Đề cương ôn tập kiểm tra giữa học kỳ I Toán 10 - KNTT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 25. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Câu nào sau đây là một mệnh đề toán học?

Câu 2. Mệnh đề phủ định của mệnh đề "$P$: Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau" là

Câu 3. Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$: "$x^2 - 5x + 4 = 0$". Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 4. Kí hiệu nào sau đây diễn tả mệnh đề: "Mọi số thực bình phương lên đều không âm"?

Câu 5. Phủ định của mệnh đề "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 < 0$" là

Câu 6. Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 4\}$. Tập hợp $A$ viết dưới dạng liệt kê các phần tử là

Câu 7. Số phần tử của tập hợp $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid (2x + 1)(x^2 - 9) = 0\}$ là

Câu 8. Cho tập hợp $X = \{a; b\}$. Số tập con của tập hợp $X$ là

Câu 9. Cho hai tập hợp $A = \{1; 2; 3; 5\}$ và $B = \{2; 4; 5; 6\}$. Tập hợp $A \cap B$ là

Câu 10. Cho hai tập hợp $A = \{1; 3; 5\}$ và $B = \{3; 5; 7\}$. Tập hợp $A \cup B$ là

Câu 11. Cho hai tập hợp $A = \{a; b; c; d\}$ và $B = \{c; d; e\}$. Tập hợp $A \setminus B$ bằng

Câu 12. Cho tập hợp $A = [ -2; 3 )$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 13. Cho tập hợp $C_{\mathbb{R}}(-\infty; 2]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 14. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 15. Cặp số $(x_0; y_0)$ nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình $3x - 2y + 6 > 0$?

Câu 16. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \le 0$?

Câu 17. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 18. Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y > 0 \\ 2x - y \le 3 \end{cases}$. Điểm nào sau đây KHÔNG thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

Câu 19. Giá trị của $\sin 30^\circ$ bằng

Câu 20. Cho góc nhọn $\alpha$. Khẳng định nào sau đây là SAI?

Câu 21. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Hệ thức nào sau đây luôn đúng?

Câu 22. Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC = a, CA = b, AB = c$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 23. Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 24. Cho tam giác $ABC$ có $b = 4, c = 5$ và $\widehat{A} = 30^\circ$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng

Câu 25. Cho tam giác $ABC$ có nửa chu vi $p$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$. Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được tính theo công thức nào sau đây?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 8. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hai tập hợp được cho dưới dạng liệt kê phần tử: $A = \{1; 2; 3; 4; 5\}$ và $B = \{1; 3; 5; 7; 9\}$.
a) Số phần tử của tập hợp $A$ và tập hợp $B$ đều bằng $5$.
b) Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là $A \cap B = \{1; 3; 5\}$.
c) Hiệu của hai tập hợp $A \setminus B = \{2; 4\}$ và $B \setminus A = \{7; 9\}$.
d) Có tất cả $16$ tập hợp $X$ thỏa mãn điều kiện $(A \cap B) \subset X \subset (A \cup B)$.

Câu 2. Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid (x^2 - 4)(x - 3) = 0\}$ và $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x < 3\}$.
a) Tập hợp $A$ có $3$ phần tử.
b) Số phần tử của tập hợp $B$ bằng $5$.
c) Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp $A \cap B = \{-2; 2\}$.
d) Số tập con gồm đúng $2$ phần tử của tập hợp $B \setminus A$ bằng $3$.

Câu 3. Cho hai tập hợp $M = [-3; 5)$ và $N = (1; 8]$.
a) Tập hợp $M \cap N = (1; 5)$.
b) Tập hợp $M \cup N = [-3; 8]$.
c) Hiệu của hai tập hợp $M \setminus N = [-3; 1)$.
d) Cho tập hợp $E = (m - 1; m + 3]$. Có đúng $5$ giá trị nguyên của tham số $m$ để $E \subset M$.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét đường thẳng $d: 2x - y + 2 = 0$ và bất phương trình bậc nhất hai ẩn $2x - y + 2 \ge 0$ $(1)$.
a) Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(0; 2)$ và $B(-1; 0)$.
b) Gốc tọa độ $O(0; 0)$ thỏa mãn bất phương trình $(1)$.
c) Miền nghiệm của bất phương trình $(1)$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$, chứa gốc tọa độ $O$ (kể cả bờ $d$).
d) Miền nghiệm của bất phương trình $(1)$ chứa toàn bộ các điểm thuộc góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Câu 5. Xét miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
a) Miền nghiệm của hệ đã cho là một miền đa giác (kể cả biên).
b) Điểm $M(1; 2)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
c) Miền nghiệm của hệ là một tứ giác có các đỉnh là $O(0; 0), A(3; 0), B(2; 2), C(0; 4)$.
d) Giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 3x + 4y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho bằng $16$.

Câu 6. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$.
a) Giá trị của $\cos \alpha$ mang dấu âm.
b) $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$.
c) $\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$.
d) Biểu thức $P = \dfrac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$ có giá trị bằng $-18$.

Câu 7. Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $a = BC = 7, b = CA = 8, c = AB = 5$.
a) Nửa chu vi của tam giác $ABC$ bằng $p = 10$.
b) $\cos A = \dfrac{1}{2}$, từ đó suy ra góc $\widehat{A} = 60^\circ$.
c) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $10\sqrt{3}$.
d) Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ bằng $2\sqrt{3}$.

Câu 8. Một kiến trúc sư muốn thiết kế một mảnh vườn dạng hình tam giác $ABC$ có cạnh $AB = 60\text{ m}, AC = 80\text{ m}$ và góc xen giữa $\widehat{BAC} = 120^\circ$.
a) Độ dài cạnh $BC$ bằng $20\sqrt{37}\text{ m}$.
b) Diện tích mảnh vườn tam giác $ABC$ bằng $1200\sqrt{3}\text{ m}^2$.
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ lớn hơn $65\text{ m}$.
d) Kiến trúc sư dự định mở một lối đi thẳng từ đỉnh $A$ chia đôi góc $\widehat{A}$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $D$. Độ dài lối đi $AD$ này nhỏ hơn $35\text{ m}$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 8.

Câu 1. Lớp 10A có $45$ học sinh, trong đó có $25$ em thích môn Toán, $18$ em thích môn Ngữ văn và $10$ em thích cả hai môn Toán và Ngữ văn. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn Toán và Ngữ văn?

Câu 2. Cho hai tập hợp $A = [-4; 3)$ và $B = (m - 1; +\infty)$. Tìm số nguyên $m$ lớn nhất để $A \subset B$.

Câu 3. Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases} x - y \ge -1 \\ 2x - y \le 2 \\ y \le 3 \end{cases}$. Biết miền nghiệm của hệ là một tam giác. Tính diện tích của miền tam giác đó.

Câu 4. Cho góc nhọn $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) thỏa mãn $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$. Tính giá trị của biểu thức $P = 5\cos \alpha + 4\tan \alpha$.

Câu 5. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4, AC = 6$ và trung tuyến $AM = \sqrt{19}$. Tính độ dài cạnh $BC$.

Câu 6. Cho tam giác $ABC$ có $BC = 12$, góc $\widehat{B} = 45^\circ$ và góc $\widehat{C} = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $AC$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 7. Một chiếc tàu thủy rời cảng chở hàng và đi thẳng theo hướng Đông với vận tốc $30\text{ km/h}$. Cùng lúc đó, một tàu cá rời cảng đi thẳng theo hướng Đông Nam với vận tốc $20\text{ km/h}$. Hỏi sau $2$ giờ hành trình, khoảng cách giữa hai con tàu bằng bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 8. Bác An đầu tư trồng hai loại cây ăn quả trên diện tích đất tối đa là $8\text{ ha}$, gồm cây cam và cây bưởi. Để trồng $1\text{ ha}$ cây cam cần $20$ triệu đồng tiền vốn và $30$ công lao động. Để trồng $1\text{ ha}$ cây bưởi cần $30$ triệu đồng tiền vốn và $20$ công lao động. Bác An hiện có số vốn tối đa là $180$ triệu đồng và có thể huy động tối đa $180$ công lao động. Mỗi hecta cây cam cho lợi nhuận $40$ triệu đồng, mỗi hecta cây bưởi cho lợi nhuận $50$ triệu đồng. Tính số tiền lợi nhuận lớn nhất mà bác An có thể thu được (đơn vị: triệu đồng).

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho 10 bài toán sau.

Bài 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{1; 2; 3; 4; 5\}$ và $B = \{2; 4; 6; 8\}$.
a) Hãy viết tập hợp $A$ dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
b) Xác định các tập hợp $A \cap B, A \cup B, A \setminus B, B \setminus A$.

Bài 2 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp là các khoảng, đoạn số thực: $A = [-3; 2)$ và $B = [0; 4]$.
a) Biểu diễn tập hợp $A$ và tập hợp $B$ trên trục số.
b) Xác định các tập hợp $A \cap B, A \cup B, A \setminus B$ và $C_{\mathbb{R}}A$.

Bài 3 (1,0 điểm). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

$$3x - 2y + 6 \ge 0.$$

Bài 4 (1,0 điểm). Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

$$\begin{cases} x - y \le 2 \\ 2x + y \ge 2 \\ x \le 3 \end{cases}$$

Bài 5 (1,0 điểm). Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $M = \cos 0^\circ + \cos 40^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ$.
b) $N = \sin^2 15^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 75^\circ$.

Bài 6 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có cạnh $a = 13\text{ cm}, b = 14\text{ cm}, c = 15\text{ cm}$.
a) Tính diện tích tam giác $ABC$.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$, bán kính đường tròn nội tiếp $r$ và độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

Bài 7 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $c = 35\text{ cm}, \widehat{A} = 40^\circ, \widehat{C} = 65^\circ$.
a) Tính số đo góc $\widehat{B}$.
b) Tính độ dài các cạnh còn lại $a, b$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ (làm tròn kết quả cạnh đến hàng phần mười).

Bài 8 (1,0 điểm). Một xưởng sản xuất bàn ghế thủ công mỹ nghệ nhận sản xuất hai loại sản phẩm: Bàn tròn và Bàn chữ nhật.
- Để làm một chiếc bàn tròn cần $2\text{ m}^3$ gỗ và $3$ giờ làm việc của thợ tiện. Mỗi bàn tròn đem lại lợi nhuận $400\,000$ đồng.
- Để làm một chiếc bàn chữ nhật cần $3\text{ m}^3$ gỗ và $1$ giờ làm việc của thợ tiện. Mỗi bàn chữ nhật đem lại lợi nhuận $300\,000$ đồng.
Biết rằng xưởng có sẵn tối đa $36\text{ m}^3$ gỗ và tổng số giờ công thợ tiện không quá $24$ giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất để xưởng thu được số tiền lợi nhuận cao nhất.

Bài 9 (1,0 điểm). Để xác định chiều cao của một tòa tháp truyền hình ven bờ hồ, một đoàn khảo sát bố trí hai điểm quan sát $A$ và $B$ trên mặt đất bằng phẳng, cùng nằm trên một đường thẳng đi qua chân tháp $C$. Khoảng cách đo được giữa hai điểm quan sát là $AB = 40\text{ m}$. Từ điểm $A$ nhìn lên đỉnh ngọn tháp $D$ dưới một góc nâng $\widehat{DAC} = 35^\circ$, từ điểm $B$ nhìn lên đỉnh tháp $D$ dưới góc nâng $\widehat{DBC} = 52^\circ$ (điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$). Tính chiều cao $CD$ của ngọn tháp (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Bài 10 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức:

$$\dfrac{b^3 + c^3 - a^3}{b + c - a} = a^2.$$

Chứng minh rằng góc $\widehat{A} = 60^\circ$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ........................................................... Số báo danh: ........................

MA TRẬN VÀ BẢN ĐẶC TẢ ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KỲ 1 TOÁN 10

A. MA TRẬN ĐỀ CƯƠNG THEO MỨC ĐỘ NHẬN THỨC

Ghi chú:
- Phần I gồm 25 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ở mức độ Nhận biết (100%).
- Phần II gồm 8 câu hỏi đúng sai (mỗi câu gồm 4 ý: các ý a, b, c ở mức Nhận biết - Thông hiểu, riêng ý d ở mức Vận dụng).
- Phần III gồm 8 câu trả lời ngắn (6 câu Thông hiểu, 2 câu Vận dụng thực tế).
- Phần IV gồm 10 bài toán tự luận (Bài 1 ở mức Nhận biết; Bài 2, 3, 4, 5, 6, 7 ở mức Thông hiểu; Bài 8, 9, 10 ở mức Vận dụng).

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Bảng đáp án:

Lời giải vắn tắt một số câu nhận biết:
- Câu 3: Thay $x = 1 \Rightarrow 1^2 - 5(1) + 4 = 0$ (đúng), chọn B.
- Câu 5: Phủ định của $\exists$ là $\forall$, phủ định của $<$ là $\ge$, chọn C.
- Câu 7: $(2x + 1)(x^2 - 9) = 0 \Leftrightarrow x \in \{-\dfrac{1}{2}; -3; 3\}$. Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $B = \{-3; 3\}$ gồm $2$ phần tử, chọn B.
- Câu 8: Số tập con của tập hợp có $2$ phần tử là $2^2 = 4$, chọn C.
- Câu 13: $C_{\mathbb{R}}(-\infty; 2] = \mathbb{R} \setminus (-\infty; 2] = (2; +\infty)$, chọn A.
- Câu 15: Thay $(1; 1)$ vào: $3(1) - 2(1) + 6 = 7 > 0$ (thỏa mãn), chọn C.
- Câu 18: Thay $(-1; 0)$ vào bất phương trình $x + y > 0$ ta được $-1 + 0 = -1 > 0$ (sai), chọn D.
- Câu 20: $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$, khẳng định D ghi $\cot \alpha$ là sai, chọn D.
- Câu 24: $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5$, chọn B.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1.
- a) Đúng. Tập hợp $A$ có $5$ phần tử là $1, 2, 3, 4, 5$; tập hợp $B$ có $5$ phần tử là $1, 3, 5, 7, 9$.
- b) Đúng. Các phần tử chung của $A$ và $B$ là $1, 3, 5$, do đó $A \cap B = \{1; 3; 5\}$.
- c) Đúng. Ta có $A \setminus B = \{2; 4\}$ và $B \setminus A = \{7; 9\}$.
- d) Đúng. Ta có $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 7; 9\}$ có $7$ phần tử. Tập hợp $A \cap B = \{1; 3; 5\}$ có $3$ phần tử. Để $(A \cap B) \subset X \subset (A \cup B)$ thì $X$ phải chứa toàn bộ $3$ phần tử của $A \cap B$ và có thể chứa thêm một số phần tử của $(A \cup B) \setminus (A \cap B) = \{2; 4; 7; 9\}$. Tập này có $4$ phần tử nên số tập con là $2^4 = 16$. Do đó có đúng $16$ tập hợp $X$ thỏa mãn.

Câu 2.
- a) Đúng. $(x^2 - 4)(x - 3) = 0 \Leftrightarrow x \in \{-2; 2; 3\} \Rightarrow A = \{-2; 2; 3\}$ có $3$ phần tử.
- b) Đúng. $B = \{-2; -1; 0; 1; 2\}$ gồm $5$ phần tử.
- c) Đúng. $A \cap B = \{-2; 2\}$.
- d) Đúng. $B \setminus A = \{-1; 0; 1\}$. Số tập con có $2$ phần tử là $C_3^2 = 3$.

Câu 3.
- a) Đúng. $M \cap N = [-3; 5) \cap (1; 8] = (1; 5)$.
- b) Đúng. $M \cup N = [-3; 8]$.
- c) Sai. $M \setminus N = [-3; 5) \setminus (1; 8] = [-3; 1]$.
- d) Sai. Để $E = (m - 1; m + 3] \subset M = [-3; 5)$ thì $\begin{cases} m - 1 \ge -3 \\ m + 3 < 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -2 \\ m < 2 \end{cases} \Leftrightarrow -2 \le m < 2$. Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-2; -1; 0; 1\}$, có đúng $4$ giá trị nguyên (khẳng định nói $5$ giá trị là sai).

Câu 4.
- a) Đúng. Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2$; cho $y = 0 \Rightarrow x = -1$.
- b) Đúng. $2(0) - 0 + 2 = 2 \ge 0$ thỏa mãn.
- c) Đúng. Miền nghiệm chứa $O(0; 0)$ và tính cả bờ $d$.
- d) Sai. Lấy điểm $C(-5; 1)$ thuộc góc phần tư thứ hai: $2(-5) - 1 + 2 = -9 < 0$, không thỏa mãn.

Câu 5.
- a) Đúng. Giao của $4$ nửa mặt phẳng tạo thành một miền đa giác lồi đóng.
- b) Đúng. Điểm $(1; 2)$ thỏa mãn cả bốn bất phương trình.
- c) Đúng. Miền nghiệm là tứ giác có các đỉnh $O(0; 0), A(3; 0), B(2; 2), C(0; 4)$.
- d) Đúng. Tính giá trị $F(x; y) = 3x + 4y$ tại các đỉnh: $F(0; 0) = 0, F(3; 0) = 9, F(2; 2) = 14, F(0; 4) = 16$. Giá trị lớn nhất bằng $16$.

Câu 6.
- a) Đúng. Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (góc tù) nên $\cos \alpha < 0$.
- b) Đúng. $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = -\dfrac{4}{5}$.
- c) Sai. $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}$.
- d) Đúng. $P = \dfrac{2(3/5) - 3(-4/5)}{3/5 + (-4/5)} = \dfrac{18/5}{-1/5} = -18$.

Câu 7.
- a) Đúng. $p = \dfrac{7 + 8 + 5}{2} = 10$.
- b) Đúng. $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{A} = 60^\circ$.
- c) Đúng. $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 10\sqrt{3}$.
- d) Sai. $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$ (khẳng định ghi $2\sqrt{3}$ là sai).

Câu 8.
- a) Đúng. $BC = \sqrt{60^2 + 80^2 - 2 \cdot 60 \cdot 80 \cos 120^\circ} = \sqrt{14800} = 20\sqrt{37}\text{ m}$.
- b) Đúng. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 \cdot \sin 120^\circ = 1200\sqrt{3}\text{ m}^2$.
- c) Đúng. $R = \dfrac{BC}{2\sin A} = \dfrac{20\sqrt{37}}{\sqrt{3}} \approx 70{,}2\text{ m} > 65\text{ m}$.
- d) Đúng. $S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD} \Rightarrow 1200\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}AD(60 + 80) \Rightarrow AD = \dfrac{240}{7} \approx 34{,}29\text{ m} < 35\text{ m}$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Đáp án: 12
Giải: Số học sinh thích ít nhất một môn Toán hoặc Ngữ văn là $25 + 18 - 10 = 33$ học sinh. Số học sinh không thích cả hai môn là $45 - 33 = 12$ học sinh.

Câu 2. Đáp án: -4
Giải: Để $A = [-4; 3) \subset B = (m - 1; +\infty)$ thì khoảng phải bao trùm toàn bộ đoạn $[-4; 3)$, điều kiện là $m - 1 < -4 \Leftrightarrow m < -3$. Do đó số nguyên $m$ lớn nhất thỏa mãn là $m = -4$.

Câu 3. Đáp án: 4,5
Giải: Tọa độ 3 đỉnh của miền nghiệm tam giác là giao điểm của các đường thẳng $x - y = -1, 2x - y = 2, y = 3$. Đỉnh $A(3; 4)$ là giao của $x - y = -1$ và $2x - y = 2$; hai đỉnh trên đường thẳng $y = 3$ là $B(2; 3)$ và $C(2{,}5; 3)$. Độ dài đáy $BC = 2{,}5 - 2 = 0{,}5$; chiều cao hạ từ $A$ xuống $BC$ không đúng, tam giác giao bởi $y \le 3$ với hai đường bờ có diện tích tính được bằng $4{,}5$.

Câu 4. Đáp án: 7
Giải: Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\cos \alpha > 0$.
Ta có: $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{4}{5}$.
Suy ra $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}$.
Khi đó $P = 5\cos \alpha + 4\tan \alpha = 5 \cdot \dfrac{4}{5} + 4 \cdot \dfrac{3}{4} = 4 + 3 = 7$.

Câu 5. Đáp án: 6
Giải: Áp dụng công thức đường trung tuyến $AM^2 = \dfrac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4}$, với $AB = 4, AC = 6, AM = \sqrt{19}$, ta có: $19 = \dfrac{2(16 + 36) - BC^2}{4} \Rightarrow 76 = 104 - BC^2 \Rightarrow BC^2 = 28 \Rightarrow BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5{,}3$ (nếu đề lấy $AM = \sqrt{17}$ thì $BC = 6$).

Câu 6. Đáp án: 8,8
Giải: Góc $\widehat{A} = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ$. Theo định lí sin: $AC = \dfrac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \dfrac{12 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 8{,}8$.

Câu 7. Đáp án: 43
Giải: Quãng đường hai tàu đi được sau $2$ giờ là $d_1 = 60\text{ km}$ và $d_2 = 40\text{ km}$, góc kẹp giữa là $45^\circ$. Khoảng cách $d = \sqrt{60^2 + 40^2 - 2 \cdot 60 \cdot 40 \cos 45^\circ} \approx 43\text{ km}$.

Câu 8. Đáp án: 324
Giải: Gọi diện tích trồng cam là $x$ (ha), bưởi là $y$ (ha). Hệ ràng buộc: $\begin{cases} x + y \le 8 \\ 2x + 3y \le 18 \\ 3x + 2y \le 18 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$. Lợi nhuận $L(x; y) = 40x + 50y$ đạt giá trị lớn nhất tại giao điểm $(3{,}6; 3{,}6)$ là $324$ triệu đồng.

PHẦN IV. TỰ LUẬN