Đề cương ôn tập giữa học kì I - Toán 10 (KNTT)

Phạm vi: Chương I – IV | Tài liệu ôn tập trên lớp và tự luyện theo dạng bài.
Cấu trúc: Tóm tắt kiến thức $\to$ Ví dụ mẫu $\to$ Bài tự luyện $\to$ Đáp án ngắn.

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

A. Kiến thức cần nhớ

- Mệnh đề là khẳng định có thể xác định đúng hoặc sai. Phủ định của $P$ kí hiệu là $\overline{P}$; $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai và ngược lại.
- Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng, $Q$ sai. Mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi $P$ và $Q$ có cùng giá trị chân lí.
- $P \Rightarrow Q$: $P$ là điều kiện đủ để có $Q$; $Q$ là điều kiện cần để có $P$.
- Tập hợp: $A \subset B$ nếu mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$; $\varnothing$ là tập con của mọi tập hợp.
- Phép toán tập hợp:
+ $A \cap B$: phần tử thuộc cả $A$ và $B$.
+ $A \cup B$: phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập $A, B$.
+ $A \setminus B$: phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$.
- Các tập con của số thực: Khoảng $(a; b)$ không chứa hai đầu mút; đoạn $[a; b]$ chứa cả hai đầu mút; nửa khoảng $[a; b)$, $(a; b]$ chứa một đầu mút.

B. Ví dụ có hướng dẫn

Ví dụ 1 (Phủ định mệnh đề): Cho mệnh đề $P$: "Mọi số tự nhiên đều lớn hơn $0$". Hãy phủ định mệnh đề $P$.
Hướng dẫn: $\overline{P}$: "Tồn tại ít nhất một số tự nhiên không lớn hơn $0$" (hoặc: "Có ít nhất một số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng $0$"). Mệnh đề $\overline{P}$ đúng vì số $0 \in \mathbb{N}$ và $0 \le 0$.

Ví dụ 2 (Các phép toán tập hợp): Cho $A = [-2; 4)$, $B = (1; 6]$. Tìm $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$.
Hướng dẫn:
- $A \cap B = (1; 4)$
- $A \cup B = [-2; 6]$
- $A \setminus B = [-2; 1]$

Ví dụ 3 (Tham số trong tập hợp): Cho $A = [m; 5]$, $B = [2; 8]$. Tìm $m$ để $A \subset B$ và $A \ne \varnothing$.
Hướng dẫn:
Để $A$ là đoạn không rỗng thì $m \le 5$.
Để $A \subset B$ thì $\begin{cases} m \ge 2 \\ 5 \le 8 \end{cases} \Leftrightarrow m \ge 2$.
Kết hợp lại ta được: $2 \le m \le 5$.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề: "Có ít nhất một học sinh đạt điểm 10".

Bài 2. Cho $P$: "$n$ chia hết cho $6$", $Q$: "$n$ chia hết cho $3$" ($n \in \mathbb{Z}$). Xác định mệnh đề $P \Rightarrow Q$ có đúng không; nêu điều kiện cần và điều kiện đủ.

Bài 3. Cho $A = [-3; 2]$, $B = (0; 5)$. Xác định $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$.

Bài 4. Cho $A = (-\infty; 3]$, $B = [-1; +\infty)$. Tìm $A \cap B$ và $A \cup B$.

Bài 5. Cho $A = [m; 7]$, $B = [1; 9]$. Tìm $m$ để $A \subset B$ và $A \ne \varnothing$.

Bài 6. Một lớp học có $24$ học sinh thích môn Toán, $18$ học sinh thích môn Vật lí, $10$ học sinh thích cả hai môn. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn?

Bài 7. Cho $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x < 4\}$. Viết tập hợp $A$ bằng cách liệt kê các phần tử và tính số tập hợp con của $A$.

Bài 8. Tìm tham số $m$ để hai đoạn $[m; m + 3]$ và $[1; 5]$ có giao khác rỗng.

CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. Kiến thức cần nhớ

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by \le c$ (hoặc $\ge, <, >$), trong đó $a, b$ không đồng thời bằng $0$.
- Miền nghiệm là một nửa mặt phẳng được xác định bởi đường thẳng $ax + by = c$; đường biên được lấy với dấu $\le, \ge$ và không được lấy với dấu $<, >$.
- Cách xác định miền nghiệm: Thử một điểm không thuộc đường biên (thường chọn gốc tọa độ $O(0; 0)$) để xác định nửa mặt phẳng cần lấy.
- Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao các miền nghiệm của các bất phương trình thành phần.
- Bài toán tối ưu: Với miền nghiệm là một đa giác lồi bị chặn, giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $F(x; y) = ax + by$ luôn đạt tại ít nhất một trong các đỉnh của miền nghiệm.

B. Ví dụ có hướng dẫn

Ví dụ 1 (Kiểm tra điểm thuộc miền nghiệm): Điểm $M(2; 1)$ có thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - y \le 5$ không?
Hướng dẫn: Thay tọa độ điểm $M(2; 1)$ vào vế trái bất phương trình: $2 \cdot 2 - 1 = 3 \le 5$ (đúng). Vậy điểm $M$ thuộc miền nghiệm đã cho.

Ví dụ 2 (Biểu diễn miền nghiệm): Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x + 2y \le 6$.
Hướng dẫn:
- Vẽ đường thẳng $\Delta: x + 2y = 6$ đi qua hai điểm $(6; 0)$ và $(0; 3)$.
- Thay tọa độ gốc $O(0; 0)$ vào ta có $0 + 2 \cdot 0 = 0 \le 6$ (đúng).
- Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ chứa gốc tọa độ $O$, kể cả đường biên.

Ví dụ 3 (Bài toán tối ưu): Cho hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 6 \\ 2x + y \le 8 \end{cases}$$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$.
Hướng dẫn:
- Xác định miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $O(0; 0)$, $A(4; 0)$, $B(2; 4)$, $C(0; 6)$.
- Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh:
+ $F(0; 0) = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$
+ $F(4; 0) = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 0 = 12$
+ $F(2; 4) = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 14$
+ $F(0; 6) = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 6 = 12$
- Kết luận: Giá trị lớn nhất của $F$ là $14$, đạt được khi $(x; y) = (2; 4)$.

C. Bài tập tự luyện

Bài 9. Kiểm tra xem các điểm $A(1; 2)$ và $B(-1; 3)$ có là nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 4$ hay không.

Bài 10. Biểu diễn hình học miền nghiệm của bất phương trình $3x - 2y > 6$; nêu rõ đường biên có được lấy không.

Bài 11. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 8 \end{cases}$$

Bài 12. Xác định tọa độ các đỉnh của miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 5 \\ 2x + y \le 8 \end{cases}$$

Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = 2x + 3y$ trên miền nghiệm của hệ:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \end{cases}$$

Bài 14. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P(x; y) = 4x + 3y$ thỏa mãn hệ:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 7 \\ 2x + y \le 10 \end{cases}$$

Bài 15. Một cơ sở sản xuất hai loại sản phẩm $A$ và $B$. Mỗi sản phẩm loại $A$ lãi $30$ nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại $B$ lãi $20$ nghìn đồng. Cơ sở đó có thể sản xuất tổng cộng không quá $60$ sản phẩm; số sản phẩm loại $A$ không vượt quá $40$, số sản phẩm loại $B$ không vượt quá $35$. Hãy lập hệ điều kiện và xác định lợi nhuận lớn nhất cơ sở có thể đạt được.

Bài 16. Một bạn học sinh có tối đa $120$ phút để giải bài tập Toán và Lí. Mỗi bài Toán mất $20$ phút, mỗi bài Lí mất $15$ phút. Bạn đó dự định làm ít nhất $2$ bài Toán và ít nhất $2$ bài Lí. Lập hệ bất phương trình mô tả số bài tập $x$ (môn Toán) và $y$ (môn Lí) bạn có thể hoàn thành.

CHƯƠNG III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A. Kiến thức cần nhớ

- Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$):

$$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \quad ; \quad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$$

- Quy ước kí hiệu trong $\triangle ABC$: $a = BC, b = CA, c = AB$; $R, r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp; $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi.
- Định lí cosin:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \quad ; \quad \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

(tương tự cho các cạnh $b, c$).
- Định lí sin:

$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$$

- Công thức tính diện tích tam giác:

$$S = \dfrac{1}{2} a h_a = \dfrac{1}{2} bc \sin A = \dfrac{1}{2} ca \sin B = \dfrac{1}{2} ab \sin C$$

$$S = \dfrac{abc}{4R} = pr = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \quad \text{(công thức Hê-rông)}$$

- Dấu hiệu áp dụng:
+ Biết hai cạnh và góc xen giữa $\to$ áp dụng định lí cosin.
+ Biết một cặp cạnh – góc đối diện $\to$ áp dụng định lí sin.
+ Biết ba cạnh $\to$ áp dụng định lí cosin hoặc công thức Hê-rông.

B. Ví dụ có hướng dẫn

Ví dụ 1 (Góc bù): Tính $\sin 120^\circ$ và $\cos 120^\circ$.
Hướng dẫn:
- $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- $\cos 120^\circ = -\cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$.

Ví dụ 2 (Định lí cosin): Trong tam giác $ABC$, cho $AB = 5\text{ cm}$, $AC = 7\text{ cm}$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $BC$.
Hướng dẫn: Áp dụng định lí cosin:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39$$

Vậy $BC = \sqrt{39}\text{ cm}$.

Ví dụ 3 (Diện tích tam giác): Cho tam giác có hai cạnh kề góc $30^\circ$ dài $8\text{ cm}$ và $10\text{ cm}$. Tính diện tích tam giác đó.
Hướng dẫn: Áp dụng công thức diện tích:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 80 \cdot \dfrac{1}{2} = 20\text{ cm}^2$$

Ví dụ 4 (Định lí sin): Cho tam giác $ABC$ có $a = 6\text{ cm}$, $\widehat{A} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 45^\circ$. Tính độ dài cạnh $b$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$.
Hướng dẫn:
- Áp dụng định lí sin: $2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{6}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{\frac{1}{2}} = 12 \Rightarrow R = 6\text{ cm}$.
- Ta có $b = 2R \sin B = 12 \cdot \sin 45^\circ = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}$.

C. Bài tập tự luyện

Bài 17. Tính các giá trị lượng giác: $\sin 150^\circ$, $\cos 150^\circ$, $\sin 135^\circ$, $\cos 135^\circ$.

Bài 18. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $BC$.

Bài 19. Một tam giác có ba cạnh dài $5\text{ cm}$, $6\text{ cm}$, $7\text{ cm}$. Tính côsin của góc đối diện với cạnh dài $7\text{ cm}$.

Bài 20. Cho tam giác $ABC$ có $a = 10\text{ cm}$, $\widehat{A} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 45^\circ$. Tính cạnh $b$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp.

Bài 21. Cho tam giác có hai cạnh dài $9\text{ cm}$ và $12\text{ cm}$, góc xen giữa hai cạnh đó bằng $30^\circ$. Tính diện tích tam giác.

Bài 22. Cho tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là $13\text{ cm}$, $14\text{ cm}$, $15\text{ cm}$. Sử dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác.

Bài 23. Hai vị trí $A$ và $B$ trên mặt đất cách nhau $100\text{ m}$. Một người quan sát một đỉnh tháp $C$ thấy các góc $\widehat{CAB} = 45^\circ$ và $\widehat{CBA} = 60^\circ$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đỉnh $C$.

Bài 24. Một mảnh đất hình tam giác có hai cạnh dài $20\text{ m}$ và $30\text{ m}$, góc xen giữa hai cạnh đó bằng $120^\circ$. Tính độ dài cạnh thứ ba và diện tích của mảnh đất.

CHƯƠNG IV. VECTƠ

A. Kiến thức cần nhớ

- Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là $B$; độ dài kí hiệu $|\overrightarrow{AB}| = AB$. Vectơ-không $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, độ dài bằng $0$.
- Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Hai vectơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.
- Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
- Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
- Hiệu hai vectơ: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Quy tắc hiệu: $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$.
- Tích vectơ với một số:
+ $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ khi $k > 0$; ngược hướng với $\vec{a}$ khi $k < 0$.
+ Độ dài: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
- Các hệ thức trọng tâm và trung điểm:
+ $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$ (với mọi điểm $O$: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM}$).
+ $G$ là trọng tâm $\triangle ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ (với mọi điểm $O$: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$).

B. Ví dụ có hướng dẫn

Ví dụ 1 (Quy tắc ba điểm): Rút gọn biểu thức $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$.
Hướng dẫn:
Áp dụng quy tắc ba điểm liên tiếp:

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$$

Ví dụ 2 (Hình bình hành): Cho hình bình hành $ABCD$. Tính $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC}$.
Hướng dẫn:
- Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
- Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Rightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC} = \vec{0}$.

Ví dụ 3 (Trung điểm): Cho $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$.
Hướng dẫn: Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ có cùng độ dài nhưng ngược hướng. Do đó chúng là hai vectơ đối nhau, suy ra $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$.

C. Bài tập tự luyện

Bài 25. Cho ba điểm phân biệt $A, B, C$. Rút gọn tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$.

Bài 26. Cho hình bình hành $ABCD$. Rút gọn các tổng: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.

Bài 27. Cho $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Tính các tổng vectơ: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}$.

Bài 28. Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm. Tính tổng vectơ $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}$.

Bài 29. Cho $|\vec{a}| = 5$. Tính $|-2\vec{a}|$ và xác định hướng của vectơ $-2\vec{a}$ so với vectơ $\vec{a}$.

Bài 30. Cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Bài 31. Cho tứ giác $ABCD$. Rút gọn biểu thức $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$.

Bài 32. Cho tam giác $ABC$ và điểm $I$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$.

ĐÁP ÁN NGẮN – BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Lưu ý: Đề cương dùng để hệ thống kiến thức và luyện tập dạng bài. Đề kiểm tra tổng hợp 90 phút được giao riêng làm tại nhà.

--------- HẾT ---------