Đề cương ôn tập giữa học kỳ I Toán 11 – Năm học 2026–2027

I. PHẠM VI VÀ ĐỊNH HƯỚNG ÔN TẬP

Theo ma trận và bản đặc tả, nội dung ôn tập gồm ba chủ đề:

Ma trận ghi cấu trúc gồm 12 câu nhiều lựa chọn, 3 câu đúng/sai, 3 câu trả lời ngắn và 2 câu tự luận. Điểm tổng của từng dạng lần lượt được ghi là 5,0; 3,0; 1,0 và 1,0 điểm. Học sinh cần ôn đủ các dạng; việc phân điểm cụ thể theo đề kiểm tra chính thức.

Định hướng theo dạng câu hỏi:

Trắc nghiệm nhiều lựa chọn: nhận biết khái niệm, công thức và thực hiện phép tính trực tiếp; lưu ý câu thông hiểu về hàm số và phương trình lượng giác.

Trắc nghiệm đúng/sai: kiểm tra từng khẳng định về giá trị lượng giác, dãy số và mẫu số liệu ghép nhóm; cần trình bày nháp hoặc tính toán để kiểm chứng từng ý.

Trả lời ngắn: chú trọng vận dụng công thức lượng giác hoặc hàm số lượng giác, cấp số cộng hoặc cấp số nhân và các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm.

Tự luận: luyện trình bày bài toán cấp số cộng ở mức thông hiểu và bài toán vận dụng thuộc nội dung lượng giác.

II. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Góc lượng giác và giá trị lượng giác

Kiến thức cần nhớ

Đổi đơn vị: $180^\circ=\pi$ radian; do đó $\alpha^\circ=\dfrac{\alpha\pi}{180}$ radian.

Hai số đo của cùng một góc lượng giác có dạng $\alpha+k2\pi$, với $k\in\mathbb{Z}$.

Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn góc $\alpha$ có tọa độ $(\cos\alpha;\sin\alpha)$.

Khi xác định giá trị lượng giác, cần xét góc phần tư để xác định dấu của $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$.

Các hệ thức cơ bản:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

$$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad(\cos\alpha\ne 0),\qquad \cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\quad(\sin\alpha\ne 0).$$

$$1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha},\qquad 1+\cot^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}.$$

Các góc có liên quan đặc biệt:

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \cos(-\alpha)=\cos\alpha.$$

$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha.$$

$$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,\qquad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha.$$

$$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha.$$

Dạng cần luyện: đổi độ sang radian; xác định dấu và tính giá trị lượng giác; tìm các giá trị còn lại khi biết một giá trị lượng giác và góc phần tư; xét đúng/sai các đẳng thức.

2. Công thức lượng giác

Công thức cộng

$$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b.$$

$$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b.$$

$$\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b},$$

với điều kiện các biểu thức trong công thức xác định.

Công thức nhân đôi

$$\sin 2a=2\sin a\cos a.$$

$$\cos 2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a.$$

$$\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a},$$

với điều kiện các biểu thức trong công thức xác định.

Công thức biến đổi tích thành tổng

$$\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b)+\cos(a+b)\right].$$

$$\sin a\sin b=\dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right].$$

$$\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right].$$

Công thức biến đổi tổng thành tích

$$\sin a+\sin b=2\sin\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}.$$

$$\sin a-\sin b=2\cos\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}.$$

$$\cos a+\cos b=2\cos\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}.$$

$$\cos a-\cos b=-2\sin\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}.$$

Dạng cần luyện: tính giá trị biểu thức; rút gọn biểu thức; sử dụng công thức trong bài toán thực tiễn.

3. Hàm số lượng giác

Học sinh cần nhận biết hình dạng đồ thị, các điểm đặc biệt và khoảng đồng biến, nghịch biến của bốn hàm số trên một chu kì; vận dụng tính tuần hoàn để xét các khoảng khác.

Dạng cần luyện: tìm tập xác định, tập giá trị; nhận biết tính chẵn, lẻ và chu kì; đọc tính đơn điệu từ đồ thị; giải bài toán thực tế có mô hình lượng giác đơn giản.

4. Phương trình lượng giác cơ bản

Với $k\in\mathbb{Z}$:

$$\sin x=\sin a\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}x&=a+k2\pi,\\x&=\pi-a+k2\pi.\end{aligned}\right.$$

$$\cos x=\cos a\Leftrightarrow x=\pm a+k2\pi.$$

$$\tan x=\tan a\Leftrightarrow x=a+k\pi,\quad a\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi.$$

$$\cot x=\cot a\Leftrightarrow x=a+k\pi,\quad a\ne k\pi.$$

Các phương trình $\sin x=m$ và $\cos x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m|\le 1$.

Dạng cần luyện: nhận biết công thức nghiệm; giải phương trình cơ bản và phương trình đưa về dạng cơ bản; tìm nghiệm thuộc một khoảng cho trước; dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm gần đúng.

III. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

1. Dãy số

Dãy số có thể được cho bằng cách liệt kê các số hạng, bằng công thức số hạng tổng quát, bằng hệ thức truy hồi hoặc bằng mô tả.

Dãy số $(u_n)$ tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$ thuộc tập chỉ số đang xét; giảm nếu $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$ thuộc tập chỉ số đang xét.

Để xét tính tăng, giảm, thường tính hiệu $u_{n+1}-u_n$ và xét dấu. Với dãy số dương, có thể xét tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

Dạng cần luyện: tìm số hạng từ công thức hoặc hệ thức truy hồi; nhận biết dãy hữu hạn, vô hạn; xét tính tăng, giảm và bị chặn trong trường hợp đơn giản.

2. Cấp số cộng

Cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thỏa mãn:

$$u_{n+1}=u_n+d,\qquad u_n=u_1+(n-1)d.$$

Tổng $n$ số hạng đầu tiên:

$$S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}=\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}.$$

Với ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng: $2u_n=u_{n-1}+u_{n+1}$.

Dạng cần luyện: nhận biết cấp số cộng; tìm $u_1$, $d$, $u_n$; tính tổng; giải bài toán thực tế về các đại lượng tăng hoặc giảm đều.

3. Cấp số nhân

Cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thỏa mãn:

$$u_{n+1}=u_nq,\qquad u_n=u_1q^{n-1}.$$

Tổng $n$ số hạng đầu tiên:

$$S_n=u_1\dfrac{1-q^n}{1-q}\quad(q\ne 1).$$

Nếu $q=1$ thì $S_n=nu_1$.

Với ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân: $u_n^2=u_{n-1}u_{n+1}$.

Dạng cần luyện: nhận biết cấp số nhân; tìm số hạng, công bội và tổng; giải bài toán tăng trưởng hoặc suy giảm theo cùng một tỉ lệ qua mỗi giai đoạn.

IV. MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

1. Các khái niệm và số trung bình

Với mỗi nhóm $[a_i;a_{i+1})$, giá trị đại diện là trung điểm $c_i=\dfrac{a_i+a_{i+1}}{2}$; gọi $n_i$ là tần số của nhóm và $n$ là tổng các tần số.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

$$\overline{x}=\dfrac{n_1c_1+n_2c_2+\cdots+n_kc_k}{n}.$$

Cần phân biệt giá trị đại diện của nhóm với từng giá trị gốc; số trung bình tính từ bảng ghép nhóm là giá trị xấp xỉ.

2. Trung vị và tứ phân vị

Xác định nhóm chứa trung vị hoặc tứ phân vị bằng tần số tích lũy.

Giả sử nhóm chứa phân vị cần tìm là $[a;b)$, có tần số $f$, tần số tích lũy trước nhóm là $F$. Đặt $h=b-a$. Khi đó:

$$M_e=a+\dfrac{\dfrac{n}{2}-F}{f}h.$$

$$Q_1=a+\dfrac{\dfrac{n}{4}-F}{f}h,\qquad Q_3=a+\dfrac{\dfrac{3n}{4}-F}{f}h.$$

Trong mỗi công thức, $a$, $b$, $f$ và $F$ được lấy theo nhóm chứa phân vị tương ứng.

3. Mốt

Nếu nhóm có tần số lớn nhất là $[a;b)$, gọi $f$ là tần số nhóm đó, $f_{\text{trước}}$ và $f_{\text{sau}}$ là tần số của hai nhóm kề trước và kề sau. Khi áp dụng công thức mốt:

$$M_o=a+\dfrac{f-f_{\text{trước}}}{(f-f_{\text{trước}})+(f-f_{\text{sau}})}(b-a).$$

Dạng cần luyện: đọc bảng tần số, tìm cỡ mẫu và giá trị đại diện; nhận biết nhóm chứa trung vị hoặc tứ phân vị, nhóm có tần số lớn nhất; tính và giải thích ý nghĩa các số đặc trưng trong bối cảnh thực tế.

V. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1. Số đo radian của góc $150^\circ$ là

Câu 2. Biểu thức $\cos 2x$ bằng

Câu 3. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

Câu 4. Tập xác định của hàm số $y=\tan x$ là

Câu 5. Chu kì của hàm số $y=\sin x$ là

Câu 6. Nghiệm của phương trình $\cos x=1$ là

Câu 7. Phương trình $\sin x=\dfrac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$?

Câu 8. Cho dãy số $u_n=2n-1$ với $n\ge 1$. Số hạng $u_4$ bằng

Câu 9. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

Câu 10. Cấp số nhân có $u_1=3$, $q=2$. Giá trị của $u_4$ là

Câu 11. Giá trị đại diện của nhóm $[10;20)$ là

Câu 12. Một mẫu số liệu ghép nhóm có các giá trị đại diện $5$, $15$ với tần số tương ứng $2$, $3$. Số trung bình của mẫu là

2. Trắc nghiệm đúng/sai

Trong mỗi câu, xác định tính đúng hoặc sai của từng khẳng định.

Câu 1. Cho $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$.
a) $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
b) $\cos\alpha<0$.
c) $\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}$.
d) $\tan\alpha=\dfrac{3}{4}$.

Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n=3n-2$ với $n\ge 1$.
a) $u_1=1$.
b) $u_3=7$.
c) Dãy số đã cho là dãy số tăng.
d) $u_{n+1}-u_n=2$ với mọi $n\ge 1$.

Câu 3. Thời gian tự học trong một ngày của một nhóm học sinh được thống kê như sau:

a) Cỡ mẫu là $20$.
b) Giá trị đại diện của nhóm $[1;2)$ là $1,5$ giờ.
c) Nhóm chứa trung vị là $[2;3)$.
d) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $1,8$ giờ.

3. Trả lời ngắn

Câu 1. Một vật dao động có li độ $x=4\cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right)$ cm, trong đó $t$ tính bằng giây. Tính li độ của vật tại thời điểm $t=1$ giây.

Câu 2. Một khán đài có $15$ hàng ghế. Hàng thứ nhất có $20$ ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng ngay trước $2$ ghế. Hỏi khán đài có tất cả bao nhiêu ghế?

Câu 3. Khảo sát thời gian đọc sách mỗi ngày của một nhóm học sinh, thu được bảng sau:

Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, đơn vị phút.

4. Tự luận

Câu 1. Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $u_3=7$ và $u_7=19$.
a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.
b) Tính tổng $20$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Câu 2. Độ cao của một cabin vòng quay so với mặt đất tại thời điểm $t$ phút được mô hình hóa bởi $h(t)=12-10\cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right)$ mét, với $0\le t\le 6$. Tìm các thời điểm cabin ở độ cao $17$ mét.

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN TỰ KIỂM TRA

1. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

2. Trắc nghiệm đúng/sai

Giải thích các ý sai:

Câu 1d: $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\dfrac{3}{4}$.

Câu 2d: $u_{n+1}-u_n=3$.

Câu 3c: tần số tích lũy đến hết nhóm $[0;1)$ là $4$, đến hết nhóm $[1;2)$ là $12$; nhóm chứa trung vị là $[1;2)$.

3. Trả lời ngắn

Câu 1. $x=4\cos\dfrac{\pi}{3}=2$ cm.

Câu 2. $S_{15}=\dfrac{15[2\cdot20+14\cdot2]}{2}=510$ ghế.

Câu 3. $\overline{x}=\dfrac{5\cdot10+10\cdot30+5\cdot50}{20}=30$ phút.

4. Tự luận

Câu 1.
a) Ta có $u_3=u_1+2d=7$ và $u_7=u_1+6d=19$. Suy ra $4d=12$, nên $d=3$ và $u_1=1$.
b) $S_{20}=\dfrac{20[2\cdot1+19\cdot3]}{2}=590$.

Câu 2. Điều kiện $h(t)=17$ tương đương với $\cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$. Vì $0\le t\le6$ nên $0\le\dfrac{\pi t}{3}\le2\pi$. Do đó $\dfrac{\pi t}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ hoặc $\dfrac{\pi t}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$.

Vậy cabin ở độ cao $17$ mét tại các thời điểm $t=2$ phút và $t=4$ phút.

VI. BÀI TẬP TỰ LUYỆN BỔ SUNG

1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Câu 1. Cho $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha=-\dfrac{5}{13}$ và $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$.
a) Tính $\sin\alpha$ và $\tan\alpha$.
b) Tính $\cos 2\alpha$.

Câu 2. Rút gọn biểu thức $P=\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x$. Từ đó tính $P$ khi $x=\dfrac{\pi}{12}$.

Câu 3. Giải các phương trình sau:
a) $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
b) $\sin 2x=\sin x$.

Câu 4. Nhiệt độ trong một phòng thí nghiệm được mô hình hóa bởi $T(t)=24+3\sin\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$, trong đó $T$ tính bằng độ C, $t$ tính bằng giờ và $0\le t\le 24$.
a) Tìm nhiệt độ cao nhất và thấp nhất theo mô hình.
b) Tìm các thời điểm nhiệt độ bằng $25,5^\circ$C.

2. Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 5. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=2n^2+1$, $n\ge 1$.
a) Tính $u_1$, $u_2$, $u_3$.
b) Xét tính tăng, giảm của dãy số.

Câu 6. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2=8$ và $u_6=20$.
a) Tìm số hạng đầu và công sai.
b) Tính $S_{15}$.

Câu 7. Một người gửi tiết kiệm $50$ triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất cố định $6\%$/năm. Giả sử người đó không gửi thêm, không rút tiền và lãi mỗi năm được nhập vào vốn.
a) Viết công thức tính số tiền cả gốc và lãi sau $n$ năm.
b) Tính số tiền cả gốc và lãi sau $3$ năm, làm tròn đến hàng nghìn đồng.

3. Mẫu số liệu ghép nhóm

Câu 8. Thời gian vận động mỗi ngày của $30$ học sinh được thống kê như sau:

a) Xác định giá trị đại diện của mỗi nhóm và tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, làm tròn đến hàng phần trăm.
b) Tính trung vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Câu 9. Số quyển sách mượn trong một tháng của một nhóm học sinh được thống kê như sau:

a) Tính cỡ mẫu và xác định nhóm chứa trung vị.
b) Tính số trung bình và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN BỔ SUNG

Câu 1.
a) Vì $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba nên $\sin\alpha<0$. Suy ra $\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}$ và $\tan\alpha=\dfrac{12}{5}$.
b) $\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1=-\dfrac{119}{169}$.

Câu 2. $P=\sin(3x-x)=\sin 2x$. Khi $x=\dfrac{\pi}{12}$, ta có $P=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$.

Câu 3. Với $k\in\mathbb{Z}$:
a) $x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$.
b) $2x=x+k2\pi$ hoặc $2x=\pi-x+k2\pi$. Vậy $x=k2\pi$ hoặc $x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3}$.

Câu 4.
a) Do $-1\le\sin\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)\le1$ và cả hai giá trị biên đều đạt được trên khoảng thời gian đã cho, nhiệt độ cao nhất là $27^\circ$C, thấp nhất là $21^\circ$C.
b) $T(t)=25,5$ khi $\sin\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)=\dfrac{1}{2}$. Với $0\le t\le24$, suy ra $t=2$ hoặc $t=10$ giờ.

Câu 5.
a) $u_1=3$, $u_2=9$, $u_3=19$.
b) $u_{n+1}-u_n=4n+2>0$ với mọi $n\ge1$. Vậy dãy số tăng.

Câu 6.
a) $u_1+d=8$ và $u_1+5d=20$. Suy ra $d=3$, $u_1=5$.
b) $S_{15}=\dfrac{15[2\cdot5+14\cdot3]}{2}=390$.

Câu 7.
a) Sau $n$ năm, số tiền cả gốc và lãi là $A_n=50(1,06)^n$ triệu đồng.
b) $A_3=50(1,06)^3=59,5508$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng nghìn đồng, người đó có $59\,551\,000$ đồng.

Câu 8.
a) Các giá trị đại diện lần lượt là $5$, $15$, $25$, $35$ phút. Số trung bình là

$$\overline{x}=\dfrac{4\cdot5+8\cdot15+12\cdot25+6\cdot35}{30}\approx21,67\text{ phút}.$$

b) Nhóm chứa trung vị là $[20;30)$, nên $M_e=20+\dfrac{15-12}{12}\cdot10=22,5$ phút.

Nhóm có tần số lớn nhất là $[20;30)$, nên $M_o=20+\dfrac{12-8}{(12-8)+(12-6)}\cdot10=24$ phút.

Câu 9.
a) Cỡ mẫu là $25$. Nhóm chứa trung vị là $[2;4)$.
b) Các giá trị đại diện lần lượt là $1$, $3$, $5$, $7$. Do đó

$$\overline{x}=\dfrac{5\cdot1+10\cdot3+8\cdot5+2\cdot7}{25}=3,56.$$

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

$$M_e=2+\dfrac{12,5-5}{10}\cdot2=3,5.$$