Đề cương ôn tập Chuyên đề 1 - Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (Toán 10)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 20. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất ba ẩn?

Câu 2. Bộ ba số $(x_0; y_0; z_0)$ nào sau đây là một nghiệm của phương trình $2x - y + 3z = 7$?

Câu 3. Hệ phương trình nào sau đây ở dạng tam giác?

Câu 4. Trong phương pháp khử Gauss đưa hệ phương trình về dạng tam giác, phép biến đổi nào sau đây không làm thay đổi tập nghiệm của hệ?

Câu 5. Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$. Nghiệm $(x; y; z)$ của hệ là

Câu 6. Cho hệ phương trình dạng tam giác $\begin{cases} x - 2y + 3z = 9 \\ y - 2z = -4 \\ 3z = 9 \end{cases}$. Giá trị của $x + y + z$ bằng

Câu 7. Nếu một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau khi dùng các phép biến đổi Gauss xuất hiện một phương trình có dạng $0x + 0y + 0z = 5$ thì kết luận nào sau đây đúng?

Câu 8. Cân bằng phản ứng hoá học $x\ce{Fe} + y\ce{O2} \xrightarrow{t^\circ} z\ce{Fe3O4}$ bằng việc giải hệ phương trình bảo toàn nguyên tố. Bộ ba hệ số nguyên dương tối giản $(x; y; z)$ là

Câu 9. Cho parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ đi qua ba điểm $A(1; 4)$, $B(-1; 10)$ và $C(2; 7)$. Giá trị của biểu thức $a + b + c$ bằng

Câu 10. Một cửa hàng bán ba loại nước giải khát $A, B, C$. Ngày thứ nhất bán $1$ chai $A$, $2$ chai $B$, $3$ chai $C$ thu được $52$ nghìn đồng. Ngày thứ hai bán $2$ chai $A$, $1$ chai $B$, $1$ chai $C$ thu được $38$ nghìn đồng. Ngày thứ ba bán $3$ chai $A$, $3$ chai $B$, $2$ chai $C$ thu được $76$ nghìn đồng. Giá tiền một chai loại $B$ là

Câu 11. Ba lớp 10A, 10B, 10C quyên góp được tổng cộng $240$ quyển sách. Lớp 10A quyên góp nhiều hơn lớp 10B là $20$ quyển. Tổng số sách của lớp 10A và 10B gấp $3$ lần số sách của lớp 10C. Số sách của lớp 10B là

Câu 12. Tìm tham số $m$ để hệ phương trình $\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ 3x + mz = 5 \end{cases}$ nhận $(1; 1; 1)$ làm nghiệm.

Câu 13. Hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 5y + z = 10 \\ 3x + 7y = 13 \end{cases}$ có bao nhiêu nghiệm?

Câu 14. Một tam giác có chu vi bằng $36$ cm. Cạnh lớn nhất dài hơn cạnh nhỏ nhất $6$ cm. Cạnh trung bình bằng trung bình cộng của hai cạnh kia. Độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là

Câu 15. Một công ty vận tải có ba loại xe: xe nhỏ chở $2$ tấn, xe trung bình chở $5$ tấn, xe lớn chở $10$ tấn. Đội xe gồm $18$ chiếc chở được tối đa $105$ tấn hàng. Biết số xe nhỏ gấp đôi số xe trung bình. Số xe lớn là

Câu 16. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y - 2z = 1 \\ 2x + 3y + z = 7 \\ 3x + 4y - z = 8 \end{cases}$. Biểu diễn nghiệm tổng quát của hệ theo ẩn tự do $z = t$ ($t \in \mathbb{R}$) là

Câu 17. Ba người thợ $A, B, C$ cùng làm một công việc. Nếu cả ba người cùng làm thì sau $4$ ngày xong việc. Nếu người $A$ và người $B$ cùng làm thì sau $6$ ngày xong. Nếu người $B$ và người $C$ cùng làm thì sau $8$ ngày xong. Hỏi nếu người $B$ làm một mình thì hoàn thành công việc sau bao nhiêu ngày?

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 3 \\ x + 2y + mz = 2 \end{cases}$ có vô số nghiệm.

Câu 19. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y + 3z = m \\ 2x + 3y + 4z = 2 \\ 3x + 4y + 5z = 1 \end{cases}$. Giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm là

Câu 20. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + 3y + 5z = 23 \end{cases}$. Trong tất cả các nghiệm $(x; y; z)$ của hệ, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^2 + y^2 + z^2$ bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 8. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ 3x + 2y - z = 1 \end{cases}$.
a) Bộ số $(1; 1; 2)$ là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
b) Dùng phương pháp Gauss đưa hệ về nghiệm duy nhất $(x; y; z)$ có $z = 2$.
c) Nghiệm duy nhất của hệ thoả mãn $x < y < z$.
d) Biểu thức $2x + 3y - z = 3$ với $(x; y; z)$ là nghiệm của hệ.

Câu 2. Cho parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) đi qua ba điểm $A(1; 0)$, $B(2; 3)$ và $C(-1; 6)$.
a) Thiết lập được hệ phương trình ba ẩn $a, b, c$ là $\begin{cases} a + b + c = 0 \\ 4a + 2b + c = 3 \\ a - b + c = 6 \end{cases}$.
b) Nghiệm của hệ là $(a; b; c) = (2; -3; 1)$.
c) Đỉnh của parabol $(P)$ có hoành độ bằng $\dfrac{3}{4}$.
d) Giá trị của hàm số tại $x = 3$ là $P(3) = 10$.

Câu 3. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + 4y - 2z = 2 \\ 3x + 6y - 3z = 3 \end{cases}$.
a) Phương trình thứ hai và thứ ba đều là bội số của phương trình thứ nhất.
b) Hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào hai ẩn số tự do.
c) Bộ ba số $(1; 0; 0)$ là một nghiệm của hệ phương trình.
d) Nếu chọn $y = u$ và $z = v$ với $u, v \in \mathbb{R}$, thì nghiệm tổng quát của hệ là $(1 - 2u + v; u; v)$.

Câu 4. Một xưởng sản xuất ba loại sản phẩm $X, Y, Z$ cần dùng ba loại máy cắt, tiện, mài. Thời gian (tính bằng giờ) sử dụng mỗi loại máy cho một đơn vị sản phẩm và tổng quỹ thời gian cho trong bảng sau:

a) Gọi $x, y, z$ lần lượt là số sản phẩm $X, Y, Z$ sản xuất được, ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} x + 2y + z = 16 \\ 2x + y + 3z = 27 \\ x + 3y + 2z = 23 \end{cases}$.
b) Xưởng sản xuất được $4$ sản phẩm $X$, $5$ sản phẩm $Y$ và $6$ sản phẩm $Z$.
c) Số lượng sản phẩm $Z$ sản xuất được ít hơn số lượng sản phẩm $Y$.
d) Nếu mỗi sản phẩm $X, Y, Z$ mang lại lợi nhuận lần lượt là $200$, $300$, $400$ nghìn đồng thì tổng lợi nhuận đạt $4\,700$ nghìn đồng.

Câu 5. Cân bằng phản ứng hoá học sau:
$a\ce{Cu} + b\ce{HNO3} \rightarrow c\ce{Cu(NO3)2} + d\ce{NO} + e\ce{H2O}$, trong đó $a, b, c, d, e$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.
a) Áp dụng định luật bảo toàn nguyên tố đối với đồng ($\ce{Cu}$), ta có $a = c$.
b) Áp dụng định luật bảo toàn nguyên tố đối với hydro ($\ce{H}$) và oxy ($\ce{O}$), ta có hệ thức $b = 2e$ và $3b = 6c + d + e$.
c) Nếu chọn $c = 3$, giải hệ phương trình bảo toàn nguyên tố ta được $a = 3$, $b = 8$, $d = 2$, $e = 4$.
d) Tổng các hệ số cân bằng nguyên tối giản là $a + b + c + d + e = 20$.

Câu 6. Cho mạng điện có ba dòng điện $I_1, I_2, I_3$ (đơn vị: A). Theo định luật Kirchhoff ta thiết lập được hệ phương trình:
$\begin{cases} I_1 - I_2 - I_3 = 0 \\ 2I_1 + 4I_2 = 12 \\ 4I_2 - 6I_3 = -2 \end{cases}$.
a) Dòng điện $I_1$ bằng tổng của hai dòng điện $I_2$ và $I_3$.
b) Cường độ dòng điện $I_2 = 2$ A.
c) Cường độ dòng điện $I_1 = 3$ A và $I_3 = 1$ A.
d) Cường độ dòng điện qua nhánh thứ nhất là lớn nhất trong ba nhánh.

Câu 7. Một quỹ tài chính đầu tư $600$ triệu đồng vào ba danh mục: trái phiếu chính phủ (lãi suất $6\%$/năm), trái phiếu ngân hàng (lãi suất $8\%$/năm) và cổ phiếu (kỳ vọng lợi nhuận $12\%$/năm). Sau một năm, tổng lợi nhuận thu được là $50$ triệu đồng. Biết số tiền đầu tư vào trái phiếu chính phủ gấp đôi số tiền đầu tư vào trái phiếu ngân hàng.
a) Gọi $x, y, z$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền đầu tư vào ba danh mục, ta có phương trình vốn là $x + y + z = 600$.
b) Phương trình tổng lợi nhuận là $0{,}06x + 0{,}08y + 0{,}12z = 50$.
c) Số tiền đầu tư vào cổ phiếu là $150$ triệu đồng.
d) Số tiền đầu tư vào trái phiếu chính phủ là $300$ triệu đồng.

Câu 8. Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn chứa tham số $m$: $\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + 2y + 3z = 6 \\ 2x + 3y + mz = 9 \end{cases}$.
a) Khi $m = 4$, phương trình thứ ba bằng tổng của hai phương trình đầu.
b) Khi $m = 4$, hệ phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng $(t; 3 - 2t; t)$ ($t \in \mathbb{R}$).
c) Khi $m = 5$, hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(1; 1; 1)$.
d) Tồn tại giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình vô nghiệm.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12.

Câu 1. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y + 3z = 14 \\ 2x - y + z = 7 \\ 3x + y - 2z = 1 \end{cases}$. Tính giá trị của biểu thức $T = x^2 + y^2 + z^2$.

Câu 2. Một cửa hàng bán ba loại gạo: gạo nàng thơm giá $20$ nghìn đồng/kg, gạo lài sữa giá $18$ nghìn đồng/kg và gạo ST25 giá $30$ nghìn đồng/kg. Một khách hàng mua tổng cộng $50$ kg cả ba loại gạo hết $1\,160$ nghìn đồng. Biết lượng gạo lài sữa gấp đôi lượng gạo nàng thơm. Khách hàng đã mua bao nhiêu kilôgam gạo ST25?

Câu 3. Cho parabol $y = ax^2 + bx + c$ có đỉnh $I(2; -1)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $3$. Tính giá trị của biểu thức $K = a + 2b + 3c$.

Câu 4. Tìm giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình sau có vô số nghiệm:
$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 2x + 3y + z = 7 \\ 3x + 4y + mz = 9 \end{cases}$.

Câu 5. Ba đội máy cày gồm $24$ máy cày có cùng công suất làm việc trên ba cánh đồng có diện tích như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong $3$ ngày, đội thứ hai hoàn thành trong $4$ ngày và đội thứ ba hoàn thành trong $6$ ngày. Hỏi đội thứ hai có bao nhiêu chiếc máy cày?

Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đường tròn $(C): x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ đi qua ba điểm $M(0; 1)$, $N(1; 0)$ và $P(2; 3)$. Tính bán kính $R$ của đường tròn $(C)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 7. Một xưởng đúc đồng cần luyện $100$ kg hợp kim đồng thau chứa $70\%$ đồng từ ba thỏi đồng thau có hàm lượng đồng lần lượt là $50\%$, $60\%$ và $80\%$. Biết khối lượng thỏi thứ nhất dùng gấp đôi khối lượng thỏi thứ hai. Tính khối lượng (kg) của thỏi thứ ba được sử dụng.

Câu 8. Cân bằng phản ứng hoá học sau bằng cách lập hệ phương trình:
$x\ce{KMnO4} + y\ce{HCl} \rightarrow z\ce{KCl} + t\ce{MnCl2} + u\ce{Cl2} + v\ce{H2O}$.
Sau khi cân bằng với các hệ số nguyên dương tối giản, xác định giá trị của tỉ số $\dfrac{y}{x}$.

Câu 9. Một người đi xe đạp trên quãng đường dài $26$ km gồm ba đoạn: lên dốc, đường bằng và xuống dốc. Thời gian đi đoạn đường bằng là $30$ phút với vận tốc $16$ km/h. Vận tốc lên dốc là $10$ km/h, vận tốc xuống dốc là $24$ km/h. Tổng thời gian đi cả quãng đường là $1$ giờ $35$ phút. Tính độ dài đoạn đường lên dốc theo đơn vị kilômét (km).

Câu 10. Cho hệ phương trình ba ẩn sau:
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} - \dfrac{3}{z} = 1 \\ \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 5 \\ \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{2}{z} = 6 \end{cases}$.
Tìm giá trị của tích $P = x \cdot y \cdot z$.

Câu 11. Cho hệ phương trình $\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{cases}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $(x; y; z)$ thoả mãn điều kiện $x > 0, y > 0, z > 0$?

Câu 12. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x + 5y + 3z = 9 \\ 3x + 7y + 4z = 13 \end{cases}$. Trong các nghiệm $(x; y; z)$ của hệ thoả mãn $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F = 3x + 2y - z$.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các câu hỏi sau.

Câu 1 (1,0 điểm). Dùng phương pháp khử Gauss, giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x + 5y + z = 9 \\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$$

Câu 2 (1,0 điểm). Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất ba ẩn theo tham số $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 3 \\ 3x + 4y + mz = 4 \end{cases}$$

Câu 3 (1,0 điểm). Xác định các hệ số $a, b, c, d$ của đa thức bậc ba $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $1$, và đi qua ba điểm $B(1; 0)$, $C(-1; 4)$, $D(2; 7)$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cân bằng phương trình phản ứng oxi hoá - khử sau bằng phương pháp thiết lập hệ phương trình bậc nhất:

$$\ce{FeS2} + \ce{HNO3} \rightarrow \ce{Fe(NO3)3} + \ce{H2SO4} + \ce{NO} + \ce{H2O}$$

Câu 5 (1,0 điểm). Cho mạng điện kín gồm ba nhánh có dòng điện $I_1, I_2, I_3$ chạy qua. Theo các định luật Kirchhoff:
- Nút mạch: dòng điện đi vào bằng dòng điện đi ra: $I_1 = I_2 + I_3$.
- Mạch vòng 1: chứa nguồn điện $E_1 = 9$ V, điện trở trong và ngoài $R_1 = 3\,\Omega$, $R_3 = 6\,\Omega$: $E_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3$.
- Mạch vòng 2: chứa nguồn $E_2 = 4$ V, điện trở $R_2 = 2\,\Omega$, $R_3 = 6\,\Omega$: $E_2 = I_2 R_2 - I_3 R_3$.
Hãy thiết lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn và tính cường độ dòng điện $I_1, I_2, I_3$ qua mỗi nhánh.

Câu 6 (1,0 điểm). Một xí nghiệp may sản xuất ba loại sản phẩm: áo sơ mi, áo khoác và áo thun. Định mức nguyên vật liệu và giờ công cho mỗi sản phẩm như sau:
- Một áo sơ mi cần $1{,}5$ m vải cotton, $1$ m vải lót và $2$ giờ công.
- Một áo khoác cần $1$ m vải cotton, $2{,}5$ m vải lót và $3$ giờ công.
- Một áo thun cần $1{,}2$ m vải cotton, $0$ m vải lót và $1$ giờ công.
Xí nghiệp đã sử dụng hết $570$ m vải cotton, $450$ m vải lót và $700$ giờ công lao động. Tính số lượng mỗi loại áo mà xí nghiệp đã sản xuất.

Câu 7 (1,0 điểm). Một người gửi tiết kiệm tổng số tiền $800$ triệu đồng vào ba ngân hàng $X, Y, Z$ với kì hạn một năm. Lãi suất tại ngân hàng $X$ là $6\%$/năm, tại ngân hàng $Y$ là $6{,}5\%$/năm và tại ngân hàng $Z$ là $7\%$/năm. Sau một năm, tổng số tiền lãi người đó nhận được từ cả ba ngân hàng là $51{,}5$ triệu đồng. Biết rằng số tiền lãi thu được từ ngân hàng $Z$ nhiều hơn số tiền lãi thu được từ ngân hàng $X$ là $8$ triệu đồng. Tính số tiền người đó đã gửi vào mỗi ngân hàng.

Câu 8 (1,0 điểm). Một cổng chào hình parabol có dạng $y = ax^2 + bx + c$. Chiều rộng tại chân cổng đo được trên mặt đất là $AB = 8$ m, chiều cao đỉnh cổng là $6$ m. Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho gốc toạ độ $O$ là trung điểm chân cổng $AB$, trục $Oy$ hướng thẳng đứng lên trên đỉnh cổng.
a) Xác định toạ độ các điểm đặc biệt và lập phương trình của parabol biểu diễn cổng chào.
b) Một xe tải chở container hình hộp chữ nhật có chiều rộng $3$ m và chiều cao $4{,}5$ m muốn đi qua chính giữa cổng. Hỏi xe tải có qua lọt được cổng hay không? Giải thích rõ lý do.

Câu 9 (1,0 điểm). Một công ty kinh doanh phân bón dự định trộn ba loại phân tổng hợp $M_1, M_2, M_3$ để tạo ra một loại phân hỗn hợp mới.
- Loại $M_1$ chứa $10\%$ Đạm (N), $20\%$ Lân ($\ce{P2O5}$), $10\%$ Kali ($\ce{K2O}$); giá thành $12$ nghìn đồng/kg.
- Loại $M_2$ chứa $20\%$ Đạm, $10\%$ Lân, $10\%$ Kali; giá thành $14$ nghìn đồng/kg.
- Loại $M_3$ chứa $10\%$ Đạm, $10\%$ Lân, $30\%$ Kali; giá thành $15$ nghìn đồng/kg.
Khách hàng đặt hàng $100$ kg phân hỗn hợp có hàm lượng $13\%$ Đạm, $14\%$ Lân và $15\%$ Kali.
a) Tính khối lượng mỗi loại phân $M_1, M_2, M_3$ cần dùng để phối trộn đúng theo yêu cầu.
b) Tính tổng chi phí nguyên liệu để phối trộn $100$ kg phân hỗn hợp đó.

Câu 10 (1,0 điểm). Ba bể chứa nước $A, B, C$ dung tích lớn được nối với nhau qua một hệ thống bơm luân chuyển tự động. Trong mỗi chu kì hoạt động kéo dài một giờ:
- Bể $A$ bơm sang bể $B$ $10\%$ lượng nước hiện có của $A$, và bơm sang bể $C$ $10\%$ lượng nước của $A$.
- Bể $B$ bơm sang bể $A$ $20\%$ lượng nước hiện có của $B$, và bơm sang bể $C$ $10\%$ lượng nước của $B$.
- Bể $C$ bơm hồi quy về bể $A$ $15\%$ lượng nước hiện có của $C$, và giữ lại phần còn lại.
Sau khi hoàn thành một chu kì bơm, thể tích nước đo được tại các bể $A, B, C$ lần lượt là $95$ m$^3$, $105$ m$^3$ và $100$ m$^3$.
a) Thiết lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn xác định thể tích nước ban đầu $x, y, z$ (m$^3$) ở mỗi bể.
b) Áp dụng phương pháp Gauss, tìm thể tích nước ban đầu của ba bể $A, B, C$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................