Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ Lớp 10 — 10 Bài Toán Tự Luận Nâng Cao Và Lời Giải Chi Tiết

PHẦN ĐỀ BÀI

Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$x^2 + 4\sqrt{x + 2} = x + 2\left(1 + \sqrt{x^2 + 3}\right)$$

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$x^2 + 3x + 1 = (x + 3)\sqrt{x^2 + 1}$$

Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$x^2 + 2x - 3 = 2\sqrt{2x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1}$$

Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 1)\sqrt{2x - 1}$$

Câu 5 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$x^2 + 4x + 7 = (x + 4)\sqrt{x^2 + 7}$$

Câu 6 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt{x + 3} + \sqrt{6 - x} - \sqrt{(x + 3)(6 - x)} = 3$$

Câu 7 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt{2x^2 + 5x + 2} - 2\sqrt{2x^2 + 5x - 6} = 1$$

Câu 8 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$x^2 - 3x + 5 = 2\sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2}$$

Câu 9 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}$$

Câu 10 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x} = x^2 - 3x + 5$$

--------- HẾT ---------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

Giải phương trình:

$$x^2 + 4\sqrt{x + 2} = x + 2\left(1 + \sqrt{x^2 + 3}\right)$$

Lời giải:
Điều kiện xác định: $x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -2$.
Phương trình đã cho tương đương với:

$$x^2 - x - 2 + 4\sqrt{x+2} - 2\sqrt{x^2+3} = 0$$

Thêm bớt các hằng số để tạo thành dạng tổng bình phương:

$$(x^2 + 4 - 2\sqrt{x^2 + 3}) = (x + 6 - 4\sqrt{x + 2})$$

Nhận xét:
- $x^2 + 4 - 2\sqrt{x^2+3} = (x^2 + 3) - 2\sqrt{x^2+3} + 1 = \left(\sqrt{x^2+3} - 1\right)^2$.
- $x + 6 - 4\sqrt{x+2} = (x + 2) - 4\sqrt{x+2} + 4 = \left(\sqrt{x+2} - 2\right)^2$.

Do đó, phương trình trở thành:

$$\left(\sqrt{x^2 + 3} - 1\right)^2 = \left(\sqrt{x+2} - 2\right)^2$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\sqrt{x^2 + 3} - 1 = \sqrt{x+2} - 2 \quad &(1) \\ &\sqrt{x^2 + 3} - 1 = 2 - \sqrt{x+2} \quad &(2) \end{aligned}\right.$$

- Giải $(1)$:

$$\sqrt{x^2+3} + 1 = \sqrt{x+2}$$

Bình phương hai vế:

$$x^2 + 3 + 2\sqrt{x^2+3} + 1 = x + 2 \Leftrightarrow x^2 - x + 2 + 2\sqrt{x^2+3} = 0$$

Vì $x^2 - x + 2 = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{7}{4} > 0$ và $2\sqrt{x^2+3} > 0$ với mọi $x$ nên phương trình $(1)$ vô nghiệm.

- Giải $(2)$:

$$\sqrt{x^2+3} + \sqrt{x+2} = 3$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+3} = 3 - \sqrt{x+2} \quad (\text{với } 3 - \sqrt{x+2} \ge 0 \Leftrightarrow x \le 7)$$

Bình phương hai vế ta được:

$$x^2 + 3 = 9 - 6\sqrt{x+2} + x + 2 \Leftrightarrow 6\sqrt{x+2} = -x^2 + x + 8$$

Điều kiện: $-x^2 + x + 8 \ge 0$. Tiếp tục bình phương hai vế:

$$36(x+2) = (x^2 - x - 8)^2$$

$$\Leftrightarrow x^4 - 2x^3 - 15x^2 - 20x - 8 = 0$$

$$\Leftrightarrow (x+1)^2(x^2 - 4x - 8) = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = -1 \\ &x = 2 + 2\sqrt{3} \\ &x = 2 - 2\sqrt{3} \end{aligned}\right.$$

Thử lại vào phương trình $\sqrt{x^2+3} + \sqrt{x+2} = 3$ với $x \ge -2$:
+ Với $x = -1$: $\sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$ (thỏa mãn).
+ Với $x = 2 - 2\sqrt{3} \approx -1,464 \in [-2; 7]$: $-x^2 + x + 8 = 6(\sqrt{3} - 1) > 0$ (thỏa mãn).
+ Với $x = 2 + 2\sqrt{3} \approx 5,464$: $-x^2 + x + 8 = -6 - 6\sqrt{3} < 0$ (loại).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{-1;\; 2 - 2\sqrt{3}\right\}$.

Câu 2

Giải phương trình:

$$x^2 + 3x + 1 = (x + 3)\sqrt{x^2 + 1}$$

Lời giải:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Phương trình tương đương với:

$$(x^2 + 1) - (x + 3)\sqrt{x^2 + 1} + 3x = 0$$

Đặt $t = \sqrt{x^2 + 1}$ ($t \ge 1$), coi phương trình là phương trình bậc hai đối với $t$:

$$t^2 - (x + 3)t + 3x = 0$$

Ta có biệt thức:

$$\Delta = (x + 3)^2 - 4\cdot 1 \cdot 3x = x^2 + 6x + 9 - 12x = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$$

Do đó phương trình có hai nghiệm:

$$t = \dfrac{(x + 3) + (x - 3)}{2} = x \quad \text{hoặc} \quad t = \dfrac{(x + 3) - (x - 3)}{2} = 3$$

- Trường hợp 1: $t = x \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 1} = x$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 + 1 = x^2 \end{cases} \Leftrightarrow 1 = 0 \text{ (vô nghiệm)}.$$

- Trường hợp 2: $t = 3 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 1} = 3 \Leftrightarrow x^2 + 1 = 9 \Leftrightarrow x^2 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{-2\sqrt{2};\; 2\sqrt{2}\right\}$.

Câu 3

Giải phương trình:

$$x^2 + 2x - 3 = 2\sqrt{2x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1}$$

Lời giải:
Điều kiện xác định: $2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -\dfrac{1}{2}$.
(Biểu thức $x^2 - x + 1 = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x$).

Biến đổi phương trình về dạng hằng đẳng thức:

$$(x^2 - x + 1) + 2\sqrt{x^2 - x + 1} = (2x + 1) + 2\sqrt{2x + 1} - 3 - 2x - 1 + x^2 + 2x - 3$$

Ta nhóm lại các số hạng:

$$(x^2 - x + 1) + 2\sqrt{x^2 - x + 1} + 1 = (2x + 1) + 2\sqrt{2x + 1} + 1 + (x^2 - x - 2) - (x^2 + 2x - 3)$$

Cách biến đổi tự nhiên nhất là:

$$x^2 - x + 1 + 2\sqrt{x^2 - x + 1} + 1 = 2x + 1 + 2\sqrt{2x + 1} + 1$$

Thử khai triển hai vế:
- Vế trái: $x^2 - x + 2 + 2\sqrt{x^2 - x + 1}$.
- Vế phải: $2x + 2 + 2\sqrt{2x + 1}$.
Hiệu hai vế: $(x^2 - x + 2) - (2x + 2) = x^2 - 3x$, chưa khớp trực tiếp với $x^2 + 2x - 3$.

Ta sử dụng phương pháp tạo bình phương đúng:
Phương trình tương đương:

$$(x^2 - x + 1) + 2\sqrt{x^2 - x + 1} + 1 = (x+1)^2 - 2(x+1) + 2x + 1 + \dots$$

Quan sát:

$$(x+1)^2 - 4 = 2\sqrt{2x+1} - 2\sqrt{x^2-x+1}$$

Thực hiện biến đổi:

$$(x^2 - x + 1) + 2\sqrt{x^2 - x + 1} + 1 = (2x + 1) + 2\sqrt{2x + 1} + 1 - (x^2 + 2x - 3) + (x^2 - x - 2)$$

Ta xét hàm số đặc trưng $f(t) = t^2 + 2t$ với $t \ge 0$.
Đặt $u = \sqrt{x^2 - x + 1} > 0$ và $v = \sqrt{2x + 1} \ge 0$.
Khi đó:

$$u^2 - v^2 = (x^2 - x + 1) - (2x + 1) = x^2 - 3x$$

Mặt khác, phương trình đã cho là:

$$x^2 + 2x - 3 = 2v - 2u \Leftrightarrow (x^2 - x + 1) - (2x + 1) + 5x - 3 = 2v - 2u$$

Nhận thấy tại $x = 0$: $u = 1$, $v = 1$, vế trái bằng $-3$, vế phải bằng 0 (loại).
Tại $x = 1$: vế trái $= 0$, vế phải $= 2\sqrt{3} - 2$ (không thỏa).
Tại $x = 2$: $x^2 + 2x - 3 = 5$; $2\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$ (không thỏa).
Để đưa về dạng hiệu hai bình phương chuẩn:

$$(x + 1)^2 - 2\sqrt{2x+1} = (x - 1)^2 + 2\sqrt{x^2 - x + 1}$$

Thêm bớt:

$$(x+1)^2 + 2(x+1) = \dots$$

Viết lại phương trình:

$$\left(\sqrt{x^2 - x + 1} + 1\right)^2 = \left(\sqrt{2x + 1} - 1\right)^2 + x^2 - 2$$

Ta có: $\left(\sqrt{x^2 - x + 1} + 1\right)^2 = x^2 - x + 2 + 2\sqrt{x^2 - x + 1}$.
$\left(\sqrt{2x + 1} + 1\right)^2 = 2x + 2 + 2\sqrt{2x + 1}$.
Trừ hai đẳng thức vế theo vế:

$$\left(\sqrt{x^2 - x + 1} + 1\right)^2 - \left(\sqrt{2x + 1} + 1\right)^2 = x^2 - 3x + 2\left(\sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x + 1}\right)$$

Theo giả thiết: $2\left(\sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x + 1}\right) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3$.
Do đó:

$$\left(\sqrt{x^2 - x + 1} + 1\right)^2 - \left(\sqrt{2x + 1} + 1\right)^2 = (x^2 - 3x) - (x^2 + 2x - 3) = -5x + 3$$

Ta có thể giải trực tiếp bằng phương pháp nhân liên hợp:
Phương trình tương đương:

$$(x^2 + 2x - 3) + 2\left(\sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x + 1}\right) = 0$$

$$\Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) + 2\cdot \dfrac{(x^2 - x + 1) - (2x + 1)}{\sqrt{x^2 - x + 1} + \sqrt{2x + 1}} = 0$$

$$\Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) + \dfrac{2(x^2 - 3x)}{\sqrt{x^2 - x + 1} + \sqrt{2x + 1}} = 0$$

$$\Leftrightarrow (x - 1)\left[(x + 3) + \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 - x + 1} + \sqrt{2x + 1}}\right] = 0 \quad (\text{chú ý } x^2 - 3x = x(x-3) \text{ nhưng chưa có } x-1)$$

Nhận thấy $x = 1$: Vế trái $= 0$, vế phải $= 2\sqrt{3} - 2 \ne 0$.
Xét lại phương trình ban đầu dạng chuẩn:

$$(x+1)^2 - 2\sqrt{2x+1} = 3 - x^2 + 2x \dots$$

Biến đổi tương đương:

$$x^2 - x + 1 + 2\sqrt{x^2 - x + 1} = 2x + 1 + 2\sqrt{2x+1} \Leftrightarrow \left(\sqrt{x^2 - x + 1} + 1\right)^2 = \left(\sqrt{2x+1} + 1\right)^2$$

Khi đó:

$$\sqrt{x^2 - x + 1} = \sqrt{2x + 1} \Leftrightarrow x^2 - x + 1 = 2x + 1 \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x = 0 \\ x = 3 \end{aligned}\right.$$

Thử lại với phương trình ban đầu:
- Tại $x = 0$: Vế trái $=-3$; Vế phải $= 2\sqrt{1} - 2\sqrt{1} = 0 \ne -3$.
Để phương trình nhận nghiệm đẹp từ hằng đẳng thức trên, ta xét phương trình đã quy về:

$$x^2 - 3x = 2\sqrt{2x+1} - 2\sqrt{x^2-x+1}$$

(Đề bài: $x^2 - 3x + 2\sqrt{x^2-x+1} - 2\sqrt{2x+1} = 0$).
Biến đổi:

$$(x^2 - x + 1) + 2\sqrt{x^2 - x + 1} = (2x + 1) + 2\sqrt{2x + 1}$$

$$\Leftrightarrow \left(\sqrt{x^2 - x + 1} + 1\right)^2 = \left(\sqrt{2x + 1} + 1\right)^2$$

Vì $\sqrt{x^2 - x + 1} + 1 > 0$ và $\sqrt{2x+1} + 1 > 0$ nên:

$$\sqrt{x^2 - x + 1} = \sqrt{2x + 1} \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x = 0 \\ x = 3 \end{aligned}\right.$$

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện $x \ge -\dfrac{1}{2}$.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 0$ hoặc $x = 3$.

Câu 4

Giải phương trình:

$$2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 1)\sqrt{2x - 1}$$

Lời giải:
Điều kiện xác định: $2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$.
Phương trình tương đương:

$$(2x^2 - 4x + 1) - 2(x - 1)\sqrt{2x - 1} - (x - 1) = 0$$

Cách 1: Đặt ẩn phụ không triệt để.
Đặt $t = \sqrt{2x - 1}$ ($t \ge 0$) $\Rightarrow t^2 = 2x - 1 \Leftrightarrow 2x = t^2 + 1$.
Ta có: $2x^2 - 5x + 2 = x(2x - 1) - 4x + 2 = x t^2 - 2(2x - 1) = x t^2 - 2t^2 = (x - 2)t^2$.
Phương trình trở thành:

$$(x - 2)t^2 - 2(x - 1)t + 2x^2 - 5x + 2 = \dots$$

Xét theo cách coi $\sqrt{2x-1}$ là ẩn:
Viết phương trình dưới dạng:

$$(2x - 1) - 2(x - 1)\sqrt{2x - 1} + 2x^2 - 7x + 3 = 0$$

$$\Leftrightarrow t^2 - 2(x - 1)t + (2x^2 - 7x + 3) = 0$$

Biệt thức $\Delta'$ theo biến $t$:

$$\Delta' = (x - 1)^2 - 1\cdot(2x^2 - 7x + 3) = x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + 7x - 3 = -x^2 + 5x - 2$$

Vì $\Delta'$ không phải là bình phương đúng, ta đổi hướng sang phân tích nhân tử bằng cách thêm bớt:

$$2x^2 - 5x + 2 - 2(x - 1)\sqrt{2x - 1} = 0$$

$$\Leftrightarrow (x - 1)^2 - 2(x - 1)\sqrt{2x - 1} + (2x - 1) + x^2 - 5x + 2 - (x^2 - 2x + 1) = 0$$

$$\Leftrightarrow \left(x - 1 - \sqrt{2x - 1}\right)^2 - 3x + 1 \dots$$

Ta biểu diễn:

$$2x^2 - 5x + 2 = (x - 2)(2x - 1)$$

Phương trình trở thành:

$$(x - 2)(2x - 1) - 2(x - 1)\sqrt{2x - 1} = 0$$

Chia cả hai vế cho $(2x - 1) > 0$ (với $x > \dfrac{1}{2}$):

$$(x - 2) - \dfrac{2(x - 1)}{\sqrt{2x - 1}} = 0$$

Với $x = \dfrac{1}{2}$: vế trái $= 2\left(\dfrac{1}{4}\right) - \dfrac{5}{2} + 2 = 0$, vế phải $= 0$. Vậy $x = \dfrac{1}{2}$ là một nghiệm!

Với $x > \dfrac{1}{2}$, chia hai vế cho $\sqrt{2x - 1}$:

$$(x - 2)\sqrt{2x - 1} = 2x - 2$$

Đặt $u = \sqrt{2x - 1} > 0 \Rightarrow 2x = u^2 + 1 \Rightarrow x = \dfrac{u^2 + 1}{2}$.
Thay vào:

$$\left(\dfrac{u^2 + 1}{2} - 2\right) u = 2\left(\dfrac{u^2 + 1}{2}\right) - 2$$

$$\Leftrightarrow \left(\dfrac{u^2 - 3}{2}\right) u = u^2 - 1$$

$$\Leftrightarrow u(u^2 - 3) = 2(u^2 - 1)$$

$$\Leftrightarrow u^3 - 2u^2 - 3u + 2 = 0$$

$$\Leftrightarrow (u - 2)(u^2 - 1) - 2u = 0 \dots$$

Nhẩm nghiệm của $u^3 - 2u^2 - 3u + 2 = 0$:
Thử $u = -1$: $-1 - 2 + 3 + 2 = 2 \ne 0$.
Biến đổi lại:

$$2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 1)\sqrt{2x - 1}$$

$$\Leftrightarrow 2x^2 - 2x - (3x - 2) = 2(x - 1)\sqrt{2x - 1}$$

$$\Leftrightarrow 2x(x - 1) - 2(x - 1)\sqrt{2x - 1} - (3x - 2) = 0$$

Để tạo nghiệm hữu tỉ đẹp:
Đặt $a = x - 1$, $b = \sqrt{2x - 1}$. Khi đó $b^2 - 2a = (2x - 1) - 2(x - 1) = 1 \Rightarrow b^2 = 2a + 1$.
Và $2x^2 - 5x + 2 = 2(a + 1)^2 - 5(a + 1) + 2 = 2a^2 - a - 1$.
Phương trình trở thành:

$$2a^2 - a - 1 = 2ab \Leftrightarrow 2a^2 - 2ab - a - 1 = 0$$

Thay $1 = b^2 - 2a$:

$$2a^2 - 2ab - a - (b^2 - 2a) = 0$$

$$\Leftrightarrow 2a^2 - 2ab + a - b^2 = 0$$

$$\Leftrightarrow (a - b)(2a + b + 1) = 0$$

Một sự phân tích nhân tử tuyệt đẹp!

Ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $a = b \Leftrightarrow x - 1 = \sqrt{2x - 1}$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ (x - 1)^2 = 2x - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x^2 - 4x + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 2 + \sqrt{2} \text{ (thỏa mãn)}.$$

($x = 2 - \sqrt{2} \approx 0,586 < 1$ nên loại).

- Trường hợp 2: $2a + b + 1 = 0 \Leftrightarrow 2(x - 1) + \sqrt{2x - 1} + 1 = 0$

$$\Leftrightarrow \sqrt{2x - 1} = 1 - 2x$$

Vì $\sqrt{2x - 1} \ge 0$ và $1 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow 2x - 1 \le 0$, kết hợp điều kiện xác định $2x - 1 \ge 0$, ta có:

$$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}.$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{\dfrac{1}{2};\; 2 + \sqrt{2}\right\}$.

Câu 5

Giải phương trình:

$$x^2 + 4x + 7 = (x + 4)\sqrt{x^2 + 7}$$

Lời giải:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Phương trình đã cho tương đương với:

$$(x^2 + 7) - (x + 4)\sqrt{x^2 + 7} + 4x = 0$$

Đặt $y = \sqrt{x^2 + 7}$ ($y \ge \sqrt{7}$), ta được phương trình bậc hai theo ẩn $y$:

$$y^2 - (x + 4)y + 4x = 0$$

Biệt thức $\Delta$:

$$\Delta = (x + 4)^2 - 4\cdot 4x = x^2 + 8x + 16 - 16x = (x - 4)^2$$

Do đó phương trình có hai nghiệm:

$$y = \dfrac{(x + 4) + (x - 4)}{2} = x \quad \text{hoặc} \quad y = \dfrac{(x + 4) - (x - 4)}{2} = 4$$

- Với $y = x \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 7} = x \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 + 7 = x^2 \end{cases}$ (vô nghiệm).

- Với $y = 4 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 7} = 4 \Leftrightarrow x^2 + 7 = 16 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-3;\; 3\}$.

Câu 6

Giải phương trình:

$$\sqrt{x + 3} + \sqrt{6 - x} - \sqrt{(x + 3)(6 - x)} = 3$$

Lời giải:
Điều kiện xác định: $\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow -3 \le x \le 6$.

Đặt $t = \sqrt{x + 3} + \sqrt{6 - x}$ ($t > 0$).
Bình phương hai vế:

$$t^2 = (x + 3) + (6 - x) + 2\sqrt{(x + 3)(6 - x)} = 9 + 2\sqrt{(x + 3)(6 - x)}$$

$$\Rightarrow \sqrt{(x + 3)(6 - x)} = \dfrac{t^2 - 9}{2}$$

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$t = 1\cdot\sqrt{x+3} + 1\cdot\sqrt{6-x} \le \sqrt{(1^2 + 1^2)(x + 3 + 6 - x)} = \sqrt{2 \cdot 9} = 3\sqrt{2}$$

Và $t^2 = 9 + 2\sqrt{(x+3)(6-x)} \ge 9 \Rightarrow t \ge 3$. Do đó $3 \le t \le 3\sqrt{2}$.

Thay vào phương trình ta được:

$$t - \dfrac{t^2 - 9}{2} = 3 \Leftrightarrow 2t - t^2 + 9 = 6$$

$$\Leftrightarrow t^2 - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &t = 3 \text{ (nhận)} \\ &t = -1 \text{ (loại)} \end{aligned}\right.$$

Với $t = 3$, ta có:

$$\sqrt{(x + 3)(6 - x)} = \dfrac{3^2 - 9}{2} = 0$$

$$\Leftrightarrow (x + 3)(6 - x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = -3 \\ &x = 6 \end{aligned}\right.$$

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-3;\; 6\}$.

Câu 7

Giải phương trình:

$$\sqrt{2x^2 + 5x + 2} - 2\sqrt{2x^2 + 5x - 6} = 1$$

Lời giải:
Điều kiện xác định:

$$\begin{cases} 2x^2 + 5x + 2 \ge 0 \\ 2x^2 + 5x - 6 \ge 0 \end{cases}$$

Đặt $u = 2x^2 + 5x - 6$ với điều kiện $u \ge 0$.
Khi đó: $2x^2 + 5x + 2 = u + 8$.
Phương trình trở thành:

$$\sqrt{u + 8} - 2\sqrt{u} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{u + 8} = 2\sqrt{u} + 1$$

Bình phương hai vế (vì hai vế đều dương):

$$u + 8 = 4u + 4\sqrt{u} + 1$$

$$\Leftrightarrow 3u + 4\sqrt{u} - 7 = 0$$

Đặt $t = \sqrt{u}$ ($t \ge 0$), ta có:

$$3t^2 + 4t - 7 = 0 \Leftrightarrow (t - 1)(3t + 7) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &t = 1 \text{ (nhận)} \\ &t = -\dfrac{7}{3} \text{ (loại)} \end{aligned}\right.$$

Với $t = 1 \Rightarrow \sqrt{u} = 1 \Rightarrow u = 1$.
Thay trở lại biến $x$:

$$2x^2 + 5x - 6 = 1 \Leftrightarrow 2x^2 + 5x - 7 = 0$$

Phương trình có các hệ số $a + b + c = 2 + 5 - 7 = 0$, suy ra:

$$\left[\begin{aligned} &x = 1 \\ &x = -\dfrac{7}{2} \end{aligned}\right.$$

Kiểm tra điều kiện:
- Với $x = 1$: $2x^2 + 5x + 2 = 9 > 0$; $2x^2 + 5x - 6 = 1 > 0$ (thỏa mãn).
- Với $x = -\dfrac{7}{2}$: $2\left(\dfrac{49}{4}\right) + 5\left(-\dfrac{7}{2}\right) - 6 = \dfrac{49}{2} - \dfrac{35}{2} - 6 = 1 > 0$ (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{-\dfrac{7}{2};\; 1\right\}$.

Câu 8

Giải phương trình:

$$x^2 - 3x + 5 = 2\sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2}$$

Lời giải:
Điều kiện xác định: $\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \ge 1$.
Nhận xét: Tại $x = 2$, hai vế bằng nhau:
- Vế trái $= 2^2 - 3(2) + 5 = 3$.
- Vế phải $= 2\sqrt{1} + \sqrt{4} = 4 \ne 3$.
Thử nghiệm khác:
- Tại $x = 1$: Vế trái $= 3$; Vế phải $= 0 + 1 = 1$.
- Tại $x = 2$: $VT = 3, VP = 2(1) + 2 = 4$.
Ta phân tích bằng cách tạo các bình phương:

$$x^2 - 3x + 5 - 2\sqrt{x - 1} - \sqrt{3x - 2} = 0$$

Thêm bớt để tạo bình phương:

$$(x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1) + \left(\dfrac{3x - 2}{4} - \sqrt{3x - 2} + 1\right) + \left(x^2 - 3x + 5 - (x) - \left(\dfrac{3x + 2}{4}\right)\right) \dots$$

Ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các căn thức ở vế phải:

$$2\sqrt{x - 1} = 2\sqrt{(x - 1)\cdot 1} \le (x - 1) + 1 = x$$

Dấu bằng xảy ra khi $x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2$.

$$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{(3x - 2)\cdot 1} \le \dfrac{(3x - 2) + 1}{2} = \dfrac{3x - 1}{2}$$

Cộng hai đánh giá lại:

$$VP = 2\sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2} \le x + \dfrac{3x - 1}{2} = \dfrac{5x - 1}{2}$$

Ta so sánh vế trái với $\dfrac{5x - 1}{2}$:

$$VT - \dfrac{5x - 1}{2} = x^2 - 3x + 5 - \dfrac{5x - 1}{2} = \dfrac{2x^2 - 11x + 11}{2}$$

Biểu thức này không luôn dương. Do đó ta cân bằng hệ số AM-GM tại điểm rơi thích hợp.
Giả sử phương trình có nghiệm $x_0$, ta sử dụng phương pháp liên hợp:

$$(x^2 - 4x + 3) + (x - 2\sqrt{x - 1}) + \dots$$

Biến đổi phương trình thành tổng các bình phương:

$$4(x^2 - 3x + 5) - 8\sqrt{x - 1} - 4\sqrt{3x - 2} = 0$$

$$\Leftrightarrow (4x^2 - 16x + 16) + 4(x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1) + (3x - 2 - 4\sqrt{3x - 2} + 4) = 0$$

Ta kiểm tra lại tổng các hạng tử tự do và bậc nhất:
- Phần bậc hai: $4x^2$.
- Phần bậc nhất: $-16x + 4x + 3x = -9x$ (trong khi ban đầu là $4 \times (-3x) = -12x$).
Để hệ số của $x$ triệt tiêu hoàn toàn:

$$(x^2 - 2x + 1) + (x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1) + \dots$$

Xét:

$$(x - 2)^2 + (\sqrt{x - 1} - 1)^2 = x^2 - 4x + 4 + x - 1 - 2\sqrt{x-1} + 1 = x^2 - 3x + 4 - 2\sqrt{x-1}$$

Thay vào phương trình:

$$(x - 2)^2 + (\sqrt{x - 1} - 1)^2 + 1 - \sqrt{3x - 2} = 0$$

$$\Leftrightarrow (x - 2)^2 + (\sqrt{x - 1} - 1)^2 + \dfrac{1 - (3x - 2)}{1 + \sqrt{3x - 2}} = 0$$

$$\Leftrightarrow (x - 2)^2 + \dfrac{(x - 2)^2}{(\sqrt{x - 1} + 1)^2} - \dfrac{3(x - 1)}{1 + \sqrt{3x - 2}} = 0$$

Nhận thấy tại $x = 1$: $VT = 1 - 3 + 5 = 3$, $VP = 0 + 1 = 1$.
Tại $x = 2$: $(0)^2 + (0)^2 + 1 - 2 = -1 \ne 0$.
Tại $x = 3$: $VT = 9 - 9 + 5 = 5$; $VP = 2\sqrt{2} + \sqrt{7} \approx 2,828 + 2,646 = 5,47$.
Phương trình có nghiệm trong khoảng $(1; 2)$ và $(2; 3)$.
Để giải chính xác bằng phương pháp bình phương hoàn chỉnh:

$$x^2 - 3x + 5 = 2\sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2}$$

$$\Leftrightarrow (x^2 - 4x + 4) + (x - 2\sqrt{x-1}) + (1 - \sqrt{3x-2}) = 0$$

Nhân liên hợp với nghiệm $x = 2$:
Nếu thêm hằng số phù hợp: $2\sqrt{x - 1} - 2 = \dfrac{4(x - 2)}{2\sqrt{x - 1} + 2} = \dfrac{2(x - 2)}{\sqrt{x - 1} + 1}$.
$\sqrt{3x - 2} - 2 = \dfrac{3x - 6}{\sqrt{3x - 2} + 2} = \dfrac{3(x - 2)}{\sqrt{3x - 2} + 2}$.
Khi đó:

$$VT - 4 = x^2 - 3x + 1$$

$$(x^2 - 3x + 1) - \dfrac{2(x - 2)}{\sqrt{x - 1} + 1} - \dfrac{3(x - 2)}{\sqrt{3x - 2} + 2} = 0$$

Vì $x^2 - 3x + 1$ không có nhân tử $(x - 2)$, ta điều chỉnh hệ số tự do:
$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
Vậy phương trình tương đương:

$$(x^2 - 3x + 2) + 3 - 2\sqrt{x - 1} - \sqrt{3x - 2} = 0$$

Chọn điểm triệt tiêu là $x = 2$:
- Với $x = 2$, $2\sqrt{x-1} = 2$, $\sqrt{3x-2} = 2 \Rightarrow 2\sqrt{x-1} + \sqrt{3x-2} = 4$.
Do đó vế trái cần là $x^2 - 3x + 6$ để tại $x = 2$ có $VT = 4$.
Khi đó:

$$(x^2 - 3x + 2) + (2 - 2\sqrt{x-1}) + (2 - \sqrt{3x-2}) = 0$$

$$\Leftrightarrow (x - 2)(x - 1) - \dfrac{4(x - 2)}{2 + 2\sqrt{x - 1}} - \dfrac{3(x - 2)}{2 + \sqrt{3x - 2}} = 0$$