Chuyên đề Lũy thừa: Tính toán hợp lý và Tìm x

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TRỌNG TÂM (HỌC THUỘC)

Cho $a, b \in \mathbb{Q}$ và $m, n \in \mathbb{N}^*$:

1. Quy ước: $a^0 = 1$ (với $a \ne 0$); $a^1 = a$.
2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (với $a \ne 0$).
3. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
4. Chia hai lũy thừa cùng cơ số: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^m : a^n = a^{m-n}$ (với $a \ne 0, m \ge n$).
5. Lũy thừa của lũy thừa: $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$.
6. Lũy thừa của một tích: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
7. Lũy thừa của một thương: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ (với $b \ne 0$).
8. Một số tính chất mở rộng khi so sánh và giải phương trình:
- Với $a > 1$: Nếu $a^m > a^n$ thì $m > n$.
- Nếu $a^m = a^n$ ($a \ne 0; a \ne \pm 1$) thì $m = n$.
- Nếu $x^{2n} = a^{2n}$ ($n \in \mathbb{N}^*$) thì $x = a$ hoặc $x = -a$. (Số mũ chẵn hay thường gặp ở bài tìm giá trị của x với bình phương => Chia ra đủ 2 trường hợp)
- Nếu $x^{2n+1} = a^{2n+1}$ ($n \in \mathbb{N}$) thì $x = a$. (Số mũ lẻ chỉ có 1 trường hợp duy nhất)

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

DẠNG 1: TÍNH TOÁN HỢP LÝ

Bài 1. (Nhận biết) Thực hiện phép tính:
a) $A=\left(-\frac{24}{11}\right)-\frac{19}{13}+\frac{3}{11}-\frac{20}{13}+\frac{10}{11}$
b) $B = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 \cdot 8 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 : \dfrac{4}{9}$

Bài 2. (Thông hiểu & Vận dụng cao) Tính giá trị biểu thức:
a) $A = \dfrac{5^3 + 5^8}{5 + 5^6}$
b) $B=\frac{3^{29}.4^{16}}{27^9.8^{11}}$
c) $C = 2^3 \cdot 5^3 - 3^4 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3$
d) $D=\dfrac{2^{12}\cdot3^5-4^6\cdot9^2}{\left(2^2\cdot3\right)^6+8^4\cdot3^5}$
e) $E=\dfrac{5\cdot4^{15}\cdot9^9-4\cdot3^{20}\cdot8^9}{5\cdot2^9\cdot6^{19}-7\cdot2^{29}\cdot27^6}$

f)* $F=\dfrac13+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dots+\dfrac{1}{3^{2026}}$ (Câu nâng cao, khuyến khích làm khi đã xong hết bài)

DẠNG 2: TÌM $x$

Bài 4 (Nhận biết). Tìm số hữu tỉ $x$, biết:
a) $x^3 = -\dfrac{8}{27}$
b) $2^x = 64$

Bài 5 (Thông hiểu). Tìm $x$, biết:
a) $(2x - 1)^2 = 25$
b) $3^{x+1} - 3^x = 162$
c) $\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^3 = -\dfrac{1}{8}$

Bài 6 (Vận dụng cao). Tìm số hữu tỉ $x$, biết:
a) $2^{2x+1} + 4^{x+3} = 264$
b) $(x - 2)^{2026} = (x - 2)^{2024}$
c) $5^{x} + 5^{x+2} = 650$
d) $\left(2x - 3\right)^4 + \left(3y + 6\right)^2 = 0$

--------- HẾT ---------

#