Đề cương ôn tập Toán 7 - Số hữu tỉ (Mức độ cơ bản)

PHẦN I. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Tập hợp các số hữu tỉ

- Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z},\ b \ne 0$. Ký hiệu tập hợp: $\mathbb{Q}$.
- Hai số hữu tỉ gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng $0$. Số đối của $x$ ký hiệu là $-x$.
- Số hữu tỉ lớn hơn $0$ là số hữu tỉ dương; nhỏ hơn $0$ là số hữu tỉ âm. Số $0$ không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

2. Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

- Phép cộng và phép trừ: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng mẫu số dương rồi thực hiện cộng, trừ tử số và giữ nguyên mẫu số.
- Phép nhân: $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} \quad (b, d \ne 0)$.
- Phép chia: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} \quad (b, c, d \ne 0)$.

3. Quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế

- Quy tắc dấu ngoặc: Khi bỏ ngoặc có dấu "$+$" phía trước, giữ nguyên dấu các số hạng trong ngoặc. Khi bỏ ngoặc có dấu "$-$" phía trước, đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc ("$+$" thành "$-$", "$-$" thành "$+$").
- Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó:
$x + a = b \implies x = b - a$
$x - a = b \implies x = b + a$

4. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Với $x, y \in \mathbb{Q}$ và $m, n \in \mathbb{N}$:
- $x^0 = 1\ (x \ne 0)$, $x^1 = x$.
- Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số: $x^m \cdot x^n = x^{m + n}$.
- Chia hai luỹ thừa cùng cơ số: $x^m : x^n = x^{m - n}\ (x \ne 0,\ m \ge n)$.
- Luỹ thừa của một tích: $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$.
- Luỹ thừa của một luỹ thừa: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN ÔN TẬP

Bài 1. Viết số đối của mỗi số hữu tỉ sau và biểu diễn chúng trên trục số:

$$\dfrac{2}{3}; \quad -1,5; \quad 0; \quad -\dfrac{3}{4}$$

Bài 2. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{-3}{7} + \dfrac{5}{7}$
b) $\dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{6}$
c) $\dfrac{-4}{9} \cdot \dfrac{3}{8}$
d) $\dfrac{7}{12} : \left(-\dfrac{14}{3}\right)$

Bài 3. Tính hợp lí giá trị của các biểu thức sau:
a) $A = \dfrac{5}{11} + \left(-\dfrac{3}{7}\right) + \dfrac{6}{11} + \left(-\dfrac{4}{7}\right)$
b) $B = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{13}{17} + \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{4}{17}$
c) $C = \left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{-1}{4}\right) : \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{8} : \dfrac{5}{6}$

Bài 4. Bỏ dấu ngoặc rồi thực hiện phép tính:
a) $M = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6}\right) + \left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}\right)$
b) $N = \dfrac{2}{5} - \left(\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{7}\right)$
c) $P = \left(2\dfrac{1}{3} + 3,5\right) - \left(-\dfrac{2}{3} + 3,5\right)$

Bài 5. Tìm số hữu tỉ $x$, biết:
a) $x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{5}$
b) $x - \dfrac{3}{8} = -\dfrac{1}{4}$
c) $\dfrac{5}{7} - x = \dfrac{2}{3}$
d) $\dfrac{3}{4} + 2x = \dfrac{1}{2}$

Bài 6. Tìm số hữu tỉ $x$, biết:
a) $\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}$
b) $\dfrac{1}{4} : x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$
c) $\left(x - \dfrac{2}{5}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) = 0$

Bài 7. Tính giá trị của các biểu thức luỹ thừa sau:
a) $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3$
b) $\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2$
c) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^5 : \left(\dfrac{2}{3}\right)^3$
d) $2^3 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 + 5^0$

Bài 8. Tìm số tự nhiên $n$ hoặc số hữu tỉ $x$, biết:
a) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{1}{16}$
b) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n = \dfrac{27}{64}$
c) $x^2 = \dfrac{9}{25}$
d) $(2x - 1)^3 = -8$

Bài 9. Bạn Lan đi siêu thị mua $1,5\text{ kg}$ cam với giá $30\,000$ đồng$/\text{kg}$ và $2\text{ kg}$ táo với giá $45\,000$ đồng$/\text{kg}$.
a) Tính tổng số tiền Lan phải trả để mua cam và táo.
b) Lan đưa cho thu ngân một tờ tiền mệnh giá $200\,000$ đồng. Hỏi Lan nhận lại bao nhiêu tiền thừa?

Bài 10. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng $15\dfrac{1}{2}\text{ m}$, chiều rộng bằng $\dfrac{3}{5}$ chiều dài.
a) Tính chiều rộng của mảnh vườn.
b) Tính chu vi và diện tích của mảnh vườn đó.

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 1.
Số đối của một số hữu tỉ $x$ là $-x$ sao cho $x + (-x) = 0$:
- Số đối của $\dfrac{2}{3}$ là $-\dfrac{2}{3}$.
- Số đối của $-1,5$ là $1,5$ (hay $\dfrac{3}{2}$).
- Số đối của $0$ là $0$.
- Số đối của $-\dfrac{3}{4}$ là $\dfrac{3}{4}$.

Biểu diễn trên trục số: Chia các đoạn đơn vị phù hợp trên trục số nằm ngang, gốc $0$ ở giữa, các số dương nằm bên phải điểm $0$, các số âm nằm bên trái điểm $0$.

Bài 2.
a) $\dfrac{-3}{7} + \dfrac{5}{7} = \dfrac{-3 + 5}{7} = \dfrac{2}{7}$.
b) $\dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{10}{12} = \dfrac{3 - 10}{12} = -\dfrac{7}{12}$.
c) $\dfrac{-4}{9} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{-4 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \dfrac{-1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = -\dfrac{1}{6}$.
d) $\dfrac{7}{12} : \left(-\dfrac{14}{3}\right) = \dfrac{7}{12} \cdot \left(-\dfrac{3}{14}\right) = -\dfrac{7 \cdot 3}{12 \cdot 14} = -\dfrac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2} = -\dfrac{1}{8}$.

Bài 3.
a) Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp:
$A = \left(\dfrac{5}{11} + \dfrac{6}{11}\right) + \left(-\dfrac{3}{7} + -\dfrac{4}{7}\right) = \dfrac{11}{11} + \dfrac{-7}{7} = 1 + (-1) = 0$.
b) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
$B = \dfrac{4}{9} \cdot \left(\dfrac{13}{17} + \dfrac{4}{17}\right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{17}{17} = \dfrac{4}{9} \cdot 1 = \dfrac{4}{9}$.
c) Áp dụng quy tắc chia một tổng cho một số:
$C = \left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{-1}{4} + \dfrac{7}{8}\right) : \dfrac{5}{6} = \left[\left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{7}{8}\right) - \dfrac{2}{8}\right] : \dfrac{5}{6} = \left(\dfrac{10}{8} - \dfrac{2}{8}\right) : \dfrac{5}{6} = \dfrac{8}{8} : \dfrac{5}{6} = 1 \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{6}{5}$.

Bài 4.
a) Bỏ dấu ngoặc và nhóm các số hạng cùng mẫu:
$M = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4} = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{4}\right) + \left(-\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6}\right) = 0 + \left(-\dfrac{4}{6}\right) = -\dfrac{2}{3}$.
b) Bỏ dấu ngoặc có dấu "$-$" phía trước:
$N = \dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} = \left(\dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{5}\right) + \dfrac{3}{7} = 0 + \dfrac{3}{7} = \dfrac{3}{7}$.
c) Bỏ dấu ngoặc:
$P = 2\dfrac{1}{3} + 3,5 + \dfrac{2}{3} - 3,5 = \left(2\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\right) + (3,5 - 3,5) = \left(2 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\right) + 0 = 2 + 1 = 3$.

Bài 5.
a) $x = \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{3} \implies x = \dfrac{12}{15} - \dfrac{5}{15} \implies x = \dfrac{7}{15}$.
Vậy $x = \dfrac{7}{15}$.
b) $x = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8} \implies x = -\dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{8} \implies x = \dfrac{1}{8}$.
Vậy $x = \dfrac{1}{8}$.
c) $x = \dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{3} \implies x = \dfrac{15}{21} - \dfrac{14}{21} \implies x = \dfrac{1}{21}$.
Vậy $x = \dfrac{1}{21}$.
d) $2x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \implies 2x = \dfrac{2}{4} - \dfrac{3}{4} \implies 2x = -\dfrac{1}{4} \implies x = -\dfrac{1}{4} : 2 \implies x = -\dfrac{1}{8}$.
Vậy $x = -\dfrac{1}{8}$.

Bài 6.
a) $\dfrac{2}{3}x = \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{2}{3}x = \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{6} \implies \dfrac{2}{3}x = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} \implies x = \dfrac{4}{3} : \dfrac{2}{3} = 2$.
Vậy $x = 2$.
b) $\dfrac{1}{4} : x = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{1}{4} : x = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4} \implies x = \dfrac{1}{4} : \dfrac{1}{4} = 1$.
Vậy $x = 1$.
c) Một tích bằng $0$ khi một trong hai thừa số bằng $0$:
- Trường hợp 1: $x - \dfrac{2}{5} = 0 \implies x = \dfrac{2}{5}$.
- Trường hợp 2: $x + \dfrac{1}{3} = 0 \implies x = -\dfrac{1}{3}$.
Vậy $x = \dfrac{2}{5}$ hoặc $x = -\dfrac{1}{3}$.

Bài 7.
a) $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{(-1)^3}{2^3} = \dfrac{-1}{8} = -\dfrac{1}{8}$.
b) $\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{(-3)^2}{4^2} = \dfrac{9}{16}$.
c) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^5 : \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{5 - 3} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$.
d) Áp dụng $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ và $a^0 = 1$:
$2^3 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 + 5^0 = \left(2 \cdot \dfrac{1}{2}\right)^3 + 1 = 1^3 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Bài 8.
a) Vì $\dfrac{1}{16} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4$, nên $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \implies n = 4$.
b) Vì $\dfrac{27}{64} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^3$, nên $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 \implies n = 3$.
c) Ta có $\dfrac{9}{25} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2$.
Do đó $x = \dfrac{3}{5}$ hoặc $x = -\dfrac{3}{5}$.
d) $(2x - 1)^3 = (-2)^3 \implies 2x - 1 = -2 \implies 2x = -2 + 1 = -1 \implies x = -\dfrac{1}{2}$.
Vậy $x = -\dfrac{1}{2}$.

Bài 9.
a) Số tiền mua cam là:

$$1,5 \cdot 30\,000 = 45\,000\text{ (đồng)}$$

Số tiền mua táo là:

$$2 \cdot 45\,000 = 90\,000\text{ (đồng)}$$

Tổng số tiền Lan phải trả là:

$$45\,000 + 90\,000 = 135\,000\text{ (đồng)}$$

b) Số tiền thừa Lan nhận lại là:

$$200\,000 - 135\,000 = 65\,000\text{ (đồng)}$$

Đáp số: a) $135\,000$ đồng; b) $65\,000$ đồng.

Bài 10.
a) Đổi $15\dfrac{1}{2}\text{ m} = \dfrac{31}{2}\text{ m}$.
Chiều rộng của mảnh vườn là:

$$\dfrac{31}{2} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{93}{10}\text{ (m)} = 9,3\text{ m}$$

b) Chu vi mảnh vườn là:

$$\left(\dfrac{31}{2} + \dfrac{93}{10}\right) \cdot 2 = \left(\dfrac{155}{10} + \dfrac{93}{10}\right) \cdot 2 = \dfrac{248}{10} \cdot 2 = \dfrac{496}{10} = 49,6\text{ (m)}$$

Diện tích mảnh vườn là:

$$\dfrac{31}{2} \cdot \dfrac{93}{10} = \dfrac{2883}{20}\text{ (m}^2\text{)} = 144,15\text{ m}^2$$

Đáp số:
a) $9,3\text{ m}$;
b) Chu vi: $49,6\text{ m}$; Diện tích: $144,15\text{ m}^2$.