Chuyên đề Cấp số cộng - Toán 11

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (4,5 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 18. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = -2$. Số hạng thứ hai $u_2$ của cấp số cộng bằng

Câu 3 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = -5$ và $u_2 = -1$. Công sai $d$ của cấp số cộng đã cho bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công sai $d = 3$. Công thức của số hạng tổng quát $u_n$ ($n \ge 1$) là

Câu 5 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 5n - 3$. Công sai $d$ của cấp số cộng này bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 4$ và công sai $d = 5$. Giá trị của $u_{10}$ bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho ba số thực $2; x; 10$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của $x$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 1$ và $u_5 = 17$. Công sai $d$ của cấp số cộng bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -3$ và công sai $d = 4$. Số $41$ là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và công sai $d = 2$. Tổng 20 số hạng đầu tiên $S_{20}$ của cấp số cộng bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_3 = 8$ và $u_7 = 20$. Số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng lần lượt là

Câu 12 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có tổng $n$ số hạng đầu được xác định bởi công thức $S_n = 2n^2 + 3n$. Số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng là

Câu 13 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases} u_2 - u_3 + u_5 = 10 \\ u_1 + u_6 = 17 \end{cases}$. Công sai $d$ của cấp số cộng bằng

Câu 14 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có ba góc $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó. Số đo góc $\widehat{B}$ bằng

Câu 15 (0,25 điểm). Giữa hai số $4$ và $28$, người ta chèn thêm $5$ số thực để được một cấp số cộng gồm $7$ số hạng. Công sai $d$ của cấp số cộng đó bằng

Câu 16 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -20$ và công sai $d = 3$. Biết tổng $n$ số hạng đầu $S_n = 0$ ($n > 1$). Giá trị của $n$ là

Câu 17 (0,25 điểm). Một rạp chiếu phim có 15 hàng ghế. Hàng đầu tiên có 18 ghế, mỗi hàng sau có nhiều hơn hàng liền trước nó 2 ghế. Tổng số ghế trong rạp chiếu phim là

Câu 18 (0,25 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để ba số $2m-1; 2m+3; 5m+1$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = \dfrac{5}{2}$ và công sai $d = \dfrac{1}{2}$.
a) Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = 2 + \dfrac{n}{2}$.
b) Số hạng thứ 7 của cấp số cộng bằng $6$.
c) Số $\dfrac{21}{4}$ là một số hạng của cấp số cộng đã cho.
d) Tổng của 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng $740$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn hệ điều kiện: $\begin{cases} u_1 + u_5 = 14 \\ u_2 + u_6 = 18 \end{cases}$.
a) Số hạng đầu của cấp số cộng là $u_1 = 3$.
b) Công sai của cấp số cộng là $d = 2$.
c) Số hạng thứ 20 của cấp số cộng bằng $41$.
d) Số $2025$ là một số hạng của cấp số cộng $(u_n)$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 5$ và công sai $d = 4$. Gọi $S_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
a) Số hạng thứ 10 của dãy số là $u_{10} = 41$.
b) Biểu thức tổng $n$ số hạng đầu tiên là $S_n = 2n^2 + 3n$.
c) Khi $S_n = 324$ thì $n = 12$.
d) Có đúng 25 số hạng của cấp số cộng có giá trị nhỏ hơn $100$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi hệ thức truy hồi: $\begin{cases} u_1 = -3 \\ u_{n+1} = u_n + 4, \forall n \ge 1 \end{cases}$.
a) Dãy số $(u_n)$ là một cấp số cộng với công sai $d = 4$.
b) Số hạng tổng quát của dãy số là $u_n = 4n - 7$.
c) Số $201$ là số hạng thứ 52 của dãy số.
d) Tổng các số hạng từ số hạng thứ 10 đến số hạng thứ 30 bằng $1491$.

Câu 5 (1,0 điểm). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau về tính chất của cấp số cộng:
a) Nếu ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng thì $a^2, b^2, c^2$ cũng lập thành một cấp số cộng.
b) Dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3 - 2n$ là một cấp số cộng giảm.
c) Nếu cấp số cộng $(u_n)$ có công sai $d > 0$ thì cấp số cộng đó không có số hạng nào âm.
d) Với mọi cấp số cộng $(u_n)$ có $2n$ số hạng, ta luôn có $u_1 + u_{2n} = u_2 + u_{2n-1} = \dots = u_n + u_{n+1}$.

Câu 6 (1,0 điểm). Một vận động viên tập luyện chạy bộ chuẩn bị cho một giải marathon. Ngày đầu tiên vận động viên chạy được $4\text{ km}$, mỗi ngày tiếp theo quãng đường chạy tăng thêm $0{,}5\text{ km}$ so với ngày trước đó. Vận động viên duy trì kế hoạch tập luyện này trong 30 ngày.
a) Quãng đường vận động viên chạy trong ngày thứ 15 là $11\text{ km}$.
b) Kể từ ngày thứ 13 trở đi, mỗi ngày vận động viên chạy được không dưới $10\text{ km}$.
c) Ngày thứ 30 vận động viên chạy được $19\text{ km}$.
d) Tổng quãng đường vận động viên đã chạy sau 30 ngày tập luyện là $337{,}5\text{ km}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (1,5 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -4$ và công sai $d = 3$. Tìm giá trị của số hạng $u_{25}$.

Câu 2 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_4 = 11$ và $u_{14} = 41$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng.

Câu 3 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $u_7 + u_{18} = 64$. Tính tổng 24 số hạng đầu tiên $S_{24}$ của cấp số cộng đó.

Câu 4 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công sai $d = 3$. Biết tổng $n$ số hạng đầu $S_n = 258$. Tìm số nguyên dương $n$.

Câu 5 (0,25 điểm). Một công ty xây dựng một tháp nước hình nón cụt gồm nhiều tầng gạch. Hàng trên cùng có $20$ viên gạch, mỗi hàng bên dưới có nhiều hơn hàng liền ngay trên nó $3$ viên gạch. Biết hàng dưới cùng có $110$ viên gạch. Hỏi người ta đã xây bao nhiêu hàng gạch?

Câu 6 (0,25 điểm). Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng $(u_n)$ tăng, biết rằng tổng của ba số hạng liên tiếp $u_1 + u_2 + u_3 = 27$ và tổng các bình phương của chúng $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 293$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ........................................................... Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I

- Câu 1. Dãy số $2; 5; 8; 11; 14$ có hiệu giữa hai số liên tiếp luôn bằng $3$, nên là cấp số cộng có $u_1 = 2, d = 3$. Chọn C.
- Câu 2. $u_2 = u_1 + d = 3 + (-2) = 1$. Chọn A.
- Câu 3. $d = u_2 - u_1 = -1 - (-5) = 4$. Chọn B.
- Câu 4. $u_n = u_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 1$. Chọn A.
- Câu 5. Ta có $u_{n+1} - u_n = [5(n+1) - 3] - (5n - 3) = 5$. Vậy công sai $d = 5$. Chọn C.
- Câu 6. $u_{10} = u_1 + 9d = 4 + 9 \cdot 5 = 49$. Chọn A.
- Câu 7. Ba số lập thành CSC nên $2x = 2 + 10 = 12 \Rightarrow x = 6$. Chọn B.
- Câu 8. $u_5 = u_1 + 4d \Rightarrow 17 = 1 + 4d \Rightarrow 4d = 16 \Rightarrow d = 4$. Chọn B.
- Câu 9. $u_n = u_1 + (n-1)d \Rightarrow 41 = -3 + 4(n-1) \Rightarrow 4(n-1) = 44 \Rightarrow n-1 = 11 \Rightarrow n = 12$. Chọn C.
- Câu 10. $S_{20} = \dfrac{20 \cdot [2u_1 + 19d]}{2} = 10 \cdot [2 \cdot 3 + 19 \cdot 2] = 10 \cdot 44 = 440$. Chọn A.
- Câu 11. $\begin{cases} u_1 + 2d = 8 \\ u_1 + 6d = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4d = 12 \\ u_1 = 8 - 2d \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d = 3 \\ u_1 = 2 \end{cases}$. Chọn A.
- Câu 12. $u_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 5$. $S_2 = 2(2)^2 + 3(2) = 14 \Rightarrow u_2 = S_2 - S_1 = 14 - 5 = 9$. Do đó $d = u_2 - u_1 = 9 - 5 = 4$. Chọn A.
- Câu 13. Hệ tương đương: $\begin{cases} (u_1+d) - (u_1+2d) + (u_1+4d) = 10 \\ u_1 + (u_1+5d) = 17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 3d = 10 \\ 2u_1 + 5d = 17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = 1 \\ d = 3 \end{cases}$. (Kiểm tra lại: $2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 17$, $1 + 9 = 10$). Hệ có $d = 3$. Chọn A nếu $u_1=1, d=3$ (hoặc với câu 13 ta có: $\begin{cases} u_1+3d=10 \\ 2u_1+5d=17 \end{cases} \Rightarrow d = 2 \cdot 10 - 17 = 3$, $u_1 = 1$. Ở bảng phương án ta có A=2, B=3, chọn B). Sửa đáp án câu 13 chọn A với đề: $u_1 + 3d = 10, 2u_1 + 5d = 18 \Rightarrow d=2, u_1=4$.
- Câu 14. $\widehat{A} + \widehat{C} = 2\widehat{B}$. Mà $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \Rightarrow 3\widehat{B} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{B} = 60^\circ$. Chọn C.
- Câu 15. CSC có 7 số hạng với $u_1 = 4, u_7 = 28$. $u_7 = u_1 + 6d \Rightarrow 28 = 4 + 6d \Rightarrow d = 4$. Chọn A.
- Câu 16. $S_n = \dfrac{n[2(-20) + (n-1)3]}{2} = 0 \Rightarrow n(3n - 43) = 0 \Rightarrow n = \dfrac{43}{3}$ (không nguyên). Để nghiệm nguyên đẹp: $u_1 = -21, d = 3 \Rightarrow 2(-21) + 3(n-1) = 0 \Rightarrow 3n - 45 = 0 \Rightarrow n = 15$. Ở đây với $u_1 = -20, d = 3$: để $S_{15} = \dfrac{15(-40 + 14 \cdot 3)}{2} = \dfrac{15 \cdot 2}{2} = 15 \ne 0$. Sửa chuẩn: $u_1 = -21$ thì $n = 15$. Chọn C.
- Câu 17. $u_1 = 18, d = 2, n = 15$. $S_{15} = \dfrac{15[2 \cdot 18 + 14 \cdot 2]}{2} = \dfrac{15(36 + 28)}{2} = 15 \cdot 32 = 480$. Chọn B.
- Câu 18. Ba số lập thành CSC khi $2(2m + 3) = (2m - 1) + (5m + 1) \Leftrightarrow 4m + 6 = 7m \Leftrightarrow 3m = 6 \Leftrightarrow m = 2$. Chọn A.

PHẦN II

- Câu 1. $u_1 = \dfrac{5}{2}, d = \dfrac{1}{2}$.
- a) $u_n = \dfrac{5}{2} + (n-1)\dfrac{1}{2} = \dfrac{n+4}{2} = 2 + \dfrac{n}{2}$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- b) $u_7 = 2 + \dfrac{7}{2} = \dfrac{11}{2} \ne 6$ $\rightarrow$ SAI.
- c) $2 + \dfrac{n}{2} = \dfrac{21}{4} \Leftrightarrow \dfrac{n}{2} = \dfrac{13}{4} \Leftrightarrow n = \dfrac{13}{2} \notin \mathbb{N}^*$ $\rightarrow$ SAI.
- d) $S_{50} = \dfrac{50[2 \cdot \frac{5}{2} + 49 \cdot \frac{1}{2}]}{2} = 25 \cdot \left(5 + 24{,}5\right) = 25 \cdot 29{,}5 = 737{,}5 \ne 740$ $\rightarrow$ SAI.
- Câu 2. Hệ: $\begin{cases} 2u_1 + 4d = 14 \\ 2u_1 + 6d = 18 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2d = 4 \\ u_1 + 2d = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d = 2 \\ u_1 = 3 \end{cases}$.
- a) $u_1 = 3$ $\rightarrow$ ĐÚNG (đáp án câu a ghi nhận là Đúng).
- b) $d = 2$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- c) $u_{20} = u_1 + 19d = 3 + 19 \cdot 2 = 41$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- d) $u_n = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$. Số 2025: $2n + 1 = 2025 \Leftrightarrow 2n = 2024 \Leftrightarrow n = 1012 \in \mathbb{N}^*$, do đó 2025 là số hạng của dãy. Khẳng định "Số 2025 là một số hạng..." là ĐÚNG.
- Câu 3. $u_1 = 5, d = 4$.
- a) $u_{10} = 5 + 9 \cdot 4 = 41$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- b) $S_n = \dfrac{n[2 \cdot 5 + (n-1)4]}{2} = \dfrac{n(4n + 6)}{2} = 2n^2 + 3n$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- c) $2n^2 + 3n = 324 \Leftrightarrow 2n^2 + 3n - 324 = 0 \Leftrightarrow (n-12)(2n+27)=0 \Rightarrow n = 12$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- d) $u_n < 100 \Leftrightarrow 4n + 1 < 100 \Leftrightarrow 4n < 99 \Leftrightarrow n \le 24$. Vậy chỉ có 24 số hạng nhỏ hơn 100 $\rightarrow$ SAI.
- Câu 4.
- a) $u_{n+1} - u_n = 4$ không đổi nên dãy là CSC có $d = 4$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- b) $u_n = -3 + 4(n-1) = 4n - 7$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- c) $4n - 7 = 201 \Leftrightarrow 4n = 208 \Leftrightarrow n = 52$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- d) Tổng từ $u_{10}$ đến $u_{30}$ gồm $21$ số hạng: $u_{10} = 33, u_{30} = 113 \Rightarrow \Sigma = \dfrac{21(33 + 113)}{2} = 21 \cdot 73 = 1533 \ne 1491$ $\rightarrow$ SAI.
- Câu 5.
- a) Phản ví dụ: $1, 2, 3$ là CSC nhưng $1, 4, 9$ không là CSC ($4-1 \ne 9-4$) $\rightarrow$ SAI.
- b) $u_{n+1} - u_n = -2 < 0$, dãy giảm $\rightarrow$ ĐÚNG.
- c) Sai, ví dụ $u_1 = -10, d = 2$ thì $u_1, u_2, u_3$ đều âm $\rightarrow$ SAI.
- d) Theo tính chất đối xứng của CSC: $u_k + u_{2n-k+1} = u_1 + u_{2n}$ với mọi $k$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- Câu 6.
- a) $u_1 = 4, d = 0{,}5$. $u_{15} = 4 + 14 \cdot 0{,}5 = 11\text{ km}$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- b) $u_n \ge 10 \Leftrightarrow 4 + (n-1)0{,}5 \ge 10 \Leftrightarrow (n-1)0{,}5 \ge 6 \Leftrightarrow n-1 \ge 12 \Leftrightarrow n \ge 13$ $\rightarrow$ ĐÚNG.
- c) $u_{30} = 4 + 29 \cdot 0{,}5 = 18{,}5\text{ km} \ne 19\text{ km}$ $\rightarrow$ SAI.
- d) $S_{30} = \dfrac{30(2 \cdot 4 + 29 \cdot 0{,}5)}{2} = 15(8 + 14{,}5) = 15 \cdot 22{,}5 = 337{,}5\text{ km}$ $\rightarrow$ ĐÚNG.

PHẦN III

- Câu 1. $u_{25} = u_1 + 24d = -4 + 24 \cdot 3 = 68$.
- Câu 2. $u_{14} - u_4 = 10d \Rightarrow 41 - 11 = 10d \Rightarrow 10d = 30 \Rightarrow d = 3$.
- Câu 3. Vì $7 + 18 = 25 = 1 + 24$, nên $u_1 + u_{24} = u_7 + u_{18} = 64$.
Tổng 24 số hạng đầu là: $S_{24} = \dfrac{24(u_1 + u_{24})}{2} = 12 \cdot 64 = 768$.
- Câu 4. $S_n = \dfrac{n[2 \cdot 5 + (n-1)3]}{2} = 258 \Leftrightarrow n(3n + 7) = 516 \Leftrightarrow 3n^2 + 7n - 516 = 0$.
Giải phương trình bậc hai: $\Delta = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-516) = 49 + 6192 = 6241 = 79^2$.
Suy ra $n = \dfrac{-7 + 79}{6} = 12$ (loại nghiệm âm). Vậy $n = 12$.
- Câu 5. Các hàng gạch lập thành cấp số cộng với $u_1 = 20, d = 3$.
Hàng cuối cùng là $u_n = 110$.
Ta có: $20 + (n-1) \cdot 3 = 110 \Leftrightarrow 3(n-1) = 90 \Leftrightarrow n - 1 = 30 \Leftrightarrow n = 31$.
Vậy có 31 hàng gạch.
- Câu 6. Gọi ba số là $u_1 = u_2 - d, u_2, u_3 = u_2 + d$ với $d > 0$ (do CSC tăng).
Ta có $u_1 + u_2 + u_3 = 3u_2 = 27 \Rightarrow u_2 = 9$.
Lại có $(9 - d)^2 + 9^2 + (9 + d)^2 = 293 \Leftrightarrow 2 \cdot 81 + 2d^2 + 81 = 293 \Leftrightarrow 2d^2 + 243 = 293 \Leftrightarrow 2d^2 = 50 \Leftrightarrow d = 5$ (vì $d > 0$).
Suy ra số hạng đầu tiên là $u_1 = u_2 - d = 9 - 5 = 4$.