Đề cương ôn tập cuối học kì 1 Toán 8 (12 trắc nghiệm + 3 tự luận)

Số điểm $10$

5

8

4

7

Đáp án

B

C

A

D

A

B

B

C

D

A

B

B

1

a

Rút gọn biểu thức $P$ (1,5 điểm)

Với $x \ne 0; x \ne \pm 1$, ta có:
$P = \left( \dfrac{x + 1}{x - 1} - \dfrac{x - 1}{x + 1} - \dfrac{4}{x^2 - 1} \right) \cdot \dfrac{x + 1}{x}$

0,25

$P = \left[ \dfrac{(x + 1)^2 - (x - 1)^2 - 4}{(x - 1)(x + 1)} \right] \cdot \dfrac{x + 1}{x}$

0,50

Khai triển tử số trong ngoặc vuông:
$(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) - 4 = 4x - 4 = 4(x - 1)$

0,50

Do đó: $P = \dfrac{4(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \dfrac{x + 1}{x} = \dfrac{4}{x + 1} \cdot \dfrac{x + 1}{x} = \dfrac{4}{x}$

0,25

b

Tìm $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ (1,0 điểm)

Để $P = \dfrac{4}{x}$ nhận giá trị nguyên thì $4 \ \vdots \ x$, hay $x \in \text{Ư}(4)$

0,25

Ta có: $\text{Ư}(4) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 4\}$

0,25

Đối chiếu với điều kiện xác định $x \ne 0$ và $x \ne \pm 1$

0,25

Kết luận: $x \in \{-4; -2; 2; 4\}$ thì biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

0,25

2

[Hình vẽ]

a

Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (1,5 điểm)

Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{BAC} = 90^\circ$ hay $\widehat{DAE} = 90^\circ$.

0,50

Theo giả thiết: $MD \perp AB$ tại $D \implies \widehat{MDA} = 90^\circ$;
$ME \perp AC$ tại $E \implies \widehat{MEA} = 90^\circ$.

0,50

Tứ giác $ADME$ có ba góc vuông: $\widehat{DAE} = \widehat{MDA} = \widehat{MEA} = 90^\circ$, suy ra $ADME$ là hình chữ nhật.

0,50

b

Chứng minh tứ giác $AMBP$ là hình thoi (1,0 điểm)

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, có $M$ là trung điểm $BC$ và $MD \perp AB$ ($AC \perp AB \implies MD \parallel AC$).
Do đó $MD$ là đường trung bình của $\triangle ABC \implies D$ là trung điểm của $AB$.

0,25

Vì $P$ đối xứng với $M$ qua $D$ nên $D$ là trung điểm của $MP$.
Tứ giác $AMBP$ có hai đường chéo $AB$ và $MP$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường, nên $AMBP$ là hình bình hành.

0,25

Mặt khác, $AB \perp MP$ tại $D$ (do $MD \perp AB$).

0,25

Hình bình hành $AMBP$ có hai đường chéo vuông góc với nhau nên $AMBP$ là hình thoi.

0,25

c

Tìm điều kiện của $\triangle ABC$ để $ADME$ là hình vuông (1,0 điểm)

Hình chữ nhật $ADME$ là hình vuông khi và chỉ khi đường chéo $AM$ là tia phân giác của $\widehat{DAE}$ (tức $\widehat{BAC}$).

0,25

Trong tam giác vuông $ABC$, $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$.
Để $AM$ đồng thời là đường phân giác của góc $A$ thì tam giác $ABC$ phải cân tại $A$.

0,50

Vậy tam giác vuông $ABC$ cần thêm điều kiện cân tại $A$ (tức $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$) thì $ADME$ là hình vuông.

0,25

3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ (1,0 điểm)

Ta biến đổi biểu thức $A$ thành dạng tổng các bình phương:
$A = (x^2 - 4xy + 4y^2) + 10(x - 2y) + 25 + (y^2 - 2y + 1) + 2$

0,25

$A = \left[(x - 2y)^2 + 2 \cdot 5 \cdot (x - 2y) + 5^2\right] + (y - 1)^2 + 2$
$A = (x - 2y + 5)^2 + (y - 1)^2 + 2$

0,25

Vì $(x - 2y + 5)^2 \ge 0$ và $(y - 1)^2 \ge 0$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$,
nên $A \ge 2$ với mọi $x, y$.

0,25

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{cases} y - 1 = 0 \\ x - 2y + 5 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y = 1 \\ x - 2(1) + 5 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = -3 \\ y = 1 \end{cases}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $2$, đạt được khi $x = -3; y = 1$.

0,25