ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN (NÂNG CAO) - TOÁN 10

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ HỌC TẬP TOÁN 10

CHUYÊN ĐỀ 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 20. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất ba ẩn?

Câu 2. Bộ ba số $(x_0; y_0; z_0)$ nào sau đây là một nghiệm của phương trình $2x - y + 3z = 7$?

Câu 3. Hệ phương trình nào sau đây ở dạng tam giác?

Câu 4. Trong phương pháp khử Gauss đưa hệ phương trình về dạng tam giác, phép biến đổi nào sau đây không làm thay đổi tập nghiệm của hệ?

Câu 5. Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$. Nghiệm $(x; y; z)$ của hệ là

Câu 6. Cho hệ phương trình dạng tam giác $\begin{cases} x - 2y + 3z = 9 \\ y - 2z = -4 \\ 3z = 9 \end{cases}$. Giá trị của $x + y + z$ bằng

Câu 7. Nếu một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau khi dùng các phép biến đổi Gauss xuất hiện một phương trình có dạng $0x + 0y + 0z = 5$ thì kết luận nào sau đây đúng?

Câu 8. Cân bằng phản ứng hoá học $x\ce{Fe} + y\ce{O2} \xrightarrow{t^\circ} z\ce{Fe3O4}$ bằng việc giải hệ phương trình bảo toàn nguyên tố. Bộ ba hệ số nguyên dương tối giản $(x; y; z)$ là

Câu 9. Cho parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ đi qua ba điểm $A(1; 4)$, $B(-1; 10)$ và $C(2; 7)$. Giá trị của biểu thức $a + b + c$ bằng

Câu 10. Một cửa hàng bán ba loại nước giải khát $A, B, C$. Ngày thứ nhất bán $1$ chai $A$, $2$ chai $B$, $3$ chai $C$ thu được $52$ nghìn đồng. Ngày thứ hai bán $2$ chai $A$, $1$ chai $B$, $1$ chai $C$ thu được $38$ nghìn đồng. Ngày thứ ba bán $3$ chai $A$, $3$ chai $B$, $2$ chai $C$ thu được $76$ nghìn đồng. Giá tiền một chai loại $B$ là

Câu 11. Ba lớp 10A, 10B, 10C quyên góp được tổng cộng $240$ quyển sách. Lớp 10A quyên góp nhiều hơn lớp 10B là $20$ quyển. Tổng số sách của lớp 10A và 10B gấp $3$ lần số sách của lớp 10C. Số sách của lớp 10B là

Câu 12. Tìm tham số $m$ để hệ phương trình $\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ 3x + mz = 5 \end{cases}$ nhận $(1; 1; 1)$ làm nghiệm.

Câu 13. Hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 5y + z = 10 \\ 3x + 7y = 13 \end{cases}$ có bao nhiêu nghiệm?

Câu 14. Một tam giác có chu vi bằng $36$ cm. Cạnh lớn nhất dài hơn cạnh nhỏ nhất $6$ cm. Cạnh trung bình bằng trung bình cộng của hai cạnh kia. Độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là

Câu 15. Một công ty vận tải có ba loại xe: xe nhỏ chở $2$ tấn, xe trung bình chở $5$ tấn, xe lớn chở $10$ tấn. Đội xe gồm $18$ chiếc chở được tối đa $105$ tấn hàng. Biết số xe nhỏ gấp đôi số xe trung bình. Số xe lớn là

Câu 16. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y - 2z = 1 \\ 2x + 3y + z = 7 \\ 3x + 4y - z = 8 \end{cases}$. Biểu diễn nghiệm tổng quát của hệ theo ẩn tự do $z = t$ ($t \in \mathbb{R}$) là

Câu 17. Ba người thợ $A, B, C$ cùng làm một công việc. Nếu cả ba người cùng làm thì sau $4$ ngày xong việc. Nếu người $A$ và người $B$ cùng làm thì sau $6$ ngày xong. Nếu người $B$ và người $C$ cùng làm thì sau $8$ ngày xong. Hỏi nếu người $B$ làm một mình thì hoàn thành công việc sau bao nhiêu ngày?

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 3 \\ x + 2y + mz = 2 \end{cases}$ có vô số nghiệm.

Câu 19. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y + 3z = m \\ 2x + 3y + 4z = 2 \\ 3x + 4y + 5z = 1 \end{cases}$. Giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm là

Câu 20. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + 3y + 5z = 23 \end{cases}$. Trong tất cả các nghiệm $(x; y; z)$ của hệ, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^2 + y^2 + z^2$ bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 8. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn chứa tham số thực $m$:

$$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 2x + 3y + mz = 7 \\ x + 2y + (2m + 1)z = 5 \end{cases}$$

a) Khi $m = 1$, ma trận hệ số sau các bước biến đổi Gauss đưa về hệ dạng tam giác có phương trình cuối là $2z = 0$.
b) Khi $m = -2$, hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào một tham số tự do.
c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m \ne -2$.
d) Khi hệ có nghiệm duy nhất $(x; y; z)$, nếu đặt $S = x + y + z$ thì $S = \dfrac{4m + 5}{m + 2}$.

Câu 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) đi qua hai điểm $A(1; 2)$, $B(-1; 8)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d: y = 2x - 3$.
a) Thiết lập được hai phương trình bậc nhất với ba ẩn $a, b, c$ từ giả thiết $(P)$ đi qua $A$ và $B$ là $a + b + c = 2$ và $a - b + c = 8$.
b) Từ toạ độ của $A$ và $B$, suy ra hệ số $b = -3$.
c) Điều kiện tiếp xúc giữa $(P)$ và $d$ dẫn đến phương trình bậc hai đối với $a$: $(b - 2)^2 - 4a(c + 3) = 0$.
d) Tồn tại duy nhất một bộ số $(a; b; c)$ thoả mãn bài toán với $a = 1, b = -3, c = 4$.

Câu 3. Cho hệ phương trình ba ẩn:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 5y + z = 11 \\ 3x + 7y = 14 \end{cases}$$

a) Phương trình thứ ba bằng tổng của hai phương trình đầu tiên.
b) Biểu diễn nghiệm tổng quát của hệ theo ẩn tự do $z = t$ ($t \in \mathbb{R}$) là $(x; y; z) = (-7 + 7t; 5 - 3t; t)$.
c) Có đúng hai bộ nghiệm nguyên dương $(x; y; z)$ thoả mãn hệ phương trình.
d) Trong tất cả các nghiệm thực của hệ, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^2 + y^2 + z^2$ đạt được khi $t = \dfrac{32}{59}$.

Câu 4. Một xí nghiệp cơ khí sản xuất ba chi tiết máy $A, B, C$ phục vụ ngành lắp ráp. Quá trình gia công cần qua ba phân xưởng: Đúc, Tiện và Lắp ráp. Thời gian định mức (tính bằng giờ) cho mỗi chi tiết và tổng thời gian khả dụng của từng xưởng trong một tuần được cho trong bảng sau:

a) Gọi $x, y, z$ lần lượt là số lượng chi tiết $A, B, C$ cần sản xuất. Nếu xí nghiệp sử dụng tối đa quỹ thời gian của ba phân xưởng, ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn với định thức hệ số khác $0$.
b) Nghiệm của hệ phương trình cho biết xí nghiệp sản xuất được $40$ chi tiết $A$, $50$ chi tiết $B$ và $60$ chi tiết $C$.
c) Nếu chi phí sản xuất mỗi chi tiết $A, B, C$ lần lượt là $120$ nghìn đồng, $150$ nghìn đồng và $200$ nghìn đồng thì tổng chi phí gia công trong tuần vượt quá $25$ triệu đồng.
d) Do nhu cầu thị trường thay đổi, nếu giảm số lượng chi tiết $C$ đi $10$ đơn vị mà vẫn muốn tận dụng hết công suất xưởng Đúc và Lắp ráp thì số lượng chi tiết $A$ cần sản xuất phải tăng thêm $15$ đơn vị.

Câu 5. Cân bằng phản ứng oxi hoá – khử phức tạp trong môi trường axit:

$$x\ce{Cu2S} + y\ce{HNO3} \rightarrow z\ce{Cu(NO3)2} + t\ce{H2SO4} + u\ce{NO} + v\ce{H2O}$$

trong đó $x, y, z, t, u, v$ là các số nguyên dương tối giản.
a) Áp dụng định luật bảo toàn nguyên tố đối với đồng ($\ce{Cu}$) và lưu huỳnh ($\ce{S}$), ta có $2x = z$ và $x = t$.
b) Phương trình bảo toàn nguyên tố nitơ ($\ce{N}$) và hydro ($\ce{H}$) là $y = 2z + u$ và $y = 2t + 2v$.
c) Phương trình bảo toàn nguyên tố oxy ($\ce{O}$) là $3y = 6z + 4t + u + v$.
d) Sau khi tìm các hệ số nguyên dương tối giản, ta có tổng các hệ số cân bằng $x + y + z + t + u + v = 48$ và tỉ lệ $\dfrac{u}{x} = \dfrac{10}{3}$.

Câu 6. Cho mạng điện hai mắt lưới chứa ba điện trở $R_1 = 2\,\Omega$, $R_2 = 4\,\Omega$, $R_3 = 6\,\Omega$ và hai nguồn điện có suất điện động $U_1=24$ V, $U_2=12$ V. Các dòng điện qua ba nhánh là $I_1, I_2, I_3$ (tính bằng Ampe). Theo định luật Kirchhoff, ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} I_1 - I_2 - I_3 = 0 \\ R_1 I_1 + R_2 I_2 = E_1 \\ R_3 I_3 - R_2 I_2 = E_2 \end{cases}$$

a) Phương trình thứ nhất biểu diễn định luật nút mạng: tổng dòng điện đi vào nút bằng tổng dòng điện đi ra khỏi nút.
b) Khi thay các thông số đã cho, ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác:

$$\begin{cases} I_1 - I_2 - I_3 = 0 \\ 2I_1 + 4I_2 = 24 \\ -4I_2 + 6I_3 = 12 \end{cases}$$

c) Cường độ dòng điện chạy qua điện trở $R_2$ là $I_2 = 1{,}5$ A.
d) Dòng điện $I_1$ có cường độ lớn nhất và công suất toả nhiệt trên toàn mạch $P = I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3$ lớn hơn $130$ W.

Câu 7. Một quỹ đầu tư tài chính phân bổ tổng số vốn $1$ tỉ đồng vào ba kênh: trái phiếu chính phủ (lãi suất $6\%$/năm), trái phiếu doanh nghiệp (lãi suất $9\%$/năm) và quỹ mở cổ phiếu (lợi nhuận kỳ vọng $14\%$/năm). Tổng lợi nhuận kỳ vọng sau một năm là $91$ triệu đồng. Để quản trị rủi ro, quy định đầu tư yêu cầu số tiền mua Trái phiếu chính phủ phải gấp đôi số tiền mua quỹ mở cổ phiếu. Gọi $x, y, z$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền đầu tư vào ba kênh trên.
a) Hệ phương trình mô tả các điều kiện đầu tư là:

$$\begin{cases} x + y + z = 1000 \\ 0{,}06x + 0{,}09y + 0{,}14z = 91 \\ x - 2z = 0 \end{cases}$$

b) Quỹ đầu tư đã chi $500$ triệu đồng để mua Trái phiếu doanh nghiệp.
c) Số tiền đầu tư vào Trái phiếu chính phủ là $400$ triệu đồng và vào Quỹ mở cổ phiếu là $200$ triệu đồng.
d) Nếu lãi suất Trái phiếu doanh nghiệp thực tế tăng thêm $1\%$ và lợi nhuận Quỹ mở cổ phiếu giảm đi $2\%$ thì tổng lợi nhuận thực tế đạt được là $92$ triệu đồng.

Câu 8. Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn với tham số $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 4z = 7 \\ 3x + 4y + mz = m^2 - 1 \end{cases}$$

a) Khử ẩn $x$ từ hai phương trình cuối bằng phương pháp Gauss, ta đưa hệ về:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ y + 2z = 3 \\ (m - 5)z = m^2 - 10 \end{cases}$$

b) Với $m = 5$, hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Có đúng hai giá trị của $m$ để hệ phương trình vô nghiệm.
d) Khi $m = 6$, nghiệm duy nhất $(x; y; z)$ của hệ thoả mãn $x + 2y + 3z = 52$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12.

Câu 1. Cho hệ phương trình ba ẩn sau:

$$\begin{cases} \dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{3}{y + 2} - \dfrac{1}{z - 3} = 4 \\ \dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{1}{y + 2} + \dfrac{2}{z - 3} = 5 \\ \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{y + 2} + \dfrac{3}{z - 3} = 7 \end{cases}$$

Tính giá trị của biểu thức $T = x + 2y + 3z$.

Câu 2. Một xưởng sản xuất chế biến ba loại quặng thô $Q_1, Q_2, Q_3$ để chiết xuất hai kim loại hiếm là niken và titan.
- Một tấn quặng $Q_1$ cho $4$ kg niken và $2$ kg titan;
- Một tấn quặng $Q_2$ cho $3$ kg niken và $5$ kg titan;
- Một tấn quặng $Q_3$ cho $5$ kg niken và $4$ kg titan.
Để thực hiện một đơn hàng cần chính xác $54$ kg niken và $52$ kg titan từ tổng cộng $12$ tấn quặng của cả ba loại trên, xưởng cần sử dụng bao nhiêu tấn quặng $Q_3$?

Câu 3. Cho parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) có đỉnh $I(1; -4)$ và đi qua điểm $A(3; 8)$. Gọi giao điểm của $(P)$ với trục hoành có hoành độ dương là $x_0$. Tính giá trị của biểu thức $H = a^2 + b^2 + c^2 + x_0$.

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình sau có vô số nghiệm:

$$\begin{cases} x + 2y - 3z = 1 \\ 2x + 5y + z = 5 \\ 3x + 7y + (m^2 - 11)z = m + 4 \end{cases}$$

Câu 5. Một người đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ trên chặng đường dài $140$ km chia làm ba đoạn: đường đèo dốc, đường gồ ghề và đường cao tốc. Vận tốc trên đường đèo dốc là $20$ km/h, đường gồ ghề là $30$ km/h và đường cao tốc là $80$ km/h. Tổng thời gian di chuyển hết $3$ giờ. Biết thời gian đi trên đường cao tốc bằng tổng thời gian đi trên hai đoạn đường còn lại, và chiều dài đoạn đường gồ ghề gấp đôi chiều dài đoạn đường đèo dốc. Tính độ dài đoạn đường cao tốc theo đơn vị kilômét (km).

Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đường tròn $(C): x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ đi qua ba điểm $M(1; 7)$, $N(-2; 4)$ và $P(2; 0)$. Tính khoảng cách từ tâm $I$ của đường tròn $(C)$ đến gốc toạ độ $O$.

Câu 7. Một phòng thí nghiệm cần pha chế $500$ ml dung dịch axit clohiđric ($\ce{HCl}$) nồng độ $20\%$ bằng cách trộn ba dung dịch axit cùng loại có nồng độ lần lượt là $10\%$, $18\%$ và $30\%$. Biết thể tích dung dịch $10\%$ cần dùng gấp đôi thể tích dung dịch $18\%$. Tính thể tích (ml) dung dịch axit nồng độ $30\%$ đã sử dụng.

Câu 8. Cân bằng phản ứng hoá học sau bằng phương pháp thiết lập hệ phương trình bảo toàn nguyên tố:

$$x\ce{Fe3O4} + y\ce{HNO3} \rightarrow z\ce{Fe(NO3)3} + t\ce{NO} + u\ce{H2O}$$

Sau khi tìm được các hệ số nguyên dương tối giản $(x; y; z; t; u)$, tính giá trị của biểu thức $S = x + y + z + t + u$.

Câu 9. Cho hệ phương trình ba ẩn:

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 8 \\ 2x + 5y + 4z = 15 \end{cases}$$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 2x^2 + y^2 + z^2$ với $(x; y; z)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Câu 10. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 3y + 5z = 5 \\ 3x + 4y + 6z = m \end{cases}$. Tìm giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình có nghiệm.

Câu 11. Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 3y + z = 4 \\ 3x + 4y + mz = 5 \end{cases}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10; 10]$ để hệ có nghiệm duy nhất $(x; y; z)$ thoả mãn điều kiện $x > 0, y > 0, z > 0$?

Câu 12. Cho hệ phương trình ba ẩn:

$$\begin{cases} x + y + 2z = 5 \\ 2x + 3y + 5z = 12 \\ 3x + 4y + 7z = 17 \end{cases}$$

Xét các nghiệm $(x; y; z)$ thoả mãn $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 4x + 5y + 2z$.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các câu hỏi sau.

Câu 1 (1,0 điểm). Dùng phương pháp khử Gauss, giải và biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 5y + z = 8 \\ 3x + (m + 6)y + (m^2 - 1)z = m + 11 \end{cases}$$

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn chứa tham số thực $k$:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x + 5y + 3z = 9 \\ 3x + 7y + 4z = k \end{cases}$$

a) Tìm giá trị của $k$ để hệ phương trình có nghiệm.
b) Với giá trị $k$ vừa tìm được, tìm nghiệm $(x; y; z)$ của hệ sao cho biểu thức $Q = x^2 + 2y^2 + z^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 (1,0 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất gốm sứ chế tạo một loại chậu hoa có tiết diện mặt cắt đứng là một đường cong bậc ba có dạng $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ trong hệ trục toạ độ $Oxy$ ($x$ và $y$ tính bằng đềximét). Biết đường cong đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$, đạt cực đại tại điểm $M(1; 2)$ (tức tiếp tuyến tại $M$ nằm ngang: $3a \cdot 1^2 + 2b \cdot 1 + c = 0$), và đi qua điểm $N(2; 0)$. Xác định công thức hàm số bậc ba đó.

Câu 4 (1,0 điểm). Cân bằng phương trình phản ứng oxi hoá – khử sau bằng phương pháp thiết lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bảo toàn nguyên tố:

$$\ce{FeS2} + \ce{HNO3} \rightarrow \ce{Fe(NO3)3} + \ce{H2SO4} + \ce{NO} + \ce{H2O}$$

với các hệ số cân bằng là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Nêu rõ các bước chọn ẩn phụ tự do để đưa về hệ phương trình chuẩn tắc.

Câu 5 (1,0 điểm). Xét mạng điện phức hợp gồm ba nhánh nối giữa hai nút $A$ và $B$ như hình vẽ dưới đây:
- Nhánh 1 gồm nguồn điện $E_1 = 18$ V và điện trở trong $r_1 = 1\,\Omega$ nối tiếp với điện trở ngoài $R_1 = 2\,\Omega$;
- Nhánh 2 gồm nguồn điện $E_2 = 12$ V mắc xung đối và điện trở trong $r_2 = 1\,\Omega$ nối tiếp với điện trở ngoài $R_2 = 3\,\Omega$;
- Nhánh 3 chỉ gồm điện trở tải $R_3 = 6\,\Omega$ nối giữa hai nút.
Dựa vào các định luật Kirchhoff đối với nút mạng và hai mạch vòng độc lập:
a) Thiết lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đối với cường độ dòng điện $I_1, I_2, I_3$ trên ba nhánh.
b) Giải hệ phương trình và xác định chiều cùng độ lớn của dòng điện chạy qua điện trở tải $R_3$.

Câu 6 (1,0 điểm). Một nhà máy cơ khí nhận hợp đồng sản xuất ba loại phụ tùng $M_1, M_2, M_3$. Để hoàn thành một đơn vị mỗi loại phụ tùng cần sử dụng thép tấm (m$^2$), thời gian dập (giờ) và thời gian sơn tĩnh điện (giờ) với các định mức kỹ thuật như sau:
- Một phụ tùng $M_1$ cần $2$ m$^2$ thép, $1$ giờ dập và $2$ giờ sơn; lợi nhuận $400$ nghìn đồng.
- Một phụ tùng $M_2$ cần $3$ m$^2$ thép, $2$ giờ dập và $1$ giờ sơn; lợi nhuận $500$ nghìn đồng.
- Một phụ tùng $M_3$ cần $1$ m$^2$ thép, $3$ giờ dập và $2$ giờ sơn; lợi nhuận $450$ nghìn đồng.
Nhà máy đã sử dụng hết kho nguyên liệu gồm $250$ m$^2$ thép, $190$ giờ dập và $170$ giờ sơn tĩnh điện.
a) Thiết lập hệ phương trình và tính số lượng mỗi loại phụ tùng nhà máy đã gia công.
b) Tính tổng lợi nhuận thu được từ đợt sản xuất trên.

Câu 7 (1,0 điểm). Một công ty kinh doanh nông sản muốn phối trộn ba loại cà phê nhân Robusta, Arabica và Culi để tạo thành $1$ tấn ($1\,000$ kg) cà phê hỗn hợp cao cấp có giá bán tiêu chuẩn $145$ nghìn đồng/kg.
- Giá thu mua cà phê Robusta là $110$ nghìn đồng/kg;
- Giá thu mua cà phê Arabica là $180$ nghìn đồng/kg;
- Giá thu mua cà phê Culi là $150$ nghìn đồng/kg.
Theo yêu cầu kỹ thuật về hương vị và hàm lượng caffeine:
- Khối lượng Arabica dùng phải nhiều hơn hai lần khối lượng Robusta là $50$ kg.
- Tổng chi phí mua nguyên liệu để làm ra $1$ tấn cà phê hỗn hợp là $145$ triệu đồng.
Tính khối lượng mỗi loại cà phê nhân cần dùng để phối trộn.

Câu 8 (1,0 điểm). Một đường hầm giao thông xuyên núi có mặt cắt vòm là hình parabol với phương trình $y = ax^2 + bx + c$. Chiều rộng mặt đường của đường hầm (khoảng cách giữa hai chân vòm) là $AB = 12$ m, và chiều cao lớn nhất tại đỉnh vòm hầm là $7{,}2$ m.
a) Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ với gốc $O$ tại tâm mặt đường, trục $Oy$ thẳng đứng hướng lên đỉnh hầm. Hãy xác định toạ độ các điểm đặc biệt và viết phương trình parabol mô tả vòm hầm.
b) Do quy chuẩn an toàn giao thông, người ta chia đường hầm thành hai làn xe cơ giới đối xứng qua tâm $O$. Một xe chuyên dụng chở hàng siêu trường có dạng khối hộp chữ nhật chiều rộng $4$ m. Hỏi chiều cao tối đa của kiện hàng chở trên xe là bao nhiêu mét để khi xe đi đúng tim làn đường (khoảng cách từ mép ngoài xe đến chân hầm lớn hơn $1$ m và khoảng cách từ mép trên cùng của xe đến vòm hầm luôn giữ khoảng cách an toàn tối thiểu $0{,}5$ m)?

Câu 9 (1,0 điểm). Một công ty hoá chất điều chế dung dịch dinh dưỡng cho cây trồng bằng cách phối trộn ba dung dịch đậm đặc $S_1, S_2, S_3$. Thành phần dinh dưỡng theo tỉ lệ phần trăm thể tích của các chất chính $\left(N,P,K\right)$ trong từng loại dung dịch đậm đặc được cho như sau:
- Dung dịch $S_1$ chứa $10\% N, 10\% P, 30\% K$; giá $20$ nghìn đồng/lít.
- Dung dịch $S_2$ chứa $20\% N, 30\% P, 10\% K$; giá $25$ nghìn đồng/lít.
- Dung dịch $S_3$ chứa $30\% N, 20\% P, 20\% K$; giá $30$ nghìn đồng/lít.
Dung dịch thu được sau khi phối trộn chứa đúng $21$ lít chất $N$, $20$ lít chất $P$ và $19$ lít chất $K$.
a) Thiết lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn và tính thể tích mỗi dung dịch đậm đặc $S_1, S_2, S_3$ cần dùng.
b) Tính tổng chi phí nguyên liệu để phối trộn $100$ lít dung dịch dinh dưỡng đó.

Câu 10 (1,0 điểm). Một hệ thống thuỷ lợi tuần hoàn gồm ba hồ chứa nước điều hoà $A, B, C$ có tổng dung tích là $600$ nghìn m$^3$. Trong một chu kỳ điều tiết kéo dài $24$ giờ:
- Hồ $A$ xả $20\%$ dung tích của mình sang hồ $B$, và xả $10\%$ sang hồ $C$;
- Hồ $B$ xả $15\%$ dung tích của mình về hồ $A$, và xả $15\%$ sang hồ $C$;
- Hồ $C$ xả $10\%$ dung tích của mình về hồ $A$, xả $10\%$ sang hồ $B$; đồng thời bị bốc hơi và hao hụt mất $5\%$ dung tích của $C$.
Sau chu kỳ điều tiết $24$ giờ, lượng nước ghi nhận được tại hồ $A$ là $194$ nghìn m$^3$, tại hồ $B$ là $199$ nghìn m$^3$, và tại hồ $C$ là $192$ nghìn m$^3$.
a) Thiết lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn xác định lượng nước ban đầu $x, y, z$ (nghìn m$^3$) tại ba hồ chứa $A, B, C$.
b) Sử dụng phương pháp khử Gauss, tìm lượng nước ban đầu của mỗi hồ chứa.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................