Chuyên đề Toán 10: Phân tích vectơ và tính độ dài

CÁC BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3$, $AC = 6$ và $BC = 3\sqrt{3}$. Gọi $D$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $BD = \dfrac{1}{3}BC$, và $M$ là trung điểm của $AD$.
a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
b) Tính độ dài đoạn thẳng $BM$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4$, $AC = 6$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Gọi $D$ là chân đường phân giác trong của góc $A$. Kẻ $DE \parallel AB$ ($E \in AC$).
a) Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ và tìm tỉ số $\dfrac{AE}{AC}$.
b) Tính độ dài đoạn thẳng $DE$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5$, $AC = 8$ và độ dài đường trung tuyến $AM = \dfrac{\sqrt{129}}{2}$. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AI} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.
a) Biểu diễn $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{BI}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
b) Tính độ dài đoạn thẳng $BI$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AN = 2NC$. Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $BN$.
a) Tìm các số thực $x, y$ sao cho $\overrightarrow{AI} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$, từ đó suy ra tỉ số $\dfrac{AI}{AM}$.
b) Cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $24\text{ cm}^2$. Tính diện tích tam giác $ABI$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$, $AC = 8$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
a) Phân tích $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
b) Tính độ dài đoạn thẳng $AG$ và khoảng cách từ $G$ đến cạnh $AC$.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5$, $AC = 7$, $BC = 8$. Gọi $D$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BD} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$, $E$ là trung điểm của $AD$.
a) Phân tích $\overrightarrow{BE}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$.
b) Tính độ dài đoạn thẳng $BE$.

Bài 7. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M, N$ là hai điểm lần lượt thỏa mãn $\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NC} + 3\overrightarrow{NA} = \overrightarrow{0}$.
a) Biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
b) Gọi $P$ là trung điểm của $MN$. Biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $48\text{ cm}^2$, tính diện tích tam giác $AMP$.

Bài 8. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, $N$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $AN = \dfrac{1}{3}AB$. Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $DN$.
a) Biểu diễn $\overrightarrow{AI}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. Tìm tỉ số $\dfrac{AI}{AM}$.
b) Biết diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng $60\text{ cm}^2$. Tính diện tích tam giác $ADI$.

Bài 9. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3$, $AC = 5$ và $BC = 2\sqrt{13}$.
a) Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
b) Tính độ dài đường trung tuyến $AM$ và diện tích tam giác $ABC$.

Bài 10. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$, $AC = 9$. Gọi $D$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $BD = 2DC$. Cho biết $AD = 6$.
a) Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $AD$. Tính độ dài đoạn thẳng $BH$ và diện tích tam giác $ABD$.

--------- HẾT ---------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1

[Hình vẽ]

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

Vì $D$ thuộc cạnh $BC$ và $BD = \dfrac{1}{3}BC$ nên:

$$\overrightarrow{BD} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right)$$

Biểu diễn $\overrightarrow{AD}$:

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$

Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$, ta có:

$$\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}$$

Biểu diễn $\overrightarrow{BM}$:

$$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} = \left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}\right) - \overrightarrow{AB} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}$$

b) Tính độ dài đoạn thẳng $BM$:

Xét tam giác $ABC$ có:

$$AB^2 + BC^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36 = AC^2$$

Do đó, theo định lý Pythagore đảo, tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

Độ dài đoạn thẳng $BD$ là:

$$BD = \dfrac{1}{3}BC = \dfrac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$$

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $B$, áp dụng định lý Pythagore:

$$AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

Vì tam giác $ABD$ vuông tại $B$ và $M$ là trung điểm cạnh huyền $AD$, nên $BM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền:

$$BM = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

Bài 2

[Hình vẽ]

a) Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ và tìm tỉ số $\dfrac{AE}{AC}$:

Theo tính chất đường phân giác trong của góc $A$ trong tam giác $ABC$:

$$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 3DB = 2DC$$

Vì $D$ nằm giữa $B$ và $C$ nên hai vectơ $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{DC}$ ngược hướng:

$$3\overrightarrow{DB} + 2\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$$

Do đó:

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{5}\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$$

Vì $DE \parallel AB$ với $E \in AC$, áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác $ABC$:

$$\dfrac{CE}{CA} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{AE}{AC} = 1 - \dfrac{CE}{AC} = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$$

b) Tính độ dài đoạn thẳng $DE$:

Vì $DE \parallel AB$, theo hệ quả của định lý Ta-lét:

$$\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow DE = \dfrac{3}{5}AB = \dfrac{3}{5} \cdot 4 = \dfrac{12}{5} = 2,4$$

Bài 3

[Hình vẽ]

a) Biểu diễn $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{BI}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên:

$$\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$

Theo giả thiết $\overrightarrow{AI} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$, suy ra:

$$\overrightarrow{AI} = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$

(Do đó $I$ chính là trọng tâm của tam giác $ABC$).

Biểu diễn $\overrightarrow{BI}$:

$$\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AB} = \left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right) - \overrightarrow{AB} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$

b) Tính độ dài đoạn thẳng $BI$:

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến cho tam giác $ABC$:

$$AM^2 = \dfrac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4}$$

$$\Rightarrow \dfrac{129}{4} = \dfrac{2(5^2 + 8^2) - BC^2}{4} \Rightarrow 129 = 2(25 + 64) - BC^2 = 178 - BC^2 \Rightarrow BC^2 = 49 \Rightarrow BC = 7$$

Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $AC$. Vì $I$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $B, I, N$ thẳng hàng và $BI = \dfrac{2}{3}BN$.

Áp dụng công thức đường trung tuyến cho đoạn $BN$:

$$BN^2 = \dfrac{2(BA^2 + BC^2) - AC^2}{4} = \dfrac{2(5^2 + 7^2) - 8^2}{4} = \dfrac{2(25 + 49) - 64}{4} = \dfrac{148 - 64}{4} = 21$$

$$\Rightarrow BN = \sqrt{21}$$

Vậy độ dài đoạn thẳng $BI$ là:

$$BI = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}$$

Bài 4

[Hình vẽ]

a) Tìm các số thực $x, y$ và tỉ số $\dfrac{AI}{AM}$:

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Do điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $AM$ nên tồn tại số thực $k$ sao cho:

$$\overrightarrow{AI} = k\overrightarrow{AM} = \dfrac{k}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{k}{2}\overrightarrow{AC}$$

Mặt khác, vì $AN = 2NC \Rightarrow AN = \dfrac{2}{3}AC$, suy ra $\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
Do điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $BN$ nên tồn tại số thực $m$ sao cho:

$$\overrightarrow{BI} = m\overrightarrow{BN} \Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AB} = m\left(\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB}\right) = m\left(\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right)$$

$$\Rightarrow \overrightarrow{AI} = (1 - m)\overrightarrow{AB} + \dfrac{2m}{3}\overrightarrow{AC}$$

Vì hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, đồng nhất hệ số ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} \dfrac{k}{2} = 1 - m \\ \dfrac{k}{2} = \dfrac{2m}{3} \end{cases} \Rightarrow 1 - m = \dfrac{2m}{3} \Rightarrow \dfrac{5m}{3} = 1 \Rightarrow m = \dfrac{3}{5}$$

Thay $m = \dfrac{3}{5}$ vào biểu thức tính $k$:

$$\dfrac{k}{2} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow k = \dfrac{4}{5}$$

Vậy $x = \dfrac{2}{5}$, $y = \dfrac{2}{5}$ và $\dfrac{AI}{AM} = k = \dfrac{4}{5}$.

b) Tính diện tích tam giác $ABI$:

Vì $M$ là trung điểm cạnh $BC$ nên:

$$S_{ABM} = \dfrac{1}{2}S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 24 = 12\text{ cm}^2$$

Vì $I$ thuộc đoạn thẳng $AM$ và $\dfrac{AI}{AM} = \dfrac{4}{5}$, hai tam giác $ABI$ và $ABM$ có chung đường cao hạ từ $B$ xuống $AM$:

$$S_{ABI} = \dfrac{AI}{AM} \cdot S_{ABM} = \dfrac{4}{5} \cdot 12 = \dfrac{48}{5} = 9,6\text{ cm}^2$$

Bài 5

[Hình vẽ]

a) Phân tích $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên:

$$\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$

b) Tính độ dài đoạn thẳng $AG$ và khoảng cách từ $G$ đến cạnh $AC$:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$$

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$, độ dài đường trung tuyến $AM$ là:

$$AM = \dfrac{1}{2}BC = 5$$

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, ta có:

$$AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3} \cdot 5 = \dfrac{10}{3}$$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên cạnh $AC$, tức là $GH = d(G, AC)$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB \perp AC$, do đó khoảng cách từ đỉnh $B$ đến đường thẳng $AC$ chính là độ dài đoạn thẳng $AB = 6$.

Theo tính chất của trọng tâm tam giác, khoảng cách từ trọng tâm $G$ đến một cạnh bằng $\dfrac{1}{3}$ khoảng cách từ đỉnh đối diện đến cạnh đó:

$$d(G, AC) = GH = \dfrac{1}{3}d(B, AC) = \dfrac{1}{3}AB = \dfrac{1}{3} \cdot 6 = 2$$

(Cách 2 theo định lý Ta-lét: Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AC$, ta có $K$ là trung điểm $AC$ và $MK = \dfrac{AB}{2} = 3$. Vì $G \in AM$ với $\dfrac{AG}{AM} = \dfrac{2}{3}$ nên theo định lý Ta-lét, $\dfrac{GH}{MK} = \dfrac{AG}{AM} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow GH = \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2$).

Bài 6

[Hình vẽ]

a) Phân tích $\overrightarrow{BE}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$:

Ta có:

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BA} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}$$

Vì $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$ nên:

$$\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \dfrac{3}{8}\overrightarrow{BC}$$

Do đó:

$$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BA} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \dfrac{3}{8}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \dfrac{3}{8}\overrightarrow{BC}$$

b) Tính độ dài đoạn thẳng $BE$:

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$ để tính $\cos B$:

$$\cos B = \dfrac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2AB \cdot BC} = \dfrac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{B} = 60^\circ$$

Vì $BD = \dfrac{3}{4}BC = \dfrac{3}{4} \cdot 8 = 6$. Xét tam giác $ABD$ có $AB = 5, BD = 6, \widehat{B} = 60^\circ$.
Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABD$:

$$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cdot \cos B = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 25 + 36 - 30 = 31$$

Vì $E$ là trung điểm của cạnh $AD$ trong tam giác $ABD$, nên $BE$ là đường trung tuyến của tam giác $ABD$.
Áp dụng công thức đường trung tuyến:

$$BE^2 = \dfrac{2(BA^2 + BD^2) - AD^2}{4} = \dfrac{2(5^2 + 6^2) - 31}{4} = \dfrac{2(25 + 36) - 31}{4} = \dfrac{122 - 31}{4} = \dfrac{91}{4}$$

Suy ra:

$$BE = \dfrac{\sqrt{91}}{2}$$

Bài 7

[Hình vẽ]

a) Biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

Từ hệ thức $\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$, ta có:

$$\overrightarrow{MA} + 2\left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}\right) = \overrightarrow{0} \Rightarrow 3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$

Từ hệ thức $\overrightarrow{NC} + 3\overrightarrow{NA} = \overrightarrow{0}$, ta có:

$$\left(\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{AC}\right) + 3\overrightarrow{NA} = \overrightarrow{0} \Rightarrow 4\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$$

Do đó:

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$$

b) Tính diện tích tam giác $AMP$:

Từ câu a, ta có điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$ với $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{3}$, điểm $N$ nằm trên cạnh $AC$ với $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{4}$.
Tỉ số diện tích hai tam giác $AMN$ và $ABC$ là:

$$\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \dfrac{AM}{AB} \cdot \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}$$

$$\Rightarrow S_{AMN} = \dfrac{1}{6}S_{ABC} = \dfrac{1}{6} \cdot 48 = 8\text{ cm}^2$$

Vì $P$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$, nên $AP$ là đường trung tuyến của tam giác $AMN$:

$$S_{AMP} = \dfrac{1}{2}S_{AMN} = \dfrac{1}{2} \cdot 8 = 4\text{ cm}^2$$

Bài 8

[Hình vẽ]

a) Biểu diễn $\overrightarrow{AI}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$, tìm tỉ số $\dfrac{AI}{AM}$:

Vì $M$ là trung điểm của cạnh $CD$ nên:

$$\overrightarrow{DM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$$

Vì $I \in AM$, tồn tại số thực $k$ sao cho:

$$\overrightarrow{AI} = k\overrightarrow{AM} = \dfrac{k}{2}\overrightarrow{AB} + k\overrightarrow{AD}$$

Mặt khác, $N$ thuộc cạnh $AB$ với $AN = \dfrac{1}{3}AB \Rightarrow \overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Ta có:

$$\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$$

Vì $I \in DN$, tồn tại số thực $t$ sao cho:

$$\overrightarrow{DI} = t\overrightarrow{DN} \Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AD} = t\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\right) \Rightarrow \overrightarrow{AI} = \dfrac{t}{3}\overrightarrow{AB} + (1 - t)\overrightarrow{AD}$$

Đồng nhất hệ số của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ (do hai vectơ không cùng phương):

$$\begin{cases} \dfrac{k}{2} = \dfrac{t}{3} \\ k = 1 - t \end{cases} \Rightarrow \dfrac{1 - t}{2} = \dfrac{t}{3} \Rightarrow 3(1 - t) = 2t \Rightarrow 5t = 3 \Rightarrow t = \dfrac{3}{5}$$

Suy ra:

$$k = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$$

Vậy $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AD}$ và $\dfrac{AI}{AM} = k = \dfrac{2}{5}$.

b) Tính diện tích tam giác $ADI$:

Đường chéo $AC$ chia hình bình hành $ABCD$ thành hai tam giác có diện tích bằng nhau:

$$S_{ADC} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD} = \dfrac{1}{2} \cdot 60 = 30\text{ cm}^2$$

Vì $M$ là trung điểm của $CD$, tam giác $ADM$ có:

$$S_{ADM} = \dfrac{1}{2}S_{ADC} = \dfrac{1}{2} \cdot 30 = 15\text{ cm}^2$$

Vì $I \in AM$ và $\dfrac{AI}{AM} = \dfrac{2}{5}$, hai tam giác $ADI$ và $ADM$ có chung đường cao hạ từ $D$ xuống $AM$:

$$S_{ADI} = \dfrac{AI}{AM} \cdot S_{ADM} = \dfrac{2}{5} \cdot 15 = 6\text{ cm}^2$$

Bài 9

[Hình vẽ]

a) Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

Vì $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên:

$$\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$

b) Tính độ dài đường trung tuyến $AM$ và diện tích tam giác $ABC$:

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác $ABC$:

$$AM^2 = \dfrac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4} = \dfrac{2\left(3^2 + 5^2\right) - (2\sqrt{13})^2}{4} = \dfrac{2(9 + 25) - 52}{4} = \dfrac{68 - 52}{4} = \dfrac{16}{4} = 4$$

Suy ra:

$$AM = \sqrt{4} = 2$$

Tính diện tích tam giác $ABC$:
Nửa chu vi của tam giác $ABC$ là:

$$p = \dfrac{AB + AC + BC}{2} = \dfrac{3 + 5 + 2\sqrt{13}}{2} = 4 + \sqrt{13}$$

Các hiệu số:

$$p - a = (4 + \sqrt{13}) - 2\sqrt{13} = 4 - \sqrt{13}$$

$$p - b = (4 + \sqrt{13}) - 5 = \sqrt{13} - 1$$

$$p - c = (4 + \sqrt{13}) - 3 = \sqrt{13} + 1$$

Áp dụng công thức Heron:

$$S_{ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{(4 + \sqrt{13})(4 - \sqrt{13})(\sqrt{13} - 1)(\sqrt{13} + 1)}$$

$$= \sqrt{\left(4^2 - 13\right)\left(13 - 1^2\right)} = \sqrt{(16 - 13)(13 - 1)} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$$

Bài 10

[Hình vẽ]

a) Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

Vì $D$ thuộc cạnh $BC$ và $BD = 2DC$ nên hai vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và:

$$\overrightarrow{BD} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right)$$

Do đó:

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$

b) Tính độ dài đoạn thẳng $BH$ và diện tích tam giác $ABD$:

Bình phương vô hướng hai vế của biểu thức $\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$:

$$AD^2 = \left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)^2 = \dfrac{1}{9}AB^2 + \dfrac{4}{9}AC^2 + \dfrac{4}{9}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$

Thay số $AD = 6, AB = 6, AC = 9$ vào hệ thức:

$$6^2 = \dfrac{1}{9} \cdot 6^2 + \dfrac{4}{9} \cdot 9^2 + \dfrac{4}{9}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$

$$36 = 4 + 36 + \dfrac{4}{9}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \Rightarrow \dfrac{4}{9}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -4 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -9$$

Tính độ dài cạnh $BC$:

$$BC^2 = \overrightarrow{BC}^2 = \left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right)^2 = AC^2 + AB^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 9^2 + 6^2 - 2(-9) = 81 + 36 + 18 = 135$$

$$\Rightarrow BC = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$$

Độ dài đoạn thẳng $BD$ là:

$$BD = \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{2}{3} \cdot 3\sqrt{15} = 2\sqrt{15}$$

Xét tam giác $ABD$ có $AB = 6, AD = 6, BD = 2\sqrt{15}$, do đó tam giác $ABD$ cân tại $A$.
Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $BD$, ta có:

$$AK \perp BD \quad \text{và} \quad BK = \dfrac{1}{2}BD = \sqrt{15}$$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $AKB$:

$$AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{6^2 - (\sqrt{15})^2} = \sqrt{36 - 15} = \sqrt{21}$$

Diện tích tam giác $ABD$ là:

$$S_{ABD} = \dfrac{1}{2}AK \cdot BD = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{21} \cdot 2\sqrt{15} = \sqrt{315} = 3\sqrt{35}$$

Độ dài đường cao $BH$ hạ từ đỉnh $B$ vuông góc với $AD$ là:

$$BH = \dfrac{2S_{ABD}}{AD} = \dfrac{2 \cdot 3\sqrt{35}}{6} = \sqrt{35}$$