Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 7: So Sánh Lũy Thừa Với Cơ Số Và Số Mũ Lớn

PHẦN I. CÁC KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP TRỌNG TÂM

1. Quy tắc lũy thừa cơ bản:
- $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
- $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2. Nguyên tắc so sánh hai lũy thừa:
- Cùng cơ số: Nếu $a > 1$ và $m > n$ thì $a^m > a^n$.
- Cùng số mũ: Nếu $a > b > 0$ và $n > 0$ thì $a^n > b^n$.
3. Phương pháp đưa về cùng số mũ thông qua $\text{ƯCLN}$:
- Để so sánh $a^m$ và $b^n$ (với $m, n \in \mathbb{N}^*$), ta tìm $d = \text{ƯCLN}(m, n)$.
- Viết $m = d \cdot k_1$ và $n = d \cdot k_2$, khi đó:

$$a^m = (a^{k_1})^d \quad \text{và} \quad b^n = (b^{k_2})^d$$

- So sánh hai cơ số mới $a^{k_1}$ và $b^{k_2}$ để kết luận.
4. Phương pháp sử dụng lũy thừa trung gian:
- Tìm số $C$ sao cho $A < C$ và $C < B \implies A < B$.
- Lũy thừa tầng: Quy ước $a^{b^c} = a^{(b^c)}$ (thực hiện từ trên xuống dưới).

PHẦN II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 (1,0 điểm). [Cơ bản - Biến đổi về cùng số mũ]
So sánh hai lũy thừa sau: $2^{300}$ và $3^{200}$.

Bài 2 (1,0 điểm). [Cơ bản - Biến đổi về cùng cơ số]
So sánh hai lũy thừa sau: $16^{19}$ và $8^{25}$.

Bài 3 (1,0 điểm). [Cơ bản - Biến đổi về cùng số mũ]
So sánh hai lũy thừa sau: $5^{30}$ và $3^{45}$.

Bài 4 (1,0 điểm). [Vận dụng - Dạng chuẩn định hướng]
So sánh hai lũy thừa sau: $5^{165}$ và $7^{110}$.

Bài 5 (1,0 điểm). [Vận dụng - Số mũ lớn, phân tích thừa số]
So sánh hai lũy thừa sau: $2^{390}$ và $5^{156}$.

Bài 6 (1,0 điểm). [Vận dụng - Số mũ lớn, cơ số hợp số]
So sánh hai lũy thừa sau: $6^{240}$ và $13^{160}$.

Bài 7 (1,0 điểm). [Vận dụng cao - Lũy thừa trung gian]
So sánh hai lũy thừa sau: $31^{11}$ và $17^{14}$.

Bài 8 (1,0 điểm). [Vận dụng cao - Lũy thừa trung gian kép]
So sánh hai lũy thừa sau: $107^{50}$ và $73^{75}$.

Bài 9 (1,0 điểm). [Thử thách HSG - So sánh tổng nhiều lũy thừa]
Cho biểu thức $A = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024}$ và $B = \dfrac{3^{2025}}{2}$. Hãy so sánh $A$ và $B$.

Bài 10 (1,0 điểm). [Thử thách HSG - So sánh tháp lũy thừa]
So sánh hai lũy thừa tầng sau: $A = 2^{3^{100}}$ và $B = 3^{2^{100}}$.

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

A. MỨC ĐỘ 1: CƠ BẢN (BÀI 1 – BÀI 3)

Bài 1. So sánh $2^{300}$ và $3^{200}$.
- Phương pháp: Đưa hai lũy thừa về cùng số mũ bằng cách tìm ước chung lớn nhất của số mũ.
- Lời giải:
Ta có: $\text{ƯCLN}(300, 200) = 100$.
Biến đổi hai lũy thừa về số mũ $100$:

$$2^{300} = 2^{3 \cdot 100} = (2^3)^{100} = 8^{100}$$

$$3^{200} = 3^{2 \cdot 100} = (3^2)^{100} = 9^{100}$$

Vì $8 < 9$ và $100 > 0$ nên $8^{100} < 9^{100}$.
Vậy $2^{300} < 3^{200}$.

Bài 2. So sánh $16^{19}$ và $8^{25}$.
- Phương pháp: Đưa hai lũy thừa về cùng cơ số nhỏ nhất có thể (ở đây cơ số chung là $2$).
- Lời giải:
Ta nhận thấy $16 = 2^4$ và $8 = 2^3$.
Biến đổi hai lũy thừa về cơ số $2$:

$$16^{19} = (2^4)^{19} = 2^{4 \cdot 19} = 2^{76}$$

$$8^{25} = (2^3)^{25} = 2^{3 \cdot 25} = 2^{75}$$

Vì cơ số $2 > 1$ và $76 > 75$ nên $2^{76} > 2^{75}$.
Vậy $16^{19} > 8^{25}$.

Bài 3. So sánh $5^{30}$ và $3^{45}$.
- Phương pháp: Đưa về cùng số mũ bằng cách tìm ước chung lớn nhất của $30$ và $45$.
- Lời giải:
Ta có: $\text{ƯCLN}(30, 45) = 15$.
Phân tích số mũ theo thừa số chung $15$:

$$5^{30} = 5^{2 \cdot 15} = (5^2)^{15} = 25^{15}$$

$$3^{45} = 3^{3 \cdot 15} = (3^3)^{15} = 27^{15}$$

Vì $25 < 27$ và $15 > 0$ nên $25^{15} < 27^{15}$.
Vậy $5^{30} < 3^{45}$.

B. MỨC ĐỘ 2: VẬN DỤNG (BÀI 4 – BÀI 6)

Bài 4. So sánh $5^{165}$ và $7^{110}$.
- Phương pháp: Tìm ước chung lớn nhất của hai số mũ lớn $\text{ƯCLN}(165, 110)$ để đưa về cùng một số mũ.
- Lời giải:
Ta phân tích hai số mũ ra thừa số nguyên tố:

$$165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$$

$$110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$$

Suy ra: $\text{ƯCLN}(165, 110) = 5 \cdot 11 = 55$.
Ta viết lại hai lũy thừa dưới dạng lũy thừa có số mũ $55$:

$$5^{165} = 5^{3 \cdot 55} = (5^3)^{55} = 125^{55}$$

$$7^{110} = 7^{2 \cdot 55} = (7^2)^{55} = 49^{55}$$

Vì $125 > 49$ và $55 > 0$ nên $125^{55} > 49^{55}$.
Vậy $5^{165} > 7^{110}$.

Bài 5. So sánh $2^{390}$ và $5^{156}$.
- Phương pháp: Tìm $\text{ƯCLN}(390, 156)$ để quy về cùng số mũ.
- Lời giải:
Phân tích số mũ ra thừa số nguyên tố:

$$390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 78 \cdot 5$$

$$156 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 = 78 \cdot 2$$

Do đó: $\text{ƯCLN}(390, 156) = 78$.
Biến đổi hai lũy thừa:

$$2^{390} = 2^{5 \cdot 78} = (2^5)^{78} = 32^{78}$$

$$5^{156} = 5^{2 \cdot 78} = (5^2)^{78} = 25^{78}$$

Vì $32 > 25$ và $78 > 0$ nên $32^{78} > 25^{78}$.
Vậy $2^{390} > 5^{156}$.

Bài 6. So sánh $6^{240}$ và $13^{160}$.
- Phương pháp: Tìm $\text{ƯCLN}(240, 160)$ để đưa về cùng số mũ.
- Lời giải:
Ta có $\text{ƯCLN}(240, 160) = 80$.
Biến đổi hai lũy thừa:

$$6^{240} = 6^{3 \cdot 80} = (6^3)^{80} = 216^{80}$$

$$13^{160} = 13^{2 \cdot 80} = (13^2)^{80} = 169^{80}$$

Vì $216 > 169$ và $80 > 0$ nên $216^{80} > 169^{80}$.
Vậy $6^{240} > 13^{160}$.

C. MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG CAO (BÀI 7 – BÀI 8)

Bài 7. So sánh $31^{11}$ và $17^{14}$.
- Phương pháp: Không thể đưa trực tiếp về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Ta nhận thấy $31 \approx 32 = 2^5$ và $17 \approx 16 = 2^4$. Ta chọn lũy thừa của $2$ làm cầu nối trung gian.
- Lời giải:
Ta so sánh $31^{11}$ với lũy thừa cơ số $2$:

$$31^{11} < 32^{11} = (2^5)^{11} = 2^{55}$$

Tiếp tục so sánh $17^{14}$ với lũy thừa cơ số $2$:

$$17^{14} > 16^{14} = (2^4)^{14} = 2^{56}$$

Vì $55 < 56$ nên:

$$2^{55} < 2^{56}$$

Kết hợp các bất đẳng thức trên theo tính chất bắc cầu:

$$31^{11} < 2^{55} < 2^{56} < 17^{14}$$

Vậy $31^{11} < 17^{14}$.

Bài 8. So sánh $107^{50}$ và $73^{75}$.
- Phương pháp: Hai số mũ $50$ và $75$ có tỉ lệ $\dfrac{50}{75} = \dfrac{2}{3}$. Ta nhận thấy $107 < 125 = 5^3$ và $73 > 49 = 7^2$. Ta sử dụng hai lũy thừa trung gian là $5^{150}$ và $7^{150}$.
- Lời giải:
Đánh giá lũy thừa thứ nhất:

$$107^{50} < 125^{50} = (5^3)^{50} = 5^{150}$$

Đánh giá lũy thừa thứ hai:

$$73^{75} > 49^{75} = (7^2)^{75} = 7^{150}$$

So sánh hai lũy thừa trung gian:
Vì $5 < 7$ và $150 > 0$ nên:

$$5^{150} < 7^{150}$$

Áp dụng tính chất bắc cầu:

$$107^{50} < 5^{150} < 7^{150} < 73^{75}$$

Vậy $107^{50} < 73^{75}$.

D. MỨC ĐỘ 4: THỬ THÁCH HSG (BÀI 9 – BÀI 10)

Bài 9. Cho biểu thức $A = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024}$ và $B = \dfrac{3^{2025}}{2}$. So sánh $A$ và $B$.
- Phương pháp: Thu gọn tổng của một cấp số nhân (nhân biểu thức với cơ số, lấy hiệu để triệt tiêu các hạng tử ở giữa), sau đó so sánh biểu thức thu gọn với $B$.
- Lời giải:
Ta có:

$$A = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024}$$

Nhân cả hai vế của $A$ với $3$:

$$3A = 3 \cdot (3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024}) = 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{2025}$$

Lấy vế trừ vế:

$$3A - A = (3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2025}) - (3 + 3^2 + \dots + 3^{2024})$$

$$2A = 3^{2025} - 3$$

Suy ra:

$$A = \dfrac{3^{2025} - 3}{2}$$

Mặt khác, theo đề bài:

$$B = \dfrac{3^{2025}}{2}$$

Vì $3^{2025} - 3 < 3^{2025}$ nên $\dfrac{3^{2025} - 3}{2} < \dfrac{3^{2025}}{2}$.
Vậy $A < B$.

Bài 10. So sánh hai lũy thừa tầng: $A = 2^{3^{100}}$ và $B = 3^{2^{100}}$.
- Phương pháp: Với lũy thừa tầng $a^{b^c} = a^{(b^c)}$, ta cần so sánh số mũ tầng trên hoặc đưa về một cơ sở chung. Ta biến đổi số mũ tầng trên $3^{100}$ để làm xuất hiện lũy thừa cơ số $2$, từ đó biến đổi cơ sở của toàn bộ lũy thừa.
- Lời giải:
Xét số mũ của $A$ là $3^{100}$:

$$3^{100} = (3^2)^{50} = 9^{50}$$

Vì $9 > 8 = 2^3$ nên:

$$9^{50} > 8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150}$$

Ta tách số mũ $150 = 50 + 100$, do đó:

$$2^{150} = 2^{50 + 100} = 2^{50} \cdot 2^{100}$$

Vì $3^{100} > 2^{150}$ nên ta có đánh giá cho biểu thức $A$:

$$A = 2^{3^{100}} > 2^{2^{150}} = 2^{2^{50} \cdot 2^{100}} = \left(2^{2^{50}}\right)^{2^{100}}$$

Xét cơ số mới $2^{2^{50}}$:
Vì $50 > 5$ nên $2^{50} > 2^5 = 32$.
Suy ra:

$$2^{2^{50}} > 2^{32}$$

Rõ ràng $2^{32} > 3$ (vì $2^{32} = 4\,294\,967\,296 > 3$).
Từ đó ta có:

$$2^{2^{50}} > 3$$

Vì $2^{2^{50}} > 3$ và số mũ $2^{100} > 0$ nên:

$$\left(2^{2^{50}}\right)^{2^{100}} > 3^{2^{100}} = B$$

Theo tính chất bắc cầu:

$$A > \left(2^{2^{50}}\right)^{2^{100}} > B$$

Vậy $A > B$, tức là $2^{3^{100}} > 3^{2^{100}}$.