâm được tính hai lần.
Do đó:

$$\text{Tổng hàng ngang} + \text{Tổng hàng dọc} = 15 + x$$

Vì tổng hàng ngang bằng tổng hàng dọc nên $15 + x$ phải là một số chẵn.
Suy ra $x$ bắt buộc phải là số lẻ, tức là $x \in \{1, 3, 5\}$.
Vậy số ở trung tâm không thể là số 4 (hoặc 2).
Chọn đáp án C.

Câu 6.
Nhân vế theo vế ba đẳng thức đã cho:

$$(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = (-12) \cdot 20 \cdot (-15) \iff (a \cdot b \cdot c)^2 = 3600 \implies a \cdot b \cdot c = \pm 60$$

Vì $b < 0$ và $b \cdot c = 20 > 0 \implies c < 0$.
Vì $b < 0$ và $a \cdot b = -12 < 0 \implies a > 0$.
Do đó tích $a \cdot b \cdot c = (a > 0) \cdot (b < 0) \cdot (c < 0) > 0 \implies a \cdot b \cdot c = 60$.
Từ đây ta tìm được từng số:
- $a = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{60}{20} = 3$.
- $b = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{a \cdot c} = \dfrac{60}{-15} = -4$.
- $c = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{a \cdot b} = \dfrac{60}{-12} = -5$.
Tổng cần tìm: $a + b + c = 3 + (-4) + (-5) = -6$.
Chọn đáp án A.

Câu 7.
Trong 1 giờ:
- Vòi 1 chảy được: $1 : 6 = \dfrac{1}{6}$ (bể).
- Vòi 2 chảy được: $1 : 8 = \dfrac{1}{8}$ (bể).
- Cả 3 vòi cùng chảy được: $1 : 2 = \dfrac{1}{2}$ (bể).
Mỗi giờ một mình vòi 3 chảy được số phần bể là:

$$\dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8}\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{24} = \dfrac{5}{24}\text{ (bể)}$$

Thời gian để một mình vòi 3 chảy đầy bể là:

$$1 : \dfrac{5}{24} = \dfrac{24}{5}\text{ (giờ)} = 4{,}8\text{ giờ} = 4\text{ giờ } 48\text{ phút}$$

Chọn đáp án B.

Câu 8.
Khi cắt 4 góc vuông có cạnh $3\text{ cm}$ rồi gập lên thành chiếc hộp không nắp:
- Chiều dài đáy hộp: $16 - 2 \times 3 = 10\text{ (cm)}$.
- Chiều rộng đáy hộp: $12 - 2 \times 3 = 6\text{ (cm)}$.
- Chiều cao của hộp chính là cạnh hình vuông bị cắt: $h = 3\text{ (cm)}$.
Diện tích xung quanh của hộp chữ nhật là:

$$S_{xq} = 2 \times (10 + 6) \times 3 = 96\text{ (cm}^2\text{)}$$

Chọn đáp án A.

Câu 9.
- Với $p = 2$: $p + 10 = 12$ là hợp số (loại).
- Với $p = 3$: $p + 10 = 13$ và $p + 14 = 17$ đều là các số nguyên tố (thoả mãn).
- Với $p > 3$: Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p$ không chia hết cho 3, tức $p = 3k + 1$ hoặc $p = 3k + 2$ ($k \in \mathbb{N}^*$).
+ Nếu $p = 3k + 1 \implies p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) > 3$ và chia hết cho 3 nên là hợp số.
+ Nếu $p = 3k + 2 \implies p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) > 3$ và chia hết cho 3 nên là hợp số.
Vậy chỉ có duy nhất $p = 3$ thoả mãn đề bài (có 1 số nguyên tố).
Chọn đáp án B.

Câu 10.
Tổng vận tốc của hai người đi bộ là: $4 + 5 = 9\text{ (km/h)}$.
Thời gian từ lúc hai người xuất phát cho đến khi gặp nhau là:

$$t = 18 : 9 = 2\text{ (giờ)}$$

Trong suốt khoảng thời gian 2 giờ đó, chú chó chạy liên tục không ngừng nghỉ với vận tốc không đổi $11\text{ km/h}$.
Do đó, tổng quãng đường chú chó đã chạy được là:

$$S = 11 \times 2 = 22\text{ (km)}$$

Chọn đáp án B.

Câu 11.
Vì $BD = 2CD$ và $D$ thuộc cạnh $BC$ nên $BD = \dfrac{2}{3} BC$.
Hai tam giác $ABD$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$, do đó:

$$S_{ABD} = \dfrac{2}{3} S_{ABC} = \dfrac{2}{3} \times 60 = 40\text{ (cm}^2\text{)}$$

Vì $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$ nên hai tam giác $ABE$ và $ABD$ có chung đường cao hạ từ $B$ xuống $AD$ và có đáy $AE = \dfrac{1}{2} AD$.
Do đó:

$$S_{ABE} = \dfrac{1}{2} S_{ABD} = \dfrac{1}{2} \times 40 = 20\text{ (cm}^2\text{)}$$

Chọn đáp án B.

Câu 12.
Để chắc chắn có ít nhất 10 viên bi cùng màu, ta xét tình huống xấu nhất (bất lợi nhất) khi lấy bi:
- Ta lấy toàn bộ $5$ viên bi trắng (vì số bi trắng không đủ 10 viên).
- Ta lấy toàn bộ $9$ viên bi vàng (vì số bi vàng không đủ 10 viên).
- Ta lấy tối đa $9$ viên bi đỏ và $9$ viên bi xanh mà vẫn chưa có màu nào đủ 10 viên.
Tổng số bi lấy ra trong tình huống xấu nhất này là:

$$5 + 9 + 9 + 9 = 32\text{ (viên bi)}$$

Lúc này trong hộp chỉ còn lại bi đỏ và bi xanh. Nếu ta lấy thêm đúng 1 viên bi nữa (viên thứ 33) thì viên này chắc chắn sẽ là bi đỏ hoặc bi xanh, khi đó ta chắc chắn có đủ 10 viên bi cùng màu.
Vậy số bi tối thiểu cần lấy là $32 + 1 = 33$ viên.
Chọn đáp án B.

Câu 13.
Nhân cả hai vế của biểu thức với 2:

$$2M = \dfrac{2}{1 \times 3} + \dfrac{2}{3 \times 5} + \dfrac{2}{5 \times 7} + \cdots + \dfrac{2}{99 \times 101}$$

Áp dụng công thức $\dfrac{2}{n(n + 2)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 2}$:

$$2M = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{101}\right) = 1 - \dfrac{1}{101} = \dfrac{100}{101}$$

Suy ra:

$$M = \dfrac{100}{101} : 2 = \dfrac{50}{101}$$

Chọn đáp án A.

Câu 14.
Diện tích hình vuông ban đầu là: $S_0 = 8 \times 8 = 64\text{ (cm}^2\text{)}$.
Sau hai lần gấp đôi, mảnh giấy gồm $2 \times 2 = 4$ lớp giấy chồng lên nhau tại vị trí tâm của hình vuông ban đầu.
Khi cắt bỏ một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài $2\text{ cm}$ ở đỉnh góc vuông tương ứng với tâm hình vuông:
Diện tích của một miếng tam giác bị cắt là: $\dfrac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\text{ (cm}^2\text{)}$.
Vì có 4 lớp giấy nên khi mở hoàn toàn tờ giấy ra, phần bị khoét ở chính giữa là một hình vuông gồm 4 tam giác ghép lại, có diện tích là:

$$S_{khoet} = 4 \times 2 = 8\text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích phần giấy còn lại là:

$$S = 64 - 8 = 56\text{ (cm}^2\text{)}$$

Chọn đáp án B.

Câu 15.
Gọi số cần tìm là $n$ ($100 \le n \le 999$).
Theo đề bài:
$n$ chia 3 dư 2 $\implies 2n$ chia 3 dư 1 $\implies 2n - 1$ chia hết cho 3.
$n$ chia 5 dư 3 $\implies 2n$ chia 5 dư 1 $\implies 2n - 1$ chia hết cho 5.
$n$ chia 7 dư 4 $\implies 2n$ chia 7 dư 1 $\implies 2n - 1$ chia hết cho 7.
Do đó $2n - 1$ là bội chung của 3, 5, 7.
Vì $\text{BCNN}(3, 5, 7) = 105$ nên $2n - 1$ chia hết cho 105.
Do $2n - 1$ là số lẻ nên $2n - 1 \in \{105, 315, 525, \dots\}$.
- Nếu $2n - 1 = 105 \implies 2n = 106 \implies n = 53$ (loại vì không phải số có 3 chữ số).
- Nếu $2n - 1 = 315 \implies 2n = 316 \implies n = 158$ (thoả mãn là số có 3 chữ số nhỏ nhất).
Chọn đáp án A.

Câu 16.
Số que diêm ở mỗi hình lập thành một dãy số cách đều:
- Hình 1 có: $6$ que diêm.
- Hình 2 có: $6 + 5 = 11$ que diêm.
- Hình 3 có: $6 + 5 \times 2 = 16$ que diêm.
Quy luật số que diêm của hình thứ $n$ là:

$$u_n = 6 + 5 \times (n - 1) = 5n + 1$$

Với $n = 20$, số que diêm cần dùng là:

$$u_{20} = 5 \times 20 + 1 = 101\text{ (que diêm)}$$

Chọn đáp án B.

Câu 17.
Theo quy tắc của phép toán:

$$2 \otimes 3 = \dfrac{2 \cdot 3}{2 + 3} = \dfrac{6}{5}$$

Thay vào biểu thức $P$:

$$P = \left(\dfrac{6}{5}\right) \otimes 5 = \dfrac{\dfrac{6}{5} \cdot 5}{\dfrac{6}{5} + 5} = \dfrac{6}{\dfrac{31}{5}} = 6 \cdot \dfrac{5}{31} = \dfrac{30}{31}$$

Chọn đáp án A.

Câu 18.
Chu vi của bánh xe đạp là:

$$C = \pi \cdot d \approx 3{,}14 \times 65 = 204{,}1\text{ (cm)} = 2{,}041\text{ (m)}$$

Quãng đường từ nhà bạn Minh đến trường là:

$$S = 2{,}041 \times 800 = 1632{,}8\text{ (m)}$$

Chọn đáp án A.

Câu 19.
Khi gieo một con xúc xắc 2 lần liên tiếp, tổng số khả năng có thể xảy ra là: $6 \times 6 = 36$.
Các kết quả của hai lần gieo $(x, y)$ có tổng số chấm $x + y = 7$ là:

$$(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$$

Có tất cả 6 kết quả thuận lợi.
Xác suất cần tìm là:

$$P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$$

Chọn đáp án A.

Câu 20.
Giả sử Cúc về đích đầu tiên:
- Cúc nói thật: Cúc về nhất.
- Khi đó Dũng không về đích đầu tiên $\implies$ Bình nói thật.
- An nói "An về đích thứ hai" và Dũng nói "Bình về đích thứ ba":
+ Nếu An nói thật (An về nhì) và Dũng nói sai (Bình không về ba) thì thứ tự là: Cúc nhất, An nhì, Dũng ba, Bình tư. Lúc này đúng 3 bạn nói thật, 1 bạn nói sai (Dũng nói sai).
Trường hợp này hoàn toàn thoả mãn đề bài.
Nếu Cúc không về nhất (Cúc nói sai): Lúc này chỉ có duy nhất một bạn nói sai nên 3 bạn An, Bình, Dũng đều nói thật:
- An về nhì (An nói thật).
- Bình về ba (Dũng nói thật).
- Dũng không về nhất (Bình nói thật) $\implies$ Dũng phải về tư.
Suy ra người về nhất chỉ có thể là Cúc, mâu thuẫn với giả định Cúc nói sai.
Vậy người về đích đầu tiên chắc chắn là Cúc.
Chọn đáp án C.

Câu 21.
Số cần tìm $\overline{abc}$ chia hết cho cả 3, 4 và 5.
Vì 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên $\overline{abc}$ chia hết cho $\text{BCNN}(3, 4, 5) = 60$.
Do đó $\overline{abc}$ là bội của 60.
Để $\overline{abc}$ là số lớn nhất có ba chữ số đôi một khác nhau, ta xét các bội của 60 giảm dần từ lớn nhất:
- $960$: chia hết cho 60 và có 3 chữ số $9, 6, 0$ đôi một khác nhau.
Vậy số lớn nhất cần tìm là $960$.
Đáp số: 960.

Câu 22.
Diện tích hình vuông lớn $ABCD$ là: $S_{ABCD} = 10 \times 10 = 100\text{ (cm}^2\text{)}$.
Xét 4 tam giác vuông bằng nhau xung quanh: các đường thẳng $AN, BP, CQ, DM$ chia hình vuông thành một hình vuông nhỏ ở giữa và 4 tam giác vuông lớn ở ngoài. Bằng phép cắt ghép hình, mỗi hình thang vuông bên ngoài có thể ghép với một tam giác vuông nhỏ để tạo thành một hình vuông bằng đúng diện tích hình vuông ở chính giữa.
Do đó hình vuông lớn $ABCD$ được chia đều thành 5 phần có diện tích bằng nhau:

$$S_{vuong\_nho} = \dfrac{1}{5} S_{ABCD} = \dfrac{1}{5} \times 100 = 20\text{ (cm}^2\text{)}$$

Đáp số: 20.

Câu 23.
Trong mỗi ván đấu cờ vua:
- Nếu có người thắng, người thua: người thắng được 1 điểm, người thua 0 điểm $\implies$ tổng điểm của ván cờ là $1 + 0 = 1$ điểm.
- Nếu ván cờ hòa: mỗi kỳ thủ được 0,5 điểm $\implies$ tổng điểm của ván cờ là $0{,}5 + 0{,}5 = 1$ điểm.
Như vậy, trong mọi trường hợp, mỗi ván đấu luôn tạo ra đúng 1 điểm cho tổng số điểm của cả giải.
Tổng số điểm của giải là 120 điểm nên tổng số ván đấu đã diễn ra đúng bằng 120 ván.
Gọi số kỳ thủ tham gia là $n$ ($n \in \mathbb{N}^*, n \ge 2$).
Vì thi đấu vòng tròn một lượt nên số ván đấu là:

$$\dfrac{n(n - 1)}{2} = 120 \iff n(n - 1) = 240$$

Ta thấy $240 = 16 \times 15$.
Do đó $n = 16$.
Đáp số: 16.

Câu 24.
Hiệu số tuổi giữa mẹ và con luôn không đổi theo thời gian.
Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con nên tuổi con bằng $\dfrac{1}{3}$ tuổi mẹ, tức hiệu số tuổi giữa mẹ và con bằng $3 - 1 = 2$ lần tuổi con hiện nay.
Suy ra tuổi con hiện nay bằng $\dfrac{1}{2}$ hiệu số tuổi.
Cách đây 4 năm, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con nên hiệu số tuổi bằng $4 - 1 = 3$ lần tuổi con lúc đó.
Suy ra tuổi con cách đây 4 năm bằng $\dfrac{1}{3}$ hiệu số tuổi.
Bốn năm tương ứng với phân số chỉ hiệu số tuổi là:

$$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\text{ (hiệu số tuổi)}$$

Hiệu số tuổi của mẹ và con là:

$$4 : \dfrac{1}{6} = 24\text{ (tuổi)}$$

Tuổi của con hiện nay là:

$$24 \times \dfrac{1}{2} = 12\text{ (tuổi)}$$

Tuổi của mẹ hiện nay là: $12 + 24 = 36$ (tuổi).
Khi tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con, hiệu số tuổi (24 tuổi) bằng chính tuổi của con khi đó.
Vậy khi đó con 24 tuổi.
Số năm cần tìm là:

$$24 - 12 = 12\text{ (năm)}$$

Đáp số: 12.

Câu 25.
- Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang có 1 chữ số.
Số chữ số cần dùng là: $9 \times 1 = 9$ (chữ số).
- Từ trang 10 đến trang 99 có $(99 - 10 + 1) = 90$ trang có 2 chữ số.
Số chữ số cần dùng là: $90 \times 2 = 180$ (chữ số).
Số chữ số đã dùng để đánh các trang có 1 và 2 chữ số là:

$$9 + 180 = 189\text{ (chữ số)}$$

Số chữ số còn lại để đánh các trang có 3 chữ số là:

$$792 - 189 = 603\text{ (chữ số)}$$

Số trang sách có 3 chữ số là:

$$603 : 3 = 201\text{ (trang)}$$

Tổng số trang của cuốn sách đó là:

$$99 + 201 = 300\text{ (trang)}$$

Đáp số: 300.