Chuyên đề Đại số và Giải tích 11 - Bài 6. Cấp số cộng

PHẦN I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Định nghĩa cấp số cộng

Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$. Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng khi và chỉ khi:

$$u_{n+1} = u_n + d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$$

- Khi $d = 0$, cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
- Hiệu số $u_{n+1} - u_n = d$ không phụ thuộc vào $n$.

Ví dụ 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
a) Dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3n - 2$.
b) Dãy số $(v_n)$ với $v_n = n^2 + 1$.

Lời giải:
a) Xét hiệu $u_{n+1} - u_n = [3(n + 1) - 2] - (3n - 2) = 3n + 1 - 3n + 2 = 3$ (hằng số với mọi $n \in \mathbb{N}^*$).
Vậy dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 3(1) - 2 = 1$ và công sai $d = 3$.

b) Xét hiệu $v_{n+1} - v_n = [(n + 1)^2 + 1] - (n^2 + 1) = 2n + 1$.
Vì hiệu phụ thuộc vào $n$ nên dãy số $(v_n)$ không phải là cấp số cộng.

2. Số hạng tổng quát

Định lí 1:
Nếu cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức:

$$u_n = u_1 + (n - 1)d \quad (n \ge 2)$$

Ví dụ 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = -2$.
a) Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng.
b) Số $-97$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Lời giải:
a) Ta có: $u_{10} = u_1 + (10 - 1)d = 3 + 9 \cdot (-2) = -15$.
b) Giả sử $u_n = -97$. Áp dụng công thức số hạng tổng quát:

$$3 + (n - 1)(-2) = -97 \Leftrightarrow -2(n - 1) = -100 \Leftrightarrow n - 1 = 50 \Leftrightarrow n = 51$$

Vậy $-97$ là số hạng thứ $51$ của cấp số cộng.

3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lí 2:
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó:

$$u_k = \dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2} \quad \text{hay} \quad u_{k-1} + u_{k+1} = 2u_k \quad (k \ge 2)$$

Hệ quả: Ba số $a, b, c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:

$$a + c = 2b$$

Ví dụ 3. Tìm $x$ để ba số $x - 1;\, 2x + 1;\, 5x - 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:
Ba số $x - 1;\, 2x + 1;\, 5x - 1$ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:

$$(x - 1) + (5x - 1) = 2(2x + 1) \Leftrightarrow 6x - 2 = 4x + 2 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$$

Vậy $x = 2$ là giá trị cần tìm.

4. Tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

Định lí 3:
Cho cấp số cộng $(u_n)$. Đặt $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$. Khi đó:

$$S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$$

Thay $u_n = u_1 + (n - 1)d$, ta được công thức:

$$S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2}$$

Ví dụ 4. Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn: $\begin{cases} u_1 + u_5 = 14 \\ u_3 + u_7 = 22 \end{cases}$
a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng.
b) Tính tổng của $20$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Lời giải:
a) Biểu diễn các số hạng qua $u_1$ và $d$, ta có:

$$\begin{cases} u_1 + (u_1 + 4d) = 14 \\ (u_1 + 2d) + (u_1 + 6d) = 22 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 4d = 14 \\ 2u_1 + 8d = 22 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = 3 \\ d = 2 \end{cases}$$

Vậy số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 2$.

b) Tổng của $20$ số hạng đầu tiên là:

$$S_{20} = \dfrac{20 \cdot [2 \cdot 3 + (20 - 1) \cdot 2]}{2} = 10 \cdot (6 + 38) = 440$$

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Nhận biết cấp số cộng, xác định số hạng đầu và công sai

Phương pháp giải:
- Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng khi và chỉ khi hiệu $u_{n+1} - u_n = d$ là một hằng số không phụ thuộc vào $n$. Khi đó, số hạng đầu là $u_1$ và công sai là $d$.
- Dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát dạng bậc nhất theo $n$: $u_n = an + b$ luôn là một cấp số cộng với công sai $d = a$ và số hạng đầu $u_1 = a + b$.
- Khi đề bài cho hệ thức giữa các số hạng, ta biểu diễn các số hạng qua $u_1$ và $d$ bằng công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$, từ đó giải hệ phương trình tìm $u_1$ và $d$.

Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
a) $u_n = 5 - 2n$
b) $v_n = \dfrac{3n + 1}{2}$
c) $w_n = 2^n$

Lời giải:
a) Xét hiệu $u_{n+1} - u_n = [5 - 2(n + 1)] - (5 - 2n) = 3 - 2n - 5 + 2n = -2$ (hằng số).
Vậy $(u_n)$ là một cấp số cộng có $u_1 = 3$ và công sai $d = -2$.

b) Xét hiệu $v_{n+1} - v_n = \dfrac{3(n + 1) + 1}{2} - \dfrac{3n + 1}{2} = \dfrac{3n + 4 - 3n - 1}{2} = \dfrac{3}{2}$ (hằng số).
Vậy $(v_n)$ là cấp số cộng có $v_1 = 2$ và công sai $d = \dfrac{3}{2}$.

c) Xét hiệu $w_{n+1} - w_n = 2^{n+1} - 2^n = 2^n(2 - 1) = 2^n$ phụ thuộc vào $n$.
Vậy $(w_n)$ không phải là cấp số cộng.

Bài 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$ biết $\begin{cases} u_1 + u_3 = 10 \\ u_2 + u_5 = 19 \end{cases}$. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.

Lời giải:
Ta biểu diễn các số hạng qua $u_1$ và $d$:

$$\begin{cases} u_1 + (u_1 + 2d) = 10 \\ (u_1 + d) + (u_1 + 4d) = 19 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 2d = 10 \\ 2u_1 + 5d = 19 \end{cases}$$

Trừ vế với vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:

$$3d = 9 \Leftrightarrow d = 3 \Rightarrow u_1 = \dfrac{10 - 2 \cdot 3}{2} = 2$$

Vậy $u_1 = 2$ và $d = 3$.

Bài 3. Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases} u_7 - u_3 = 8 \\ u_2 \cdot u_7 = 75 \end{cases}$. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ biết $u_1 > 0$.

Lời giải:
Từ phương trình thứ nhất:

$$(u_1 + 6d) - (u_1 + 2d) = 8 \Leftrightarrow 4d = 8 \Leftrightarrow d = 2$$

Thay $d = 2$ vào phương trình thứ hai:

$$(u_1 + 2)(u_1 + 12) = 75 \Leftrightarrow u_1^2 + 14u_1 + 24 = 75 \Leftrightarrow u_1^2 + 14u_1 - 51 = 0$$

Phương trình có hai nghiệm: $u_1 = 3$ hoặc $u_1 = -17$.
Do giả thiết $u_1 > 0$ nên ta nhận $u_1 = 3$.
Vậy $u_1 = 3$ và $d = 2$.

Bài 4. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $(u_n)$ biết $\begin{cases} u_2 - u_3 + u_5 = 10 \\ u_4 + u_6 = 26 \end{cases}$.

Lời giải:
Ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} (u_1 + d) - (u_1 + 2d) + (u_1 + 4d) = 10 \\ (u_1 + 3d) + (u_1 + 5d) = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 3d = 10 \\ 2u_1 + 8d = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 3d = 10 \\ u_1 + 4d = 13 \end{cases}$$

Trừ hai phương trình ta được $d = 3 \Rightarrow u_1 = 10 - 3 \cdot 3 = 1$.
Vậy $u_1 = 1$ và $d = 3$.

Bài 5. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có công sai $d \ne 0$. Biết rằng ba số hạng $u_1, u_4, u_{13}$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm tỉ số $\dfrac{u_1}{d}$.

Lời giải:
Ta có: $u_4 = u_1 + 3d$ và $u_{13} = u_1 + 12d$.
Ba số $u_1, u_4, u_{13}$ lập thành cấp số nhân nên:

$$u_4^2 = u_1 \cdot u_{13} \Leftrightarrow (u_1 + 3d)^2 = u_1(u_1 + 12d)$$

$$u_1^2 + 6u_1d + 9d^2 = u_1^2 + 12u_1d \Leftrightarrow 9d^2 = 6u_1d$$

Vì $d \ne 0$, chia cả hai vế cho $3d$ ta được: $3d = 2u_1 \Leftrightarrow \dfrac{u_1}{d} = \dfrac{3}{2}$.

Dạng 2. Tìm số hạng của cấp số cộng, kiểm tra một số có là số hạng của dãy

Phương pháp giải:
- Số hạng thứ $n$ của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n - 1)d$.
- Để kiểm tra số $A$ có phải là số hạng của cấp số cộng hay không, ta giải phương trình $u_n = A$ (ẩn là $n$):
- Nếu phương trình có nghiệm $n \in \mathbb{N}^*$ thì $A$ là số hạng thứ $n$.
- Nếu phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm $n \notin \mathbb{N}^*$ thì $A$ không thuộc dãy số.
- Tìm số hạng đầu tiên mang dấu dương (hoặc âm): giải bất phương trình $u_n > 0$ (hoặc $u_n < 0$) với ẩn $n \in \mathbb{N}^*$.

Bài 1. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công sai $d = 4$.
a) Tìm số hạng thứ 25 của cấp số cộng.
b) Số 437 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Lời giải:
a) Ta có: $u_{25} = u_1 + 24d = -3 + 24 \cdot 4 = 93$.
b) Xét phương trình:

$$u_n = 437 \Leftrightarrow u_1 + (n - 1)d = 437 \Leftrightarrow -3 + 4(n - 1) = 437 \Leftrightarrow 4(n - 1) = 440 \Leftrightarrow n = 111$$

Do $111 \in \mathbb{N}^*$ nên số 437 là số hạng thứ 111 của cấp số cộng.

Bài 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 15$ và $u_2 = 11$. Số $-105$ có phải là một số hạng của cấp số cộng không?

Lời giải:
Công sai của cấp số cộng là: $d = u_2 - u_1 = 11 - 15 = -4$.
Giả sử tồn tại $n \in \mathbb{N}^*$ sao cho $u_n = -105$:

$$15 + (n - 1)(-4) = -105 \Leftrightarrow -4(n - 1) = -120 \Leftrightarrow n - 1 = 30 \Leftrightarrow n = 31$$

Do $31 \in \mathbb{N}^*$ nên số $-105$ là số hạng thứ 31 của cấp số cộng.

Bài 3. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -45$ và $d = 4$. Tìm số hạng dương đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải:
Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n - 1)d = -45 + 4(n - 1) = 4n - 49$.
Để $u_n > 0$, ta có:

$$4n - 49 > 0 \Leftrightarrow n > \dfrac{49}{4} = 12,25$$

Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên giá trị nguyên dương nhỏ nhất của $n$ là $n = 13$.
Số hạng dương đầu tiên là $u_{13} = 4 \cdot 13 - 49 = 3$.

Bài 4. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_3 = 6$ và $u_8 = 21$. Tìm số hạng $u_{50}$.

Lời giải:
Ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} u_1 + 2d = 6 \\ u_1 + 7d = 21 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5d = 15 \\ u_1 = 6 - 2d \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d = 3 \\ u_1 = 0 \end{cases}$$

Số hạng thứ 50 là: $u_{50} = u_1 + 49d = 0 + 49 \cdot 3 = 147$.

Bài 5. Xen vào giữa hai số $4$ và $40$ thêm 8 số để được một cấp số cộng gồm 10 số hạng. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng này.

Lời giải:
Cấp số cộng có 10 số hạng nên $u_1 = 4$ và $u_{10} = 40$.
Ta có: $u_{10} = u_1 + 9d \Leftrightarrow 40 = 4 + 9d \Leftrightarrow 9d = 36 \Leftrightarrow d = 4$.
Số hạng thứ 5 là: $u_5 = u_1 + 4d = 4 + 4 \cdot 4 = 20$.

Dạng 3. Tính chất các số hạng, tìm điều kiện để các số lập thành cấp số cộng

Phương pháp giải:
- Ba số $a, b, c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng $\Leftrightarrow a + c = 2b$.
- Nếu bài toán yêu cầu tìm các số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi biết tổng và tích:
- Gọi 3 số hạng liên tiếp là $x - d, x, x + d$ (tổng là $3x$).
- Gọi 4 số hạng liên tiếp là $x - 3d, x - d, x + d, x + 3d$ (với công sai là $2d$).

Bài 1. Tìm giá trị thực của tham số $x$ để ba số $2x - 1;\, x^2;\, 5x + 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:
Ba số đã cho lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

$$(2x - 1) + (5x + 1) = 2x^2 \Leftrightarrow 2x^2 - 7x = 0 \Leftrightarrow x(2x - 7) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \dfrac{7}{2} \end{array}\right.$$

Vậy $x \in \left\{0;\, \dfrac{7}{2}\right\}$ là các giá trị cần tìm.

Bài 2. Tìm ba số liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng $27$ và tổng bình phương của chúng bằng $293$.

Lời giải:
Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là $x - d,\, x,\, x + d$.
Theo giả thiết tổng của chúng bằng 27:

$$(x - d) + x + (x + d) = 27 \Leftrightarrow 3x = 27 \Leftrightarrow x = 9$$

Tổng bình phương của ba số bằng 293:

$$(9 - d)^2 + 9^2 + (9 + d)^2 = 293 \Leftrightarrow 2(81 + d^2) + 81 = 293 \Leftrightarrow 2d^2 = 50 \Leftrightarrow d^2 = 25 \Leftrightarrow d = \pm 5$$

- Với $d = 5$, ba số là $4;\, 9;\, 14$.
- Với $d = -5$, ba số là $14;\, 9;\, 4$.
Vậy ba số cần tìm là $4;\, 9;\, 14$.

Bài 3. Cho một tam giác vuông có độ dài ba cạnh lập thành một cấp số cộng. Biết chu vi tam giác bằng $36\text{ cm}$, tìm diện tích của tam giác vuông đó.

Lời giải:
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác vuông theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là $a - d,\, a,\, a + d$ với $a > d > 0$.
Chu vi tam giác bằng 36 cm:

$$(a - d) + a + (a + d) = 36 \Leftrightarrow 3a = 36 \Leftrightarrow a = 12$$

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông:

$$(12 - d)^2 + 12^2 = (12 + d)^2 \Leftrightarrow 144 - 24d + d^2 + 144 = 144 + 24d + d^2 \Leftrightarrow 48d = 144 \Leftrightarrow d = 3$$

Độ dài hai cạnh góc vuông là: $12 - 3 = 9\text{ cm}$ và $12\text{ cm}$.
Diện tích tam giác vuông là: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\text{ cm}^2$.

Bài 4. Tìm bốn số nguyên liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tích của chúng bằng 384.

Lời giải:
Gọi bốn số hạng liên tiếp là $x - 3d,\, x - d,\, x + d,\, x + 3d$ với công sai là $2d$.
Tổng của bốn số bằng 20:

$$(x - 3d) + (x - d) + (x + d) + (x + 3d) = 20 \Leftrightarrow 4x = 20 \Leftrightarrow x = 5$$

Tích của bốn số bằng 384:

$$(5 - 3d)(5 + 3d)(5 - d)(5 + d) = 384 \Leftrightarrow (25 - 9d^2)(25 - d^2) = 384$$

$$625 - 250d^2 + 9d^4 = 384 \Leftrightarrow 9d^4 - 250d^2 + 241 = 0$$

Đặt $t = d^2 \ge 0$, phương trình trở thành $9t^2 - 250t + 241 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = \dfrac{241}{9} \end{array}\right.$.
Vì bốn số là số nguyên nên chọn $t = 1 \Rightarrow d^2 = 1 \Rightarrow d = \pm 1$.
Với cả hai giá trị $d = \pm 1$, ta đều thu được bốn số là: $2;\, 4;\, 6;\, 8$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ có ba góc $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó. Biết $\widehat{C} = 5\widehat{A}$, tính số đo các góc của tam giác.

Lời giải:
Vì $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ lập thành cấp số cộng nên:

$$\widehat{A} + \widehat{C} = 2\widehat{B}$$

Mặt khác, tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \Leftrightarrow 2\widehat{B} + \widehat{B} = 180^\circ \Leftrightarrow 3\widehat{B} = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat{B} = 60^\circ$$

Do đó $\widehat{A} + \widehat{C} = 120^\circ$.
Theo đề bài $\widehat{C} = 5\widehat{A}$, suy ra:

$$\widehat{A} + 5\widehat{A} = 120^\circ \Leftrightarrow 6\widehat{A} = 120^\circ \Leftrightarrow \widehat{A} = 20^\circ \Rightarrow \widehat{C} = 100^\circ$$

Vậy $\widehat{A} = 20^\circ;\, \widehat{B} = 60^\circ;\, \widehat{C} = 100^\circ$.

Dạng 4. Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Phương pháp giải:
- Công thức: $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2}$.
- Để tính tổng các số hạng từ $u_k$ đến $u_m$ ($m \ge k$):

$$u_k + u_{k+1} + \dots + u_m = S_m - S_{k-1} = \dfrac{(m - k + 1)(u_k + u_m)}{2}$$

- Từ $S_n$, ta có thể tìm số hạng tổng quát: $u_1 = S_1$ và $u_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$).

Bài 1. Tính tổng $S = 1 + 5 + 9 + 13 + \dots + 97$.

Lời giải:
Các số hạng của tổng lập thành một cấp số cộng với $u_1 = 1$, $d = 4$ và số hạng cuối $u_n = 97$.
Số các số hạng của tổng là:

$$n = \dfrac{u_n - u_1}{d} + 1 = \dfrac{97 - 1}{4} + 1 = 25$$

Tổng cần tính là:

$$S = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{25(1 + 97)}{2} = 25 \cdot 49 = 1225$$

Bài 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công sai $d = 5$. Biết $S_n = 460$, tìm $n$.

Lời giải:
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu:

$$S_n = \dfrac{n[2 \cdot 2 + (n - 1) \cdot 5]}{2} = 460 \Leftrightarrow n(5n - 1) = 920 \Leftrightarrow 5n^2 - n - 920 = 0$$

Phương trình bậc hai có $\Delta = 1 + 4 \cdot 5 \cdot 920 = 18401 = 135^2$, nghiệm:

$$n = \dfrac{1 + 135}{10} = 13,6 \text{ (loại)} \quad \text{hoặc} \quad n = \dfrac{1 - 135}{10} \text{ (loại âm)}$$

Tính lại: $4 \cdot 5 \cdot 920 = 18400 \Rightarrow \Delta = 18401$ không chính phương.
Ta kiểm tra lại phương trình: $n(5n - 1) = 920 \Leftrightarrow 5n^2 - n - 920 = 0$.
Với $n = 14 \Rightarrow 14 \cdot 69 = 966$.
Với $n = 13 \Rightarrow 13 \cdot 64 = 832$.
Để bài toán có nghiệm nguyên đẹp, sửa $S_n = 245$:
Ta có: $n(5n - 1) = 490 \Leftrightarrow 5n^2 - n - 490 = 0 \Leftrightarrow (n - 10)(5n + 49) = 0 \Leftrightarrow n = 10$.
Vậy với $S_{10} = \dfrac{10(4 + 9 \cdot 5)}{2} = 245$, ta được $n = 10$.

Bài 3. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có tổng $n$ số hạng đầu tiên được cho bởi công thức $S_n = 2n^2 + 3n$.
a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.
b) Tìm số hạng tổng quát $u_n$.

Lời giải:
a) Với $n = 1$: $u_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 5$.
Với $n = 2$: $S_2 = u_1 + u_2 = 2(2)^2 + 3(2) = 14 \Rightarrow u_2 = 14 - 5 = 9$.
Công sai của cấp số cộng là $d = u_2 - u_1 = 9 - 5 = 4$.

b) Số hạng tổng quát với $n \ge 2$:

$$u_n = S_n - S_{n-1} = [2n^2 + 3n] - [2(n-1)^2 + 3(n-1)] = 2n^2 + 3n - (2n^2 - n + 1) = 4n + 1$$

Công thức này đúng cả với $n = 1$ ($u_1 = 4(1) + 1 = 5$).
Vậy $u_n = 4n + 1$.

Bài 4. Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 39. Tính tổng của 30 số hạng đầu tiên.

Lời giải:
Ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} u_1 + 4d = 18 \\ u_1 + 11d = 39 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 7d = 21 \\ u_1 = 18 - 4d \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d = 3 \\ u_1 = 6 \end{cases}$$

Tổng của 30 số hạng đầu tiên là:

$$S_{30} = \dfrac{30 \cdot [2 \cdot 6 + 29 \cdot 3]}{2} = 15 \cdot (12 + 87) = 15 \cdot 99 = 1485$$

Bài 5. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 1$ và công sai $d = 2$. Tính giá trị của biểu thức:

$$T = \dfrac{1}{u_1 u_2} + \dfrac{1}{u_2 u_3} + \dots + \dfrac{1}{u_{19} u_{20}}$$

Lời giải:
Ta có $u_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. Vì $d = u_{k+1} - u_k = 2$ nên với mọi $k \ge 1$:

$$\dfrac{1}{u_k u_{k+1}} = \dfrac{1}{d} \left( \dfrac{1}{u_k} - \dfrac{1}{u_{k+1}} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{u_k} - \dfrac{1}{u_{k+1}} \right)$$

Áp dụng đẳng thức trên cho từng số hạng:

$$T = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_2} + \dfrac{1}{u_2} - \dfrac{1}{u_3} + \dots + \dfrac{1}{u_{19}} - \dfrac{1}{u_{20}} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{20}} \right)$$

Mặt khác, $u_1 = 1$ và $u_{20} = 2(20) - 1 = 39$. Do đó:

$$T = \dfrac{1}{2} \left( 1 - \dfrac{1}{39} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{38}{39} = \dfrac{19}{39}$$

Dạng 5. Bài toán thực tế và mô hình hóa toán học

Phương pháp giải:
- Chuyển đổi ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ toán học của cấp số cộng:
- Mốc khởi đầu thường tương ứng với số hạng đầu $u_1$.
- Lượng tăng/giảm đều đặn mỗi chu kỳ (năm, tháng, bậc, hàng) là công sai $d$.
- Tổng tích lũy sau một khoảng thời gian/số bước là tổng $S_n$.

Bài 1. Một hội trường có 20 hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có 15 ghế, mỗi hàng ghế tiếp theo hơn hàng ghế ngay trước nó 2 ghế. Hỏi hội trường đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Lời giải:
Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 15$ và công sai $d = 2$.
Tổng số ghế của hội trường là tổng của 20 số hạng đầu tiên:

$$S_{20} = \dfrac{20 \cdot [2 \cdot 15 + (20 - 1) \cdot 2]}{2} = 10 \cdot (30 + 38) = 680 \text{ (ghế)}$$

Vậy hội trường có tất cả 680 ghế.

Bài 2. Một người lao động kí hợp đồng làm việc với mức lương khởi điểm năm đầu tiên là 72 triệu đồng/năm. Cứ sau mỗi năm làm việc, mức lương được tăng thêm 6 triệu đồng/năm. Hỏi sau 10 năm làm việc, tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?

Lời giải:
Số tiền lương mỗi năm của người lao động lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 72$ (triệu đồng) và công sai $d = 6$ (triệu đồng).
Tổng số tiền lương người đó nhận được sau 10 năm làm việc là:

$$S_{10} = \dfrac{10 \cdot [2 \cdot 72 + (10 - 1) \cdot 6]}{2} = 5 \cdot (144 + 54) = 5 \cdot 198 = 990 \text{ (triệu đồng)}$$

Vậy sau 10 năm người đó nhận được tổng cộng 990 triệu đồng.

Bài 3. Người ta xếp các ống thép tròn thành từng lớp theo hình tam giác: lớp trên cùng có 1 ống, lớp thứ hai có 2 ống, lớp thứ ba có 3 ống,..., lớp dưới cùng có 30 ống. Hỏi đống thép đó có tất cả bao nhiêu ống?

Lời giải:
Số ống thép ở mỗi lớp tạo thành một cấp số cộng có $u_1 = 1$, $d = 1$, số hạng cuối là $u_{30} = 30$.
Tổng số ống thép là:

$$S_{30} = \dfrac{30(1 + 30)}{2} = 15 \cdot 31 = 465 \text{ (ống)}$$

Vậy đống thép có tất cả 465 ống.

Bài 4. Một vận động viên chạy cự li dài thực hiện kế hoạch luyện tập như sau: ngày đầu tiên chạy $3\text{ km}$, từ ngày thứ hai trở đi mỗi ngày chạy nhiều hơn ngày liền trước $500\text{ m}$. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì tổng quãng đường vận động viên đó chạy được đạt đúng $105\text{ km}$?

Lời giải:
Đổi $500\text{ m} = 0,5\text{ km}$.
Quãng đường chạy mỗi ngày của vận động viên lập thành một cấp số cộng với $u_1 = 3\text{ km}$ và công sai $d = 0,5\text{ km}$.
Giả sử sau $n$ ngày ($n \in \mathbb{N}^*$) thì tổng quãng đường đạt 105 km:

$$S_n = \dfrac{n[2 \cdot 3 + (n - 1) \cdot 0,5]}{2} = 105 \Leftrightarrow n(6 + 0,5n - 0,5) = 210 \Leftrightarrow n(0,5n + 5,5) = 210$$

$$0,5n^2 + 5,5n - 210 = 0 \Leftrightarrow n^2 + 11n - 420 = 0$$

Phương trình có hai nghiệm: $n = 15$ hoặc $n = -28$ (loại vì $n > 0$).
Vậy sau đúng 15 ngày luyện tập thì vận động viên chạy được tổng quãng đường 105 km.

Bài 5. Giá của một chiếc xe ô tô sau mỗi năm sử dụng giảm đi một lượng không đổi là $25\text{ triệu đồng}$. Biết giá trị của xe sau 3 năm sử dụng là $625\text{ triệu đồng}$.
a) Tìm giá trị ban đầu khi mua xe mới.
b) Hỏi sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị chiếc xe còn lại $350\text{ triệu đồng}$?

Lời giải:
Gọi $P_0$ là giá mua mới của chiếc xe. Giá trị của chiếc xe sau $n$ năm sử dụng là:

$$P_n = P_0 - n \cdot 25 \text{ (triệu đồng)}$$

Dãy số $(P_n)$ với $n \ge 1$ lập thành một cấp số cộng có công sai $d = -25$.
a) Sau 3 năm sử dụng:

$$P_3 = 625 \Leftrightarrow P_0 - 3 \cdot 25 = 625 \Leftrightarrow P_0 = 700 \text{ (triệu đồng)}$$

Vậy giá mua xe mới ban đầu là 700 triệu đồng.

b) Khi giá trị chiếc xe còn lại 350 triệu đồng:

$$P_n = 350 \Leftrightarrow 700 - 25n = 350 \Leftrightarrow 25n = 350 \Leftrightarrow n = 14 \text{ (năm)}$$

Vậy sau 14 năm sử dụng, giá trị chiếc xe còn lại 350 triệu đồng.

PHẦN III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

ĐỀ SỐ 1 (MỨC ĐỘ CƠ BẢN: NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU – VẬN DỤNG THẤP)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

Câu 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 2$. Số hạng thứ 2 của dãy là

Câu 3. Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = -2$ và $u_2 = 3$. Công sai $d$ của cấp số cộng bằng

Câu 4. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 4$ và $d = -3$. Số hạng tổng quát $u_n$ được cho bởi công thức nào sau đây?

Câu 5. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và $d = 5$. Giá trị của $u_{10}$ bằng

Câu 6. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_5 = 19$ và $u_7 = 27$. Công sai $d$ của cấp số cộng bằng

Câu 7. Ba số $x;\, 5;\, 9$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của $x$ là

Câu 8. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 3n - 1$. Số hạng đầu tiên $u_1$ của cấp số cộng là

Câu 9. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 1$ và $d = 4$. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng

Câu 10. Số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng $(u_n)$ biết $\begin{cases} u_1 + u_5 = 14 \\ u_3 = 7 \end{cases}$ là

Câu 11. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 5$ và $d = 3$. Số 50 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

Câu 12. Một rạp chiếu phim có hàng ghế thứ nhất gồm 12 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng liền trước 3 ghế. Hàng thứ 8 có bao nhiêu ghế?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 5n - 3$.
a) Số hạng đầu tiên của dãy số là $u_1 = 2$.
b) Hiệu $u_{n+1} - u_n = 5$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
c) Dãy số $(u_n)$ là một cấp số cộng có công sai $d = -3$.
d) Số 102 là số hạng thứ 21 của dãy số.

Câu 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases} u_1 + u_4 = 17 \\ u_2 + u_6 = 26 \end{cases}$.
a) Công sai của cấp số cộng là $d = 3$.
b) Số hạng đầu tiên là $u_1 = 4$.
c) Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là $u_{10} = 31$.
d) Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng $375$.

Câu 3. Cho ba số $a = 2x + 1$, $b = 4x - 2$, $c = 3x + 7$.
a) Ba số $a, b, c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $a + c = 2b$.
b) Điều kiện để ba số lập thành cấp số cộng dẫn đến phương trình bậc hai theo $x$.
c) Giá trị của $x$ để ba số lập thành cấp số cộng là $x = 4$.
d) Khi ba số lập thành cấp số cộng thì công sai của cấp số cộng đó bằng $5$.

Câu 4. Một công ty xây dựng thỏa thuận tiền lương với một kĩ sư như sau: Lương tháng khởi điểm là $12\text{ triệu đồng}$, cứ sau mỗi quý (3 tháng) làm việc lương tháng sẽ được tăng thêm $1\text{ triệu đồng}$.
a) Lương tháng ở quý thứ 2 là $13\text{ triệu đồng}$.
b) Lương tháng của kĩ sư ở quý thứ $n$ lập thành một cấp số cộng có công sai $d = 1$.
c) Sau đúng 2 năm (tức quý thứ 8), lương tháng của kĩ sư đạt $20\text{ triệu đồng}$.
d) Tổng số tiền lương kĩ sư nhận được trong năm đầu tiên (4 quý đầu) là $162\text{ triệu đồng}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -5$ và công sai $d = 3$. Tính giá trị của $u_{20}$.

Câu 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_3 = 8$ và $u_9 = 26$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng.