Đề cương ôn tập Đại số Toán 8 Học kỳ I

PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (20 câu)

Câu 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức thu gọn?

Câu 2. Bậc của đơn thức $A = -2x^3y^4z$ là

Câu 3. Cho đa thức $P = 3x^2y - 2xy^2 + 5x^2y - 4 + 2xy^2$. Thu gọn đa thức $P$ ta được

Câu 4. Giá trị của đa thức $M = 2x^2y - xy$ tại $x = -1$ và $y = 2$ bằng

Câu 5. Kết quả của phép nhân đơn thức $2xy^2$ với đa thức $3x^2 - y$ là

Câu 6. Thực hiện phép chia đơn thức $12x^4y^3z^2$ cho đơn thức $3x^2y^3$ được kết quả là

Câu 7. Khai triển của hằng đẳng thức $(2x - 3y)^2$ là

Câu 8. Biểu thức $x^2 - 16$ được viết dưới dạng tích là

Câu 9. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 10. Biểu thức $x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3$ bằng

Câu 11. Phân tích đa thức $5x^2 - 10xy$ thành nhân tử, ta được kết quả là

Câu 12. Phân tích đa thức $x^2 - y^2 + 2x + 1$ thành nhân tử được

Câu 13. Biểu thức nào sau đây không phải là một phân thức đại số?

Câu 14. Điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x + 2}{x^2 - 9}$ là

Câu 15. Rút gọn phân thức $\dfrac{2x - 4}{x^2 - 4}$ ta được kết quả là

Câu 16. Phân thức đối của phân thức $\dfrac{x - 1}{x + 2}$ là

Câu 17. Kết quả của phép tính $\dfrac{3x}{x - 1} - \dfrac{3}{x - 1}$ là

Câu 18. Kết quả của phép nhân $\dfrac{x^2 - y^2}{6x} \cdot \dfrac{2}{x + y}$ là

Câu 19. Phân thức nghịch đảo của phân thức $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ là

Câu 20. Với giá trị nào của $x$ thì phân thức $\dfrac{x - 3}{x + 5} = 0$?

PHẦN II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (5 câu)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 5. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 1. Cho hai đa thức:

$$A = 4x^3y - 3x^2y^2 + 5xy - 2$$

$$B = -x^3y + 3x^2y^2 - 2xy + 7$$

a) Đa thức $A$ có bậc bằng $4$.
b) Tổng $A + B = 3x^3y + 3xy + 5$.
c) Hiệu $A - B = 5x^3y - 6x^2y^2 + 7xy - 9$.
d) Tại $x = 1$ và $y = -1$, giá trị của đa thức tổng $A + B$ bằng $-1$.

Câu 2. Cho biểu thức $P = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2 - 8x$.
a) Khai triển $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
b) Khai triển $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 2x + 1$.
c) Giá trị của biểu thức $P$ không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$.
d) Biểu thức $P$ luôn nhận giá trị bằng $0$ với mọi số thực $x$.

Câu 3. Cho đa thức $Q(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$.
a) Khi nhóm các hạng tử $Q(x) = (x^3 - 3x^2) - (4x - 12)$ ta có nhân tử chung là $x - 3$.
b) Đa thức $Q(x)$ được phân tích thành tích của ba đa thức bậc nhất là $(x - 3)(x - 2)(x + 2)$.
c) Đa thức $Q(x) = 0$ khi và chỉ khi $x \in \{2; 3\}$.
d) Tại $x = 103$, giá trị của biểu thức $Q(103)$ là một số chia hết cho $105$.

Câu 4. Cho phân thức đại số $M = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}$.
a) Phân thức $M$ xác định khi và chỉ khi $x \ne 2$.
b) Rút gọn phân thức $M$ ta được kết quả là $\dfrac{x - 2}{x + 2}$.
c) Tại $x = 2$, giá trị của phân thức $M$ bằng $0$.
d) Có đúng $3$ giá trị nguyên của $x$ để phân thức $M$ nhận giá trị nguyên.

Câu 5. Cho biểu thức $A = \left( \dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 2} \right) : \dfrac{2}{x^2 - 4}$.
a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ne 2$ và $x \ne -2$.
b) Biểu thức trong ngoặc có kết quả thu gọn là $\dfrac{4}{x^2 - 4}$.
c) Kết quả rút gọn của biểu thức $A$ bằng $2$.
d) Với mọi giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện xác định, biểu thức $A$ luôn lớn hơn $0$.

PHẦN III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (5 câu)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 5.

Câu 1. Cho đa thức $P = 5x^2y^3 - 2x^3y^2 + 7xy^4 - 9$. Tính bậc của đa thức $P$.

Đáp án: ............................................................

Câu 2. Tìm giá trị của số tự nhiên $n$ biết rằng đơn thức $A = 15x^n y^3$ chia hết cho đơn thức $B = 3x^4 y^{n-1}$.

Đáp án: ............................................................

Câu 3. Biết đa thức $x^2 + 6x + m$ là bình phương của một nhị thức bậc nhất. Tìm giá trị của hằng số $m$.

Đáp án: ............................................................

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x) = x^2 - 6x + 14$.

Đáp án: ............................................................

Câu 5. Một mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có chiều dài là $x$ mét và chiều rộng kém chiều dài $4$ mét. Người ta tăng chiều dài thêm $3$ mét và giảm chiều rộng đi $2$ mét. Biết diện tích mảnh vườn mới giảm đi $18\text{ m}^2$ so với ban đầu. Tìm chiều dài ban đầu $x$ của mảnh vườn (đơn vị: mét).

Đáp án: ............................................................

PHẦN IV. TỰ LUẬN (5 bài)

Bài 1 (Đơn thức và đa thức nhiều biến).
Cho hai đa thức:

$$A = 2x^2y - 3xy^2 + 5x - 1$$

$$B = -x^2y + 3xy^2 - 2x + 4$$

a) Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức $A$ và $B$.
b) Tính tổng $C = A + B$.
c) Tính hiệu $D = A - B$.
d) Tính giá trị của đa thức $C$ tại $x = 2$ và $y = -1$.
e) Tìm đa thức $M$ biết rằng $M + B = 2A - xy^2$.

Bài 2 (Hằng đẳng thức đáng nhớ).
Thực hiện các yêu cầu sau:
a) Khai triển các biểu thức: $(3x + 2y)^2$ và $(x - 4)^3$.
b) Rút gọn biểu thức: $P = (x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
c) Tính nhanh giá trị của biểu thức: $Q = 73^2 + 27^2 + 54 \cdot 73$.
d) Cho $x + y = 5$ và $xy = 6$. Tính giá trị của các biểu thức $x^2 + y^2$ và $x^3 + y^3$.
e) Chứng minh rằng biểu thức $A = x^2 - 4x + 7 > 0$ với mọi số thực $x$.

Bài 3 (Phân tích đa thức thành nhân tử).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $3x^2y - 6xy^2 + 9xy$.
b) $x^2 - 10x + 25 - y^2$.
c) $x^2 - 5x + 6$.
d) $x^3 - 4x^2 + 4x$.
e) $(x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12$.

Bài 4 (Phân thức đại số và rút gọn).
Cho biểu thức:

$$P = \left( \dfrac{x}{x^2 - 4} + \dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{2}{x - 2} \right) : \left( 1 - \dfrac{x}{x + 2} \right)$$

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức $P$.
b) Rút gọn biểu thức $P$.
c) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x = 3$.
d) Tìm các giá trị của $x$ để $P < 0$.
e) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

Bài 5 (Toán thực tế và nâng cao).
a) Một tàu thủy du lịch đi xuôi dòng một khúc sông dài $60\text{ km}$, sau đó đi ngược dòng khúc sông đó $48\text{ km}$. Biết vận tốc của dòng nước là $3\text{ km/h}$ và vận tốc thực của tàu là $v\text{ km/h}$ ($v > 3$). Hãy viết phân thức biểu thị tổng thời gian tàu đi cả hai chuyến.
b) Tìm $x$, biết: $x^3 - 9x = 0$.
c) Cho ba số thực $a, b, c$ đôi một khác nhau thoả mãn $a + b + c = 0$. Tính giá trị của biểu thức:

$$S = \dfrac{a^2}{bc} + \dfrac{b^2}{ca} + \dfrac{c^2}{ab}$$

d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $B = -x^2 - 2y^2 + 2xy - 4x - 2y + 10$.
e) Cho các số dương $x, y$ thỏa mãn $x + y = 1$. Chứng minh rằng:

$$\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)\left( 1 + \dfrac{1}{y} \right) \ge 9$$

--------- HẾT ---------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1.
- Phương án A: $2x^2y \cdot 3x = 6x^3y$ (chưa thu gọn).
- Phương án B: $-5x^3y^2z$ là đơn thức đã thu gọn vì chỉ gồm tích của một hệ số với các lũy thừa của các biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần.
- Phương án C: $x(y + 1)$ là đa thức.
- Phương án D: $\dfrac{3}{x}y^2$ có biến ở mẫu nên không phải đơn thức.
- Chọn B.

Câu 2.
- Đơn thức $A = -2x^3y^4z$ có các biến $x, y, z$ với số mũ lần lượt là $3, 4, 1$.
- Bậc của đơn thức là tổng các số mũ: $3 + 4 + 1 = 8$.
- Chọn C.

Câu 3.
- Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$P = (3x^2y + 5x^2y) + (-2xy^2 + 2xy^2) - 4 = 8x^2y - 4$$

- Chọn A.

Câu 4.
- Thay $x = -1$ và $y = 2$ vào biểu thức $M$:

$$M = 2 \cdot (-1)^2 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 = 2 \cdot 1 \cdot 2 - (-2) = 4 + 2 = 6$$

- Chọn B.

Câu 5.
- Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức:

$$2xy^2(3x^2 - y) = 2xy^2 \cdot 3x^2 - 2xy^2 \cdot y = 6x^3y^2 - 2xy^3$$

- Chọn A.

Câu 6.
- Thực hiện phép chia hai đơn thức:

$$12x^4y^3z^2 : (3x^2y^3) = (12 : 3) \cdot (x^4 : x^2) \cdot (y^3 : y^3) \cdot z^2 = 4x^2z^2$$

- Chọn A.

Câu 7.
- Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:

$$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$$

- Chọn B.

Câu 8.
- Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

$$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$$

- Chọn C.

Câu 9.
- Khẳng định D sai vì theo hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

- Chọn D.

Câu 10.
- Viết lại biểu thức:

$$x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 - (2y)^3 = (x - 2y)^3$$

- Chọn A.

Câu 11.
- Đặt nhân tử chung là $5x$:

$$5x^2 - 10xy = 5x(x - 2y)$$

- Chọn A.

Câu 12.
- Nhóm ba hạng tử đầu thành hằng đẳng thức:

$$x^2 - y^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x + 1) - y^2 = (x + 1)^2 - y^2 = (x + 1 - y)(x + 1 + y)$$

- Chọn A.

Câu 13.
- Phân thức đại số có dạng $\dfrac{A}{B}$ với $A, B$ là các đa thức và $B \ne 0$.
- Biểu thức $\dfrac{\sqrt{x} + 1}{2}$ có tử thức $\sqrt{x} + 1$ không phải là đa thức.
- Chọn B.

Câu 14.
- Phân thức xác định khi mẫu thức khác $0$:

$$x^2 - 9 \ne 0 \Leftrightarrow (x - 3)(x + 3) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3 \text{ và } x \ne -3$$

- Chọn C.

Câu 15.
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn:

$$\dfrac{2x - 4}{x^2 - 4} = \dfrac{2(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{2}{x + 2}$$

- Chọn A.

Câu 16.
- Phân thức đối của $\dfrac{A}{B}$ là $-\dfrac{A}{B} = \dfrac{-A}{B}$.
- Do đó phân thức đối của $\dfrac{x - 1}{x + 2}$ là:

$$-\dfrac{x - 1}{x + 2} = \dfrac{-(x - 1)}{x + 2} = \dfrac{1 - x}{x + 2}$$

- Chọn A.

Câu 17.
- Thực hiện trừ hai phân thức cùng mẫu:

$$\dfrac{3x}{x - 1} - \dfrac{3}{x - 1} = \dfrac{3x - 3}{x - 1} = \dfrac{3(x - 1)}{x - 1} = 3$$

- Chọn A.

Câu 18.
- Thực hiện phép nhân phân thức:

$$\dfrac{x^2 - y^2}{6x} \cdot \dfrac{2}{x + y} = \dfrac{(x - y)(x + y) \cdot 2}{6x(x + y)} = \dfrac{2(x - y)}{6x} = \dfrac{x - y}{3x}$$

- Chọn A.

Câu 19.
- Phân thức nghịch đảo của $\dfrac{A}{B}$ (với $A, B \ne 0$) là $\dfrac{B}{A}$.
- Nghịch đảo của $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ là $\dfrac{x^2 + 1}{2x}$.
- Chọn B.

Câu 20.
- Điều kiện xác định: $x + 5 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -5$.
- Phân thức bằng $0$ khi tử thức bằng $0$:

$$x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \text{ (thỏa mãn điều kiện)}$$

- Chọn B.

PHẦN II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI

Câu 1.
- a) Đúng. Các hạng tử của $A$ có bậc lần lượt là $4; 4; 2; 0$. Hạng tử có bậc cao nhất là bậc $4$, nên bậc của $A$ bằng $4$.
- b) Đúng.

$$A + B = (4 - 1)x^3y + (-3 + 3)x^2y^2 + (5 - 2)xy + (-2 + 7) = 3x^3y + 3xy + 5$$

- c) Đúng.

$$A - B = (4 - (-1))x^3y + (-3 - 3)x^2y^2 + (5 - (-2))xy + (-2 - 7) = 5x^3y - 6x^2y^2 + 7xy - 9$$

- d) Đúng. Thay $x = 1, y = -1$ vào $A + B$:

$$A + B = 3 \cdot 1^3 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 \cdot (-1) + 5 = -3 - 3 + 5 = -1$$

Câu 2.
- a) Đúng. Khai triển $(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
- b) Sai. Khai triển $(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$ (khẳng định ghi $-2x$ là sai).
- c) Đúng. Ta có:

$$P = (4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - 4x + 1) - 8x = 8x - 8x = 0$$

Giá trị của $P$ luôn bằng $0$ với mọi $x$, tức không phụ thuộc vào biến $x$.
- d) Đúng. Biểu thức $P = 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Câu 3.
- a) Đúng. $Q(x) = x^2(x - 3) - 4(x - 3)$, hai nhóm đều chứa nhân tử chung là $x - 3$.
- b) Đúng. $Q(x) = (x - 3)(x^2 - 4) = (x - 3)(x - 2)(x + 2)$.
- c) Sai. $Q(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x \in \{3; 2; -2\}$. Khẳng định thiếu nghiệm $x = -2$.
- d) Đúng. Tại $x = 103$:

$$Q(103) = (103 - 3)(103 - 2)(103 + 2) = 100 \cdot 101 \cdot 105$$

Vì tích có thừa số $105$ nên $Q(103)$ chia hết cho $105$.

Câu 4.
- a) Sai. Điều kiện xác định là mẫu thức $x^2 - 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$ và $x \ne -2$.
- b) Đúng. Với $x \ne \pm 2$:

$$M = \dfrac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x - 2}{x + 2}$$

- c) Sai. Tại $x = 2$, mẫu thức bằng $0$ nên phân thức $M$ không xác định.
- d) Sai. Ta có:

$$M = \dfrac{x + 2 - 4}{x + 2} = 1 - \dfrac{4}{x + 2}$$

Để $M \in \mathbb{Z}$ thì $x + 2 \in Ư(4) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 4\}$.
Suy ra $x \in \{-1; -3; 0; -4; 2; -6\}$.
Kết hợp điều kiện $x \ne \pm 2$, ta nhận $5$ giá trị nguyên: $x \in \{-6; -4; -3; -1; 0\}$.

Câu 5.
- a) Đúng. Biểu thức xác định khi $x - 2 \ne 0$, $x + 2 \ne 0$, $x^2 - 4 \ne 0$ và phân thức chia có tử khác $0$ (tử là $2 \ne 0$), suy ra $x \ne \pm 2$.
- b) Đúng.

$$\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{x + 2 - (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{4}{x^2 - 4}$$

- c) Đúng.

$$A = \dfrac{4}{x^2 - 4} : \dfrac{2}{x^2 - 4} = \dfrac{4}{x^2 - 4} \cdot \dfrac{x^2 - 4}{2} = 2$$

- d) Đúng. Vì $A = 2 > 0$ với mọi $x \ne \pm 2$.

PHẦN III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1.
- Các hạng tử của $P$:
+ $5x^2y^3$ có bậc $2 + 3 = 5$.
+ $-2x^3y^2$ có bậc $3 + 2 = 5$.
+ $7xy^4$ có bậc $1 + 4 = 5$.
+ $-9$ có bậc $0$.
- Bậc của đa thức $P$ là $5$.
- Đáp số: $5$.

Câu 2.
- Đơn thức $A = 15x^n y^3$ chia hết cho $B = 3x^4 y^{n-1}$ khi và chỉ khi:

$$\begin{cases} n \ge 4 \\ 3 \ge n - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} n \ge 4 \\ n \le 4 \end{cases} \Leftrightarrow n = 4$$

- Đáp số: $4$.

Câu 3.
- Đa thức $x^2 + 6x + m = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + m$.
- Để đa thức là bình phương của một nhị thức bậc nhất $(x + 3)^2$ thì $m = 3^2 = 9$.
- Đáp số: $9$.

Câu 4.
- Biến đổi biểu thức:

$$F(x) = x^2 - 6x + 9 + 5 = (x - 3)^2 + 5$$

- Vì $(x - 3)^2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $F(x) \ge 5$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $x = 3$.
- Giá trị nhỏ nhất của $F(x)$ bằng $5$.
- Đáp số: $5$.

Câu 5.
- Điều kiện: Chiều dài ban đầu $x > 4$, sau khi giảm chiều rộng thì $x - 6 > 0 \Rightarrow x > 6$.
- Diện tích ban đầu của mảnh vườn là:

$$S_1 = x(x - 4) = x^2 - 4x\text{ (m}^2\text{)}$$

- Chiều dài mới là $x + 3$ (m) và chiều rộng mới là $x - 4 - 2 = x - 6$ (m).
- Diện tích mới của mảnh vườn là:

$$S_2 = (x + 3)(x - 6) = x^2 - 3x - 18\text{ (m}^2\text{)}$$

- Theo đề bài, diện tích mới giảm đi $18\text{ m}^2$ so với ban đầu:

$$S_1 - S_2 = 18 \Leftrightarrow (x^2 - 4x) - (x^2 - 3x - 18) = 18 \Leftrightarrow -x + 18 = 18 \Leftrightarrow x = 0\text{ (loại)}$$

(Ghi chú: Theo dữ kiện số học của bài toán dẫn đến $x = 0$; nếu đề bài cho diện tích mới tăng thêm $18\text{ m}^2$ thì $-x + 18 = -18 \Rightarrow x = 36\text{ m}$).
- Đáp số: Không tồn tại giá trị $x$ thỏa mãn thực tế (hoặc $x = 0$ theo biến đổi đại số).

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Bài 1

a)
- Đa thức $A = 2x^2y - 3xy^2 + 5x - 1$ và đa thức $B = -x^2y + 3xy^2 - 2x + 4$ đều không chứa các hạng tử đồng dạng nên đã được thu gọn.
- Xét bậc của từng hạng tử:
+ Trong $A$: bậc của $2x^2y$ là $3$; $-3xy^2$ là $3$; $5x$ là $1$; $-1$ là $0$. Do đó bậc của đa thức $A$ bằng $3$.
+ Trong $B$: bậc của $-x^2y$ là $3$; $3xy^2$ là $3$; $-2x$ là $1$; $4$ là $0$. Do đó bậc của đa thức $B$ bằng $3$.

b) Tính tổng $C = A + B$:

$$C = (2x^2y - 3xy^2 + 5x - 1) + (-x^2y + 3xy^2 - 2x + 4)$$

$$C = (2x^2y - x^2y) + (-3xy^2 + 3xy^2) + (5x - 2x) + (-1 + 4)$$

$$C = x^2y + 3x + 3$$

c) Tính hiệu $D = A - B$:

$$D = (2x^2y - 3xy^2 + 5x - 1) - (-x^2y + 3xy^2 - 2x + 4)$$

$$D = 2x^2y - 3xy^2 + 5x - 1 + x^2y - 3xy^2 + 2x - 4$$

$$D = (2x^2y + x^2y) + (-3xy^2 - 3xy^2) + (5x + 2x) + (-1 - 4)$$

$$D = 3x^2y - 6xy^2 + 7x - 5$$

d) Thay $x = 2$ và $y = -1$ vào đa thức $C$:

$$C = 2^2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 + 3 = -4 + 6 + 3 = 5$$

e) Ta có:

$$M + B = 2A - xy^2 \Rightarrow M = 2A - xy^2 - B$$

Tìm $2A$:

$$2A = 2(2x^2y - 3xy^2 + 5x - 1) = 4x^2y - 6xy^2 + 10x - 2$$

Suy ra:

$$2A - xy^2 = 4x^2y - 7xy^2 + 10x - 2$$

Do đó:

$$M = (4x^2y - 7xy^2 + 10x - 2) - (-x^2y + 3xy^2 - 2x + 4)$$

$$M = 4x^2y - 7xy^2 + 10x - 2 + x^2y - 3xy^2 + 2x - 4$$

$$M = 5x^2y - 10xy^2 + 12x - 6$$

Bài 2

a) Khai triển các biểu thức:

$$(3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$$

$$(x - 4)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 - 4^3 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64$$

b) Rút gọn biểu thức $P$:

$$P = (x^2 - 3^2) - (x^2 - 4x + 4) = x^2 - 9 - x^2 + 4x - 4 = 4x - 13$$

c) Áp dụng hằng đẳng thức $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$Q = 73^2 + 2 \cdot 73 \cdot 27 + 27^2 = (73 + 27)^2 = 100^2 = 10\,000$$

d)
- Ta có $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$. Thay số:

$$x^2 + y^2 = 5^2 - 2 \cdot 6 = 25 - 12 = 13$$

- Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương:

$$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 5 \cdot (13 - 6) = 5 \cdot 7 = 35$$

e) Ta có:

$$A = x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) + 3 = (x - 2)^2 + 3$$

Vì $(x - 2)^2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $(x - 2)^2 + 3 \ge 3 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Vậy biểu thức $A$ luôn nhận giá trị dương với mọi số thực $x$.

Bài 3

a) Đặt nhân tử chung là $3xy$:

$$3x^2y - 6xy^2 + 9xy = 3xy(x - 2y + 3)$$

b) Nhóm ba hạng tử đầu rồi dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

$$x^2 - 10x + 25 - y^2 = (x - 5)^2 - y^2 = (x - 5 - y)(x - 5 + y)$$

c) Tách hạng tử bậc nhất:

$$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6 = x(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)(x - 3)$$

d) Đặt nhân tử chung là $x$, sau đó dùng hằng đẳng thức:

$$x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2$$

e) Đặt biến phụ $t = x^2 + x$, biểu thức trở thành:

$$t^2 + 4t - 12 = t^2 + 6t - 2t - 12 = t(t + 6) - 2(t + 6) = (t - 2)(t + 6)$$

Thay $t = x^2 + x$ trở lại:

$$(x^2 + x - 2)(x^2 + x + 6) = (x - 1)(x + 2)(x^2 + x + 6)$$

Vì $x^2 + x + 6 = \left( x + \dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{23}{4} > 0$ với mọi $x$ nên không phân tích được nữa.