Chuyên đề & Đề kiểm tra: Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn – Toán 10

PHẦN A. CÁC BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN

Bài 1 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác.

Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác:

$$\begin{cases} 2x - 3y + z = -1 \quad (1) \\ 2y - z = 5 \quad (2) \\ 3z = 9 \quad (3) \end{cases}$$

a) Tìm nghiệm $(x; y; z)$ của hệ phương trình bằng phương pháp thế ngược.
b) Với nghiệm $(x_0; y_0; z_0)$ tìm được ở câu a, hãy tính giá trị của biểu thức $T = x_0^2 + y_0^2 - z_0^2$.

Bài 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp khử Gauss.

Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \quad (1) \\ 2x + 5y + z = 15 \quad (2) \\ 3x + y + 2z = 11 \quad (3) \end{cases}$$

a) Sử dụng phương trình $(1)$ để khử ẩn $x$ trong các phương trình $(2)$ và $(3)$.
b) Tiếp tục khử ẩn $y$ để đưa hệ phương trình về dạng bậc thang và kết luận tập nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 3 (2,0 điểm). Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn giải bài toán thực tế.

Một trang trại nông nghiệp công nghệ cao canh tác ba loại rau sạch gồm rau cải thìa ($A$), cà chua bi ($B$) và dưa chuột leo ($C$) trên tổng diện tích 12 hécta (ha).
- Chi phí đầu tư cho mỗi hécta trồng rau cải thìa là 20 triệu đồng, cà chua bi là 25 triệu đồng và dưa chuột leo là 30 triệu đồng. Tổng kinh phí trang trại đầu tư là 290 triệu đồng.
- Do kế hoạch luân canh, diện tích trồng cà chua bi được thiết kế bằng tổng diện tích trồng rau cải thìa và dưa chuột leo gộp lại.

Hỏi trang trại đã dành bao nhiêu hécta đất để canh tác mỗi loại rau nói trên?

Bài 4 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn bằng phương pháp khử Gauss.

Sử dụng phương pháp khử Gauss đưa về hệ bậc thang để giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn sau:

$$\begin{cases} x + y + z + t = 10 \\ 2x - y + z + 2t = 11 \\ x + 2y - z + t = 6 \\ 3x + y + 2z - t = 7 \end{cases}$$

Bài 5 (2,0 điểm). Ứng dụng hệ phương trình trong mô hình cân bằng thị trường kinh tế.

Xét thị trường của hai loại mặt hàng thay thế nhau có các mức giá tương ứng là $p_1$ và $p_2$ (đơn vị: nghìn đồng/kg).
Hàm cầu ($Q_d$) và hàm cung ($Q_s$) của từng mặt hàng được xác định theo giá như sau:
- Mặt hàng thứ nhất: $Q_{d1} = 34 - 3p_1 + p_2$ và $Q_{s1} = -8 + 2p_1$.
- Mặt hàng thứ hai: $Q_{d2} = 24 + 2p_1 - 4p_2$ và $Q_{s2} = -4 + 2p_2$.

a) Hãy thiết lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $p_1, p_2$ mô tả trạng thái cân bằng đồng thời của thị trường hai mặt hàng ($Q_{d1} = Q_{s1}$ và $Q_{d2} = Q_{s2}$).
b) Giải hệ phương trình trên để tìm mức giá cân bằng $(p_1; p_2)$ và sản lượng cân bằng tương ứng của mỗi mặt hàng.

PHẦN B. ĐỀ KIỂM TRA TRẮC NGHIỆM ĐÁNH GIÁ

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác?

Câu 2 (0,25 điểm). Nghiệm $(x_0; y_0; z_0)$ của hệ phương trình dạng tam giác $\begin{cases} x - 2y + 3z = 9 \\ y - 2z = -4 \\ 3z = 6 \end{cases}$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y - z = 2 \quad (1) \\ 2x - y + 3z = 9 \quad (2) \\ -x + 2y + z = 4 \quad (3) \end{cases}$. Khi thực hiện bước đầu tiên của phương pháp khử Gauss để khử ẩn $x$ ở phương trình $(2)$ và phương trình $(3)$, ta thực hiện phép biến đổi nào sau đây?

Câu 4 (0,25 điểm). Sau khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đưa một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn về dạng bậc thang, ta thu được hệ: $\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ y + 3z = 7 \\ 0x + 0y + 0z = -2 \end{cases}$. Kết luận nào sau đây về số nghiệm của hệ phương trình là đúng?

Câu 5 (0,25 điểm). Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hệ phương trình $\begin{cases} x - y + 2z = 1 \\ 2x + y - z = 2 \\ 3x + z = m \end{cases}$. Giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm là

Câu 7 (0,25 điểm). Một cửa hàng bán ba loại bút $A$, $B$, $C$. Bạn An mua 1 bút $A$, 2 bút $B$ và 3 bút $C$ hết 44 nghìn đồng. Bạn Bình mua 2 bút $A$, 1 bút $B$ và 1 bút $C$ hết 27 nghìn đồng. Bạn Cúc mua 3 bút $A$, 3 bút $B$ và 2 bút $C$ hết 53 nghìn đồng. Giá tiền của mỗi chiếc bút loại $A$ là

Câu 8 (0,25 điểm). Một công ty có ba phân xưởng I, II, III cùng sản xuất một linh kiện điện tử. Trong một ngày, tổng sản phẩm cả ba xưởng làm được là 350 chiếc. Số sản phẩm của xưởng I nhiều hơn xưởng II là 30 chiếc; hai lần số sản phẩm của xưởng II bằng ba lần số sản phẩm của xưởng III. Gọi $x, y, z$ lần lượt là số sản phẩm của ba phân xưởng I, II, III làm trong ngày đó. Hệ phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x, y, z$ là

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn dạng tam giác: $\begin{cases} x + y - z + 2t = 8 \\ y + 2z - t = 3 \\ z + 3t = 7 \\ 2t = 4 \end{cases}$. Giá trị của ẩn $x$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Bằng phương pháp khử Gauss giải hệ 4 ẩn $\begin{cases} x + y + z + t = 10 \\ 2x - y + z - t = 0 \\ x + 2y - z + t = 7 \\ 3x + y + 2z - t = 5 \end{cases}$, ta tìm được nghiệm $(x; y; z; t)$. Tổng $x + t$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Trong kinh tế học, thị trường của một mặt hàng đạt trạng thái cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu ($Q_s = Q_d$). Biết hàm cung và hàm cầu của một loại gạo lần lượt là: $Q_s = 2p - 10$ và $Q_d = -3p + 90$, trong đó $p$ là mức giá (nghìn đồng/kg), $Q_s$ và $Q_d$ tính bằng tạ. Mức giá cân bằng $p_0$ và lượng cân bằng $Q_0$ của thị trường này là

Câu 12 (0,25 điểm). Xét thị trường gồm hai loại sản phẩm có liên quan với nhau. Hàm cầu và hàm cung của sản phẩm thứ nhất lần lượt là $Q_{d1} = 18 - 3p_1 + p_2$ và $Q_{s1} = -2 + 2p_1$; hàm cầu và hàm cung của sản phẩm thứ hai lần lượt là $Q_{d2} = 22 + p_1 - 4p_2$ và $Q_{s2} = -4 + 2p_2$ ($p_1, p_2$ là giá của từng sản phẩm). Hệ phương trình xác định các mức giá cân bằng $(p_1; p_2)$ của thị trường là

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \quad (1) \\ 2x + 5y + z = 7 \quad (2) \\ 3x + 7y + 2z = 10 \quad (3) \end{cases}$$

a) Hệ phương trình đã cho có dạng tam giác.
b) Nhân hai vế phương trình $(1)$ với 2 rồi lấy phương trình $(2)$ trừ đi, ta thu được phương trình $y + 3z = 5$.
c) Khử ẩn $x$ từ hai phương trình $(2)$ và $(3)$ dựa vào phương trình $(1)$, ta thu được hệ bậc thang có một phương trình vô nghiệm.
d) Hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là $(x; y; z) = (3; -1; 2)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Một xí nghiệp may mặc sản xuất ba mẫu áo sơ mi: $M_1, M_2, M_3$. Để may một chiếc áo mỗi mẫu, người ta cần lượng vải cotton, vải polyester và thời gian công cắt may được ghi trong bảng sau:

Xí nghiệp dùng hết số lượng vật tư và công may sẵn có. Gọi $x, y, z$ lần lượt là số lượng áo mẫu $M_1, M_2, M_3$ được may.
a) Hệ phương trình thiết lập từ bài toán là: $\begin{cases} 1,2x + y + 1,5z = 490 \\ 0,8x + y + 0,5z = 290 \\ 1,5x + 2y + z = 550 \end{cases}$.
b) Tổng số mét vải (gồm cotton và polyester) dùng để may một chiếc áo mẫu $M_1$ là 2,0 mét.
c) Bằng phương pháp khử Gauss, ta giải được số lượng áo mẫu $M_1$ may được là 150 chiếc.
d) Số áo may được của mẫu $M_2$ nhiều hơn số áo may được của mẫu $M_3$.

Câu 3 (1,0 điểm). Xét thị trường gồm ba loại hàng hóa có liên quan nhau với các mức giá tương ứng là $p_1, p_2, p_3$ (nghìn đồng/sản phẩm). Hàm cầu và hàm cung của ba thị trường được cho như sau:

$$\begin{cases} Q_{d1} = 30 - 2p_1 + p_2 + p_3; & Q_{s1} = -4 + 2p_1 \\ Q_{d2} = 40 + p_1 - 3p_2 + 2p_3; & Q_{s2} = -6 + p_2 \\ Q_{d3} = 25 + p_1 + p_2 - 4p_3; & Q_{s3} = -5 + 2p_3 \end{cases}$$

a) Trạng thái cân bằng của thị trường đạt được khi lượng cung bằng lượng cầu ở cả ba mặt hàng.
b) Tại trạng thái cân bằng, phương trình cân bằng của thị trường mặt hàng thứ nhất rút gọn thành $4p_1 - p_2 - p_3 = 34$.
c) Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn xác định các mức giá cân bằng có định dạng ma trận là một hệ tam giác.
d) Mức giá cân bằng của mặt hàng thứ hai là $p_2 = 18$ nghìn đồng/sản phẩm.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn số:

$$\begin{cases} x + 2y - z + t = 4 \quad (1) \\ 2x + 5y + z - t = 9 \quad (2) \\ x + 3y + 3z - 2t = 7 \quad (3) \\ 3x + 7y + 2z + t = 17 \quad (4) \end{cases}$$

a) Để khử ẩn $x$ ở phương trình $(4)$, ta thay phương trình $(4)$ bởi $(4) - 3 \cdot (1)$ và thu được phương trình $y + 5z - 2t = 5$.
b) Sau khi khử ẩn $x$ từ các phương trình $(2), (3), (4)$ bằng phương trình $(1)$, ta nhận được hệ ba phương trình mới với ba ẩn $y, z, t$.
c) Tiếp tục dùng phương pháp Gauss khử ẩn $y$ và $z$, ta đưa được hệ về dạng bậc thang 4 phương trình.
d) Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với $t = 2$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác:

$$\begin{cases} 2x - y + 3z = 13 \\ 3y - 2z = 4 \\ 4z = 8 \end{cases}$$

Tính giá trị của biểu thức $P = x^2 + 2y^2 - z^2$.

Câu 2 (0,5 điểm). Sử dụng phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + y + 2z = 5 \\ 2x + 3y + z = 7 \\ 3x - 2y + 4z = 9 \end{cases}$$

Tìm giá trị của ẩn $z$.

Câu 3 (0,5 điểm). Ba xe tải chở tổng cộng 42 tấn hàng cứu trợ đến vùng lũ. Xe thứ nhất chở nhiều hơn xe thứ hai 3 tấn hàng. Ba lần khối lượng hàng xe thứ nhất chở bằng hai lần tổng khối lượng hàng xe thứ hai và xe thứ ba chở. Hỏi xe thứ nhất chở bao nhiêu tấn hàng?

Câu 4 (0,5 điểm). Cho hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn sau:

$$\begin{cases} x + y + z + t = 10 \\ x - y + 2z - t = 2 \\ 2x + y - z + 3t = 17 \\ -x + 2y + z - 2t = -5 \end{cases}$$

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp khử Gauss và tính giá trị tích $x \cdot y \cdot z \cdot t$.

Câu 5 (0,5 điểm). Trong mô hình cân bằng thị trường hai sản phẩm có tính thay thế nhau, hàm cung và hàm cầu được cho bởi:

$$\begin{cases} Q_{d1} = 70 - 4p_1 + 2p_2 \\ Q_{s1} = -10 + 2p_1 \end{cases} \quad \text{và} \quad \begin{cases} Q_{d2} = 105 + 2p_1 - 5p_2 \\ Q_{s2} = -15 + 3p_2 \end{cases}$$

(với $p_1, p_2$ là mức giá của hai mặt hàng tính bằng USD). Tìm mức giá cân bằng $p_1$ (USD) của mặt hàng thứ nhất.

Câu 6 (0,5 điểm). Một công ty hóa chất cần pha chế 100 lít dung dịch cồn $68^\circ$ từ ba loại dung dịch cồn có nồng độ lần lượt là $50^\circ$, $70^\circ$ và $90^\circ$. Biết rằng thể tích cồn loại $50^\circ$ được sử dụng gấp đôi thể tích cồn loại $90^\circ$. Tính số lít dung dịch cồn loại $70^\circ$ cần dùng để pha chế.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................