Chuyên đề bài toán thực tế Cấp số cộng và Cấp số nhân - Toán 11

Câu 1

a)

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 20$ và công sai $d = 4$.

0,25

Số ghế ở hàng thứ 25 là: $u_{25} = u_1 + (25 - 1)d = 20 + 24 \cdot 4 = 116$ (ghế).

0,50

b)

Khán đài có 30 hàng ghế nên sức chứa tối đa là tổng số ghế của 30 hàng: $S_{30}$.

0,25

Ta có: $S_{30} = \dfrac{30}{2} \cdot \left[ 2u_1 + (30 - 1)d \right] = 15 \cdot \left( 2 \cdot 20 + 29 \cdot 4 \right) = 15 \cdot 156 = 2340$ (khán giả).

0,50

c)

Gọi $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) là số hàng ghế cần mở. Tổng số ghế của $n$ hàng là:
$S_n = \dfrac{n}{2} \cdot \left[ 2 \cdot 20 + (n - 1) \cdot 4 \right] = n(2n + 18) = 2n^2 + 18n$.

0,25

Để phục vụ ít nhất 1500 khán giả, ta có bất phương trình: $2n^2 + 18n \ge 1500 \iff n^2 + 9n - 750 \ge 0$.
Giải bất phương trình: $n \ge \dfrac{-9 + \sqrt{3081}}{2} \approx 23{,}25$. Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên $n_{\min} = 24$.
Vậy ban tổ chức cần mở ít nhất 24 hàng ghế.

0,25

Câu 2

a)

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 35$ và công sai $d = 5$.

0,25

Hàng cuối cùng có $155$ cây, do đó: $u_n = u_1 + (n - 1)d = 155$.
$\iff 35 + 5(n - 1) = 155 \iff 5(n - 1) = 120 \iff n = 25$.
Vậy có tất cả 25 hàng cây keo lai.

0,50

b)

Tổng số cây keo lai trồng trên sườn đồi là tổng của 25 số hạng đầu:
$S_{25} = \dfrac{25 \cdot (u_1 + u_{25})}{2} = \dfrac{25 \cdot (35 + 155)}{2} = \dfrac{25 \cdot 190}{2} = 2375$ (cây).

0,75

c)

Chi phí trồng và chăm sóc ban đầu: $2375 \cdot 40\,000 = 95\,000\,000$ (đồng).
Tổng doanh thu sau 5 năm thu hoạch: $2375 \cdot 250\,000 = 593\,750\,000$ (đồng).

0,25

Tổng lợi nhuận thu được: $593\,750\,000 - 95\,000\,000 = 498\,750\,000$ (đồng) (498,75 triệu đồng).

0,25

Câu 3

a)

Mức lương tháng của kỹ sư trong năm thứ $n$ lập thành cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 18$ và $d = 2{,}5$ (đơn vị: triệu đồng).

0,25

Mức lương tháng trong năm thứ 5 của kỹ sư là:
$u_5 = u_1 + (5 - 1)d = 18 + 4 \cdot 2{,}5 = 28$ (triệu đồng/tháng).

0,50

b)

Mỗi năm kỹ sư nhận 12 tháng lương. Tổng số tiền lương nhận được trong 5 năm là:
$T = 12 \cdot u_1 + 12 \cdot u_2 + 12 \cdot u_3 + 12 \cdot u_4 + 12 \cdot u_5 = 12 \cdot S_5$.

0,25

Ta có: $S_5 = \dfrac{5 \cdot (u_1 + u_5)}{2} = \dfrac{5 \cdot (18 + 28)}{2} = 115$ (triệu đồng).
Vậy tổng số tiền lương trong 5 năm là: $T = 12 \cdot 115 = 1380$ (triệu đồng) hay 1 tỷ 380 triệu đồng.

0,50

c)

Kỹ sư trích đều đặn 15% tổng thu nhập hàng tháng nên số tiền tích lũy sau 5 năm bằng 15% tổng số tiền lương nhận được trong suốt thời gian đó.
Số tiền tích lũy: $15\% \cdot 1380 = 207$ (triệu đồng).

0,50

Câu 4

a)

Số lượng ống cống ở mỗi tầng, tính từ tầng trên cùng xuống tầng dưới cùng, lần lượt là: $1, 2, 3, \dots, 50$.

0,25

Như vậy đống ống cống có tất cả 50 tầng.
Dãy số này là một cấp số cộng có $u_1 = 1, d = 1$ và số hạng cuối $u_{50} = 50$.

0,25

Tổng số ống cống tại bãi tập kết là:
$S_{50} = \dfrac{50 \cdot (1 + 50)}{2} = 25 \cdot 51 = 1275$ (ống cống).

0,50

b)

Mỗi chuyến xe chở tối đa 125 ống cống. Số chuyến xe cần để vận chuyển hết số ống cống là:
$\dfrac{1275}{125} = 10{,}2$.

0,50

Vì số chuyến xe phải là số nguyên dương nên cần ít nhất 11 chuyến xe.

0,50

Câu 5

a)

Độ dài 12 cạnh của đa giác lồi lập thành cấp số cộng $(u_n)$ có $n = 12$, số hạng đầu $u_1 = 8\text{ cm}$ và công sai $d = 3\text{ cm}$.

0,25

Chu vi của đa giác lồi bằng tổng độ dài của 12 cạnh:
$P = S_{12} = \dfrac{12}{2} \cdot \left[ 2u_1 + (12 - 1)d \right] = 6 \cdot (2 \cdot 8 + 11 \cdot 3) = 6 \cdot (16 + 33) = 6 \cdot 49 = 294\text{ cm}$.

0,75

b)

Diện tích của một lô đất hình thang có chiều cao $h$ và đường trung bình $m_k$ là: $S_k = m_k \cdot h$.
Tổng diện tích của 5 lô đất: $S = \sum_{k=1}^5 S_k = h \cdot \sum_{k=1}^5 m_k$.

0,25

Dãy đường trung bình $(m_k)$ là cấp số cộng có $m_1 = 15\text{ m}, d = 4\text{ m}$.
Tổng 5 số hạng đầu là: $M_5 = \dfrac{5}{2} \cdot \left[ 2 \cdot 15 + (5 - 1) \cdot 4 \right] = \dfrac{5}{2} \cdot (30 + 16) = 115\text{ m}$.

0,50

Vậy tổng diện tích toàn bộ mảnh đất hình thang ban đầu là:
$S = 20 \cdot 115 = 2300\text{ m}^2$.

0,25

Câu 6

a)

Diện tích tam giác đều $A_1B_1C_1$ cạnh $a = 12\text{ cm}$ là: $S_1 = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2$.
Mỗi cạnh của tam giác $A_2B_2C_2$ nối trung điểm hai cạnh tam giác $A_1B_1C_1$ nên có độ dài cạnh bằng $\dfrac{a}{2}$.

0,25

Khi đó diện tích tam giác $A_2B_2C_2$ là: $S_2 = \dfrac{(a/2)^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{1}{4} S_1$.
Lập luận tương tự, diện tích tam giác sau luôn bằng $\dfrac{1}{4}$ diện tích tam giác ngay trước nó: $S_{n+1} = \dfrac{1}{4}S_n$.
Vậy dãy $(S_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $S_1 = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2$ và công bội $q = \dfrac{1}{4}$.

0,50

b)

Diện tích của tam giác thứ sáu là:
$S_6 = S_1 \cdot q^5 = 36\sqrt{3} \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^5 = \dfrac{36\sqrt{3}}{1024} = \dfrac{9\sqrt{3}}{256}\text{ cm}^2$.

0,50

c)

Vì $|q| = \dfrac{1}{4} < 1$ nên tổng diện tích của vô hạn các tam giác là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn:
$S = \dfrac{S_1}{1 - q} = \dfrac{36\sqrt{3}}{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{36\sqrt{3}}{\dfrac{3}{4}} = 48\sqrt{3}\text{ cm}^2$.

0,75

Câu 7

a)

Gọi $A = 2 \cdot 10^9$ đồng là số tiền vốn ban đầu, $r = 6\% = 0{,}06$ là lãi suất hàng năm.
Sau năm thứ nhất: $T_1 = A(1 + r)$. Sau năm thứ hai: $T_2 = T_1(1 + r) = A(1 + r)^2$.
Tổng quát, số tiền cả gốc và lãi sau $n$ năm là: $T_n = A(1 + r)^n = 2 \cdot 10^9 \cdot (1{,}06)^n$ (đồng).

0,50

b)

Sau 6 năm gửi, số tiền hợp tác xã nhận được là:
$T_6 = 2 \cdot 10^9 \cdot (1{,}06)^6 \approx 2 \cdot 10^9 \cdot 1{,}418519112 \approx 2\,837\,038\,000$ (đồng).

0,75

c)

Để số tiền tích lũy vượt quá gấp đôi số tiền gửi ban đầu, ta có:
$T_n > 2A \iff A(1{,}06)^n > 2A \iff 1{,}06^n > 2$.

0,25

Lấy logarit cơ số tự nhiên hai vế: $n \cdot \ln(1{,}06) > \ln 2 \iff n > \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx \dfrac{0{,}693147}{0{,}058269} \approx 11{,}896$.
Vì $n$ là số nguyên dương nên $n \ge 12$.
Vậy sau ít nhất 12 năm thì số tiền tích lũy sẽ gấp đôi số tiền gửi ban đầu.

0,50

Câu 8

a)

Gọi $L_n$ là mức lương năm thứ $n$ của chuyên gia. Theo giả thiết:
$L_1 = 240$ (triệu đồng); $L_{n+1} = L_n + 8\% \cdot L_n = 1{,}08 \cdot L_n$.
Do đó, dãy $(L_n)$ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $L_1 = 240$ và công bội $q = 1{,}08$.

0,50

Mức lương năm thứ 10 là:
$L_{10} = L_1 \cdot q^9 = 240 \cdot (1{,}08)^9 \approx 240 \cdot 1{,}999005 \approx 479{,}76$ triệu đồng $\approx 480$ triệu đồng.

0,50

b)

Tổng thu nhập sau 10 năm làm việc là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân $(L_n)$:
$S_{10} = L_1 \cdot \dfrac{q^{10} - 1}{q - 1} = 240 \cdot \dfrac{(1{,}08)^{10} - 1}{1{,}08 - 1}$.

0,50

Tính toán: $S_{10} = 240 \cdot \dfrac{2{,}158925 - 1}{0{,}08} = 240 \cdot 14{,}48656 = 3476{,}77$ triệu đồng $\approx 3477$ triệu đồng.
Vậy sau 10 năm, chuyên gia nhận được tổng cộng khoảng 3 tỷ 477 triệu đồng.

0,50

Câu 9

a)

Hình vuông $C_1$ có cạnh $a_1 = 8\text{ cm} \implies S_1 = 8^2 = 64\text{ cm}^2$.
Hình vuông $C_2$ có đỉnh là trung điểm các cạnh của $C_1$ nên theo định lý Pythagore, cạnh của $C_2$ là $a_2 = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\text{ cm}$.
Diện tích $C_2$ là: $S_2 = a_2^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32 = \dfrac{1}{2}S_1$.

0,25

Lập luận tương tự, mỗi hình vuông tiếp theo đều có diện tích bằng một nửa diện tích hình vuông đứng liền trước: $\dfrac{S_{n+1}}{S_n} = \dfrac{1}{2}$.
Vậy $(S_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $S_1 = 64\text{ cm}^2$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$.
Công thức số hạng tổng quát: $S_n = 64 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = 2^{7-n}\text{ cm}^2$.

0,50

b)

Tổng diện tích của 8 hình vuông đầu tiên là:
$T = S_8 = S_1 \cdot \dfrac{1 - q^8}{1 - q} = 64 \cdot \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^8}{1 - \dfrac{1}{2}} = 128 \cdot \left(1 - \dfrac{1}{256}\right) = 128 \cdot \dfrac{255}{256} = \dfrac{255}{2} = 127{,}5\text{ cm}^2$.

0,50

c)

Chu vi hình vuông $C_n$ là $P_n = 4a_n$. Vì $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a_n$ nên $P_{n+1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}P_n$.
Do đó $(P_n)$ là cấp số nhân có $P_1 = 4 \cdot 8 = 32\text{ cm}$ và công bội $q' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

0,25

Vì $|q'| = \dfrac{\sqrt{2}}{2} < 1$ nên $(P_n)$ là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng chu vi là:
$P = \dfrac{P_1}{1 - q'} = \dfrac{32}{1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{64}{2 - \sqrt{2}} = \dfrac{64(2 + \sqrt{2})}{2} = 32(2 + \sqrt{2})\text{ cm} \approx 109{,}25\text{ cm}$.

0,50

Câu 10

a)

Ban đầu có $N_0 = 1000$ con cá. Sau mỗi tháng số lượng cá tăng thêm 25%, tức bằng 125% so với tháng trước.
Sau tháng thứ 1: $N_1 = 1000 \cdot (1 + 0{,}25) = 1000 \cdot 1{,}25$.
Sau tháng thứ $n$: $N_n = 1000 \cdot (1{,}25)^n$ (con).
Dãy $(N_n)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $N_1 = 1250$ và công bội $q = 1{,}25$.

0,50

b)

Sau 1 năm ($n = 12$ tháng), số cá rô phi trong hồ là:
$N_{12} = 1000 \cdot (1{,}25)^{12} \approx 1000 \cdot 14{,}551915 = 14\,551{,}915 \approx 14\,552$ (con cá).

0,75

c)

Để số lượng cá không vượt quá giới hạn an toàn 100 000 con, ta có bất phương trình:
$N_n \le 100\,000 \iff 1000 \cdot (1{,}25)^n \le 100\,000 \iff (1{,}25)^n \le 100$.

0,25

Lấy logarit tự nhiên hai vế: $n \cdot \ln(1{,}25) \le \ln 100 \iff n \le \dfrac{\ln 100}{\ln 1{,}25} \approx \dfrac{4{,}60517}{0{,}22314} \approx 20{,}64$.
Do $n \in \mathbb{N}$ nên giá trị nguyên lớn nhất của $n$ là 20.
Vậy sau tối đa 20 tháng, ban quản lý hồ bắt buộc phải bắt đầu đánh bắt giảm tải.

0,50